注重解题后反思 培养多样性思维
叶燕琴
衢江区实验中学
摘要 数学家乔治波利亚说：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾”。解题后的反思是对整个解题活动的反思，不仅仅是对数学解题学习的一般性回顾或重复，而是深究数学解题活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，从中达到解一题会一类的效果。因此，解题后反思不仅可以提高数学有效学习，而且可以培养良好的思维品质。
关键词 解题 反思 多样性
随着基础教育课程改革的不断深入，发展学生的智力，培养学生的思维能力，应该说是与时代发展要求相适应的一条主要的教学途径，作为数学教学任务的学生的解题活动是培养学生再发现和再创造的过程。对解题教学而言，不仅要把“题”作为研究对象，把“解”作为研究目标，而且也要把解题活动作为对象，把学会“数学地思维”促进人的发展作为目标。反思是认识过程中强化自我意识、进行自我监控、自我调节的重要形式。反思活动进行的深度和广度，能反映自我意识、自我调节进行的强弱。在反思过程中，不但元认知能力可以得到实际的锻炼和提高，而且通过反思后的总结提高可以使元认知能力得到补充、丰富和完善。因此在数学教学中，教师应注重学生智力开发，启发学生多思考，使学生逐步形成反思的良好习惯。
反思的形式是多种多样的，反思内容也是丰富多彩的。作为一名教学一线的数学老师，经过多年的教学实践，我认为对数学解题的反思有如下几个方面
1.反思解题过程，养成思维的严谨性
解数学题，学生有时由于审题不清，忽视条件，套用相近知识，考虑不周或计算出错，难免产生这样或那样的错误，即学生解数学题，不能保证一次性正确和完善。许多数学题中的隐性条件，并不能阻碍解题的畅通，而学生受思维定势或粗心等因素影响容易忽视，造成解题错误或失败。由于解题回顾是对解题活动的再认识，因而便于发现解题过程中的错误。例如粗心大意的书写错误，审题、理解题意的偏差，公式、法则等知识套用中的错误等。解完题后，要重新审查解题过程和结果是否正确，答案是否全面等，这有利于培养思维的严谨性。
例1 如何将一根长为10cm的木棒截为两段，使得这两段中的任意一段都能和长度分别为4cm和7cm的两根木棒摆成三角形。
分析 由于思维定势，有些同学将分割后的木棒长度理解为整数，因此对此题分两种情况考虑，将木棒截为5cm和5cm或者4cm和6cm。
解题后反思可对自己的解题活动重新认识，以便克服粗心大意而养成认真仔细的良好的学习习惯，而一个良好的学习习惯对于学生甚至我们每一个人在解题活动中提高正确率、提高工作效率具有非常重要的意义。
例2 王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．
分析：本题是无附图的几何试题，在此情况下一般要考虑多种情况的出现，需要对题目进行分情况讨论。分类思想在中考解题中有着广泛的应用，我们在解题中应仔细分析题意，挖掘题目的题设，结论中可能出现的不同的情况，然后采用分类的思想加以解决.
解：（1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1)，由勾股定理得AE＝25（m）
由DE∥FC得，
，得FC＝24（m） S△ABC= ×40×24=480（m2）
(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2)同理可得，S△ABC=×64×24=768（m2）
在教学中，教师如能不失时机地抓住学生在解题中由于思维的不严谨、考虑问题的不全面而导致的错误结果，有意识地启发、引导学生对解题结果的正误作进一步思考，从反思中正确鉴别解题结果的真伪，产生错误的根源是什么？如何得出正确解答？等等。长此以往加以训练和培养，不仅有利于学生对基本技能进一步理解和巩固，而且有利于学生思维严谨性的培养。
2.反思解题规律，养成思维的灵活性
由于人类对事物的认识总是遵循着由浅入深、从简单到复杂、从具体到抽象、直至本质的循环往复的基本规律。解题后反思正是遵循了这一基本规律。解题最基本的目的是使学生加深对知识的理解，掌握思考问题的基本方法，形成基本技能，最终实现能力的有效迁移。由于数学对象的抽象性，数学活动的探索性，数学推理的严谨性和数学语言的特殊性，所以处于思维发展中的学生不可能直接把握数学活动的本质，必须通过反复思考、深入研究才能洞察数学活动的本质。因此解完题目后，想一想这题渗透哪些数学思想方法，有无规律可循。力求揭示解题规律，知其所以然，知其所以然而后悟。做到能举一反三触类旁通的加以应用，培养思维的灵活性。
例3 如图1 ，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在一起。现ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O （点O 也是BD中点）按顺时针方向旋转。
（1）如图2，当EF与AB相交于点M ，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM 、FN的长度，猜想BM、FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
分析：（1）相等，由△FNO≌△BMO得结论成立
分析：（2）成立，由△FNO≌△BMO得结论成立
反思：这类问题的（1）与（2）虽然图形变了，但是解题的思路没有变，结论也没有变。在解（2）时可用（1）的思路。
在对解题活动的整个反思与总结中我们便会发现问题的深层结构，可以使学生所学知识更具系统和完整性，同时总结题目的共同特征，做到明一类，得一法，也就形成了解决此类问题的解题策略，同时也激发了学生的学习兴趣。
3.反思解题方法，养成思维的广阔性
数学问题有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多。对一道数学题，由于审题的角度不同，得出多种解题方法。即使一次性解题合理正确，也未必能保证一次性解题就是最佳思路，最优最简捷的解法。若满足解出就行，久而久之会变得思维狭窄。解答完一道题后，不能光停留在所得结论上，应引导学生进行反思。教师向学生提出：你是怎样想的？为什么这样想？还有什么解法吗？最优化的解法是什么？将学生的思维一步一步展开，并引导学生根据题目的基本特征、进行多角度观察、联想，去探索更多更好的解题途径。这有利于培养思维的广阔性。
例 4某同学在进行多边形内角和的计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了之后，重新检查，发现是少加了一个内角，问这个内角是多少度？他求得的是几边行的内角和？
解法 方法一；设这个多边形的边数为n
当 (n－2)×180°=1125°时，有n=8.25
因为少加了一个角，所以n=9
所以少加的内角的度数为(9－2)×180°－1125°=135°
方法二：设这个多边形的边数为n，这个内角的度数为x。
根据题意，得1125°+ x=(n－2)×180°
因为边数n为正整数，且0°＜x＜180°,
解得n=9，x=135°.
方法三：设这个多边形的边数为n
则0°＜(n－2)×180°－1125°＜180°,
解得8.25＜n＜9.25.
又因为多边形的边数n是整数，所以n=9
所以少加的内角度数为(9－2)×180°－1125°=135°
运用多种方法求解，既可暴露其思维过程，又能使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系。在问题解决之后，要不断地反思：解题过程是否浪费了重要的信息？解题过程多走了哪些思维回路，思维、运算能否变得简捷？是否拘泥于思维定势，照搬了熟悉的解法？通过这样不断地质疑、不断改进，让解题过程更具有合理性、科学性、简捷性。
4.反思拓展变式，养成思维的深刻性
解完一题后，教师应及时抓住某种契机，引导学生探索、联想、创新，发挥典型习题的功效，将某些题目适当变换条件，将所学的知识纵向加深，横向沟通，可以发挥学生的潜能，培养学生的探索精神。 也可让学生试着编题，比如保留题目的结论或保留条件等。让学生能通过做一道掌握一类题的解法。这有利于培养思维的深刻性。
例5如图,正方形ABCD 的对角线相交与点O,点O是正方形A′B′C′O′
的顶点，如果两个正方形的边长相等，正方形A′B′C′O′绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个定值。求出该定值并加以证明.
分析 由△AEO≌△BFO得S重叠部分=S△AOB=
S正方形
变式一：圆心角为90°扇形绕点O转动，重叠部分的面积还是一个定值吗？定值是多少？
生析：由△AEO≌△BFO得S重叠部分=S△AOB=S正方形
变式二：正三角形ABC的对称中心是O点，圆心角120°的扇形绕点O任意旋转，两个图形重叠部分面积还是等于一个定值吗？定值是多少？
生析：由△AOD≌△BOE得S重叠部分=S△AOB=
S△ABC
变式三：正五边形ABCDE的对称中心是O点，圆心角72°的扇形绕点O任意旋转，两个图形重叠部分面积还是等于一个定值吗？定值是多少？
生析：由△OEP≌△ODQ得S重叠部分=S△AOB=
S五边形
总结规律（学生思考）
点O是任意正n边形的对称中心，只要是圆心角 
度的扇形绕点O旋转任意角度，两个图形重叠部分面积都等于一个定值，定值是 S=
Sn边形。
通过对典型题目的变化规律的探索与证明，培养学生探索能力和创新能力，收到以少胜多、事半功倍的效果。
美国数学教育家波利亚指出：“学习任何东西，最好的途径是自己去发现。”回顾反思作为数学教学中常见的一个环节，是引导学生再发现的一个过程。教师在教学过程中通过引导学生对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对问题中所蕴含的数学方法、数学思想进行思考并做出新的判断。从而引导学生学会解题后的反思，逐步养成解题后自我反思，多角度考虑问题选择最优化途径的习惯。感受不同思维方法带来的解题乐趣，享受一次次反思带来的成功和喜悦。
参考文献
[1]曹才翰、章建跃．数学教育心理学．北京师范大学出版社，1999。
[2]徐永忠．剖析错因，反思教学．数学通报，2003．10。
[3]罗增儒 作为数学教学任务的数学解题.数学教育学报.2005，14（1）
第二篇：注重解题后的反思的几点意义
