注重解题反思提高解题能力

作    者：陈丽玉

（桂林师范高等专科学校20##级初等教育专业，广西，桂林 541001）

[论文摘要]新课程标准非常重视学生良好学习方式的形成以及注重培养数学的数学素养。因此培养解题的能力极其重要，如何提高学生的解题能力我主要从三方面出发，如何指导学生在解题前、解题过程中、解题后进行反思，使学生养成解题反思习惯，从而提高数学解题能力，并学会通过反思探索解题的思维过程，从解题中挖掘知识要点和所应用的数学思想方法。

[关键词] 解题悟性　创立目标意识　剖析思维过程

在实习期间，经过我认真地的观察发现有很多学生对课本习题、复习题非常熟练，解答顺利。在做题的时候有部分同学做完一道题不假思索，能快速地做其余的题目。照常规，他们的成绩应该是很理想的，但却出乎意外，成绩很平常，甚至出现低分。这到底是什么原因呢？“熟能生巧”这句古语究竟是否是数学学习的一条规律？……这一系列的问题促使我挖空心思，不断探索研究，由此我猜想：“解题与思维能力提高之间一定存在一个重要的环节，那就是解题后的反思环节，它是减轻学生课业负担的同时提高学生数学思维能力的必由之路。”最后，我还发现这其中的奥妙：其实学生在一个数学问题的解决时不单单是只会解这道题目，而应该更深一步去挖掘题目隐含的条件、命题的目的、以及所涉及的知识要点和数学思想方法，从而进一步探讨自己在解题过程的思维方式是否正确、合理、严谨，解决问题的策略是否巧妙，还有其他的解法吗？本题的解法和结论能否进一步推广？我认为应该倡导和

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    [作者简介] 陈丽玉 （1986—  ）女，广西桂林人，学生，桂林师范高等专科学校教育与管理系学生

训练学生进行有效的解题反思.培养学生反思意识、形成反思习惯，更好地发挥解题的作用。著名数学家波利亚在《怎样解题》中对数学解题划分为四个阶段：弄清问题——拟定计划——实现计划——回顾，这个过程也包括解题反思，那什么是解题反思呢？所谓解题反思是指对整个解题活动深层次的思考，是再发现、再创造的过程。我主要从三方面出发，探讨如何指导学生在解题前、解题过程中、解题后进行反思，使学生养成解题反思习惯。

一、解题前的反思，培养解题觉悟。

解题前反思指的是处理一道题目时，能通过联想、反思，寻找解题思路.通过解题前反思能培养学生的解题悟性。不少学生解题贪多，没有经过内化，有些题目一旦稍加修改，就茫茫然不知如何入手。良好的解题悟性可以诱导学生的解题思维，找到解题的突破口，并制定有效的解题策略，从而巩固和拓展解题的思路、方法。

例1：若有m 个人，每个人都等可能分配到n间房子中任意一间去住，则有m间房子各住1人的概率是多少?学生解决问题时，教师引导学生联想、反思我们做过的分房问题。设有4个人，每个人都等可能分配到10个房间中任意一间去住，则恰好有4个房间各住1人的概率，就容易找到问题切入口.数学解题思路灵活多变，解决方法途径众多。如何选择最佳思路、最简捷的方法。通过解题反思，形成解题策略，掌握解题的规律，探求其中的共性，再由共性指导我们去解决碰到的类似问题，便可迎刃而解，可以发挥多题同解的作用，有利于培养学生思维的灵活性和敏捷性。

例2 ：从0到9这10个数中，每次任选5个，组成没有重复数字的5位数，问这个5位数是奇数的概率是多少?

学生思考:因为五位奇数，首位不能为零，故样本空间是,样本数为，所以所求概率为：。

拓展：从0到9这10个数中，每次任选5个，组成没有重复数字的5位奇数的概率是多少？

学生一看这两道题，开始解法没什么区别，老师再强调答案一样吗？

学生解题前反思，这两题的样本空间一样吗？我们不能因为五位奇数首位不能为零而束缚任意排列，回避这种情况就意味着不公平，故所求的五位奇数的概率是。

在解题后可以进行推广：一幢11层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上4位乘客，电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上的乘客在同一层离开的概率是多少?

解题前反思，让学生对题目深入地分析研究，从学生的生活经验和已经有的知识出发，起到巩固旧知识的作用，寻找新解题方法。

二、解题过程的反思，确立目标意识。

教师要多创造教学情景，创造有兴趣的教学情景，从现实生活中引入新的数学问题，让学生带着生活问题进入课堂，使得他们觉得数学问题与生活息息相关，使数学问题生活化了。解题是学生学习数学的必由之路，但不同的解题指导就有不同的效果。引导学生，让学生观察、操作、猜想、发现等一系列数学活动，经历从问题情景中获取数据、建立数学模型、发现规律、运用规律解决实际问题的过程与体验，养成对解题进行反思的良好习惯，形成自己对数学知识的理解。解题活动中应把解题着眼点放在分析解题的目标上，以目标为指导，寻找解题思路，挖掘深层次的条件，提高思维的敏捷性，从而使知识得以内化，方法得以迁移，能力得以提高。如在初解直角三角形的“应用举例”这一节时，先让学生在老师的引导下完成4个题目:

1、在高为2cm，倾斜角为30°的楼梯表面铺地毯，求地毯的长度。

2、如图，梯形石坝的斜坡AB的坡度为i=1:3,

坝高BC=2米，求斜坡AB的长。

3、数学课上，老师带领学生去测一条南北流

向的河宽,如图某生在A测对岸C，C在A

北偏西45°的方向上，沿河岸向北行20米到B，                

B在C的正对面，求河的宽度。

4、小明测量电线杆AB的长度，AB与地面所成60°的角，

他发现杆的影长，恰好落在地面AC和斜坡CD上，        

CD与地面成30°的角，量得AC＝12米，

CD＝6米，且此时高为3米的竖杆影长

为4米，求电线杆的长度。

教师启发学生对4个题目的解题过程进行类比性反思，教师并出示四个题目。(1)请同学们归纳概括这四道题目在解题过程中有什么相同点？(2)通过类比反思你发现了什么？在教师的引导下，同学们发现这四道题目，表面上虽有许多不同之处，但有如下几点相同：(1)都是实际问题。(2)运用方程求解。(3)运用三角函数的定义。(4)运用几何知识。在此基础上，教师归纳并板书反思过程：实际问题——几何化——方程化——三角函数定义。通过对四个题目的反思求解，学生对解决这类问题更加清晰明了，并对反思的对象和方法有了初步的认识，使学生进一步理解和掌握反思的规律。

三、解题后的反思,剖析思维过程。

罗增儒教授把解题后缺乏反思、评价的现象称为“进宝山而空手返”。通过学生对已完成的思维过程进行周密且具有批判性的思考，进一步探讨知识的内涵和外延，从中领悟数学思想方法，形成良好的认知结构，提高元认知水平，完善知识体系。

例1已知,求的范围。

解：由于则得。

上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的，但实际上答案是错误的。什么呢？

反思1：看不等式 ，什么时候等号成立呢？由上述解题过程可知，当时，才取等号，而此时不能成立.同理等号也无法取到。

反思2：为什么会出现这样的错误呢？原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来做变形，是非同解变形。上解法为了求得范围，多次应用了这一性质，必然使所求范围扩大了，从而揭示问题的隐蔽性。

反思3：那什么时候可以多次应用同向不等式相加这一性质呢？可以采用特定系数法、换元法、数形结合法等。

问题是思维的核心，从提出问题中培养思维能力。教师在平时的教学中要有理论高度，把数学心理学等其他教育理论贯穿于教学过程中，用数学启发法去剖析解题思路的发现和结论的猜想。在例题教学中，要经常从解题后的反思出发，启发学生进行猜想、提炼，并及时给予表扬和鼓励。

例如：在讲解四边形内角和时，给出下面的问题：

1、图（1）中作对角线AC、BD

能求出四边形ABCD的内角和吗？

2、图（1）中如果在四边形ABCD的内部任取一点P，

结PA、PB、PC、PD能得到几个三角形？根据这些三角形，

能求出四边形ABCD内角和吗？

利用这两个问题，引导学生思考、探索并解答，最后在反思的基础上进一步提炼，不断的开发学生的思维，提出新的问题，从根本上提高数学能力。通过思考很快得以解决，教师进一步引导学生“图中的点P可不可以移动，移动后是否还可以推出四边形内角和？”教室一片寂静，突然，一个学生兴奋的喊到：老师，我做出来了！紧接着，学生都举起了手，纷纷发表自己的做法，出乎意料，学生又说出了下面五种解法：

方法1:如图（2）在AB上任取一点P，连结DP、CP

∠A＋∠B+∠BCD+∠ADC

＝(∠A+∠1+∠7)+(∠2+∠3+∠6)+(∠4+∠B∠5)-(∠5+∠6+∠7)

＝180°+ 180°+ 180°- 180°

＝360°

方法2：如图(3)在四边形外任取一点，连结AP、BP、CP、DP

∠BAD＋∠ABC+∠BCD+∠ADC

＝(∠DAB+∠8+∠7+∠1)+(∠2+∠3+∠6)+(∠4+∠CBA+∠9+∠5)

-(∠8+∠9++∠5+∠6+∠7)

＝180°+ 180°+ 180°- 180°

＝360°

方法3：如图(4)在AB延长线上取一点P，

连结DP、CP

∠A＋∠ABC+∠BCD+∠ADC

＝∠A+∠3+∠4+∠5+∠5+∠BCD+∠1+∠2

＝(∠A+∠1+∠5)+(∠2+∠3+∠4+∠BCD)

＝180°+ 180°

＝360°

方法4：如图(5)在DB延长线上取一点P

∠A＋∠ABC+∠C+∠ADC

＝∠A+∠4+∠3+∠C+∠2+∠1

＝(∠A+∠1)+(∠2+∠C)+∠3+∠4

＝∠6+∠5+∠3+∠4

＝360°

方法5：如图(6)延长AB、DC交于P

∠A＋∠ABC+∠BCD+∠D

＝∠A+(∠1+∠P)+(∠2+∠P)+∠D

＝180°+ 180°＝360°

如果我们对上面解法仅停留在“一题多解”操作面上，那就是“进宝山而空还”，错过提炼精华的大好时机，甚至还会使部分学生在众多信息的干扰之下。连一个基本的解法都掌握不了。因此，应该分析上述图中众多解法所体现的数学思想方法及本质联系。做完一道题后，不能停留在满足所得出的结论上，而应该把具体思维对象的本质抽取出来，再进一步推广为一类对象所具有的普通属性，提高思维的深刻性。

从以上几个案例，我们可以看出，落实解题后的反思，对提高学生数学思维能力有其重要的意义，它是由知识到能力的一条必由之路。加强对习题反思，引导学生进行类比和归纳，引发他们的猜想，提高他们的解题能力，养成解题反思习惯。

四、教师如何引导学生进行解题反思呢？

（一）、积极反思，查漏补缺，加强对基本概念的理解和梳理。

有些学生只是一味的做题，对基本概念反而比较忽视。 解数学题时，有时由于审题不确，概念不清，套用相近知识，考虑不周，难免产生这样或那样的错误。引导学生思考，解题中涉及到哪些知识要点和数学思想方法，解题方法能否推广，解题过程有没有漏洞，解题结果是否正确、合理？通过解题反思，巩固所学的知识，重构自己的认知结构，从而发展思维，提高探索能力，引发再创造。

（二）、积极反思，探求一题多解，提高综合解题能力。

数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归。即使一次性解题合理正确，也未必能保证一次性解题就是最佳思路，最优最简捷的解法。不能解完题就此罢手，如释重负。应引导学生反思解题思路，根据题目的基本特征，进行多角度观察、联想，找到更多的思维通道，去探索更简便的解题途径.通过一题多解训练学生的发散性思维，优化思维品质.在解完一道题后可引导学生反思，归纳解题规律；在原题上进行编题，探索新命题；通过多题同解、一题多变，促使学生反思，做到举一反三，更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹。

（三）、积极反思、系统小结，使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理化，在解题中应用自如，有的放矢。

积极反思，系统小结，对知识点做个横向与纵向的比较。有些同学做题，易犯就事论事，就题论题，"铁路巡警，各管一段"的毛病，掌握的知识支离破碎，脑海一片空白。常对做过的题目做这样一个纵向或者横向的比较，做个归纳与总结，可以让学生对自己学过的内容有一个系统的认识，可以达到会做一题如做百题的效果。

总之，作业中反思环节是学生提高数学能力的一条捷径，有了反思要求，老师就不会出现一味强调反复操练的盲目性要求。反思学生就会既见树木，又见森林，就很容易把数学过程对象化，而不只是把数学看作就是一些过程，一些细枝末节，除此之外没有别的东西。有了反思就不会停留在把过程、法则当作无意义的符号游戏的认识上，有了反思，使学生的学习观念不只停留在会算、会变形、会套公式的认识上，知道还有更重要的东西要学，那就是数学思维方法，数学语言的学习。因此，我们只须给学生适量的作业，只要能达到继续上升的基本要求就行，关键在于“指导学生将注意力转移到对数学过程和自己的解题过程的反省上来”，促进学生从过程性知识升上到对象性知识，大量的练习会占据学生形成对象性知识建构所需要的时间，“使差生为了完成作业疲于奔命，只能就事论事，无暇顾及反思，阻断了学生对象结构形成的路，也会使好学生过久停留在此阶段，客观上延缓了上升速度。”因此，反思环节的实施过程，就是消灭“题海战术”、减负增效、进行素质教育的过程。

参考文献：

[1] 任志鸿，新课程标准优秀教案[M],南方出版社，2003，46-49

[2] 马小为, 初中数学应用开放题演练[M],未来出版社，2001，153-157.

[3] G·克劳斯, 从哲学看控制论, 中国社会科学出版社,2001,  102-103

[4] 杨小微，现代教育理论，湖北科学出版社 ,2003,  51-53

[5] 魏宗舒，概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社.2001.6.

New curriculum standards attaches great importance to good learning methods, as well as on the formation of mathematical literacy training in mathematics. So cultivate the ability to problem solving is extremely important, how to improve the

problem-solving ability of students starting my three-pronged approach, how to guide students in solving problems, the process of problem solving, problem solving after reflection, to enable students to develop problem-solving habits Reflection , thereby enhancing the ability of mathematical problem solving, and learn problem solving through reflection to explore the thinking process, from the problem-solving knowledge in the mining points and the application of mathematical methods of thinking.

致谢

感谢我的指导老师在这段时间里细致耐心地教导，让我能顺利完成毕业论文的写作；还感谢我的父母、同学和朋友，给我大力地持与帮助；让我从中得到了很大的收获。

本人声明

我声明，本论文及其设计工作是由本人在指导老师的指导下独立完成的，在完成时所用的一切资料均已在参考文献中列出。

                                                               

第二篇：数学解题反思能力的培养

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数学解题反思能力的培养

作者：靳莉颖

来源：《现代教育科学·中学教师》20xx年第06期

费赖登指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”“通过反思才能使现实世界数学化。”教师应该注意培养学生的解题反思能力。培养学生对解题过程的反思，是提高学生解题元认知水平的需要、是加深学生对数学知识的理解、是对数学方法运用的有效途径、是促进学生对解决问题由感性上升为理性的蜕变。

在实际的教学中，由于缺少教师的有效指导，学生不知如何反思，他们仅仅停留在复述解题过程的层面，达不到知识内化的效果。笔者结合自己的教学实践，从以下几个方面谈谈进行解题反思能力的培养。

一、解决问题过程中，对问题解决突破口的反思，激活学生的解题思维

解题过程中，解决问题的方法往往是“灵感一现”，教师应该帮助学生慢慢地拨开神秘的面纱，形成思维过程，展现分析问题的途径，让学生说出“我是怎么想的”。如在钟面上的12个数前面，恰当地添加正号或负号，使它们的和为零。许多学生无从下手，摸不着头脑，即使一点点去尝试，仍旧很久做不出。有少数的学生能发现其中的几个答案，我便让他说出怎么想的？怎么做的？逐步引导学生发现从1到12的12 个整数之和为78。只需把这12个数分为两组，一组数的和为39，另一组数的和为-39即可。只有正确地把握问题解决的突破口，学生才能学会“数学地思维”。这种解题经验的积累，可以通过学生有意义地学习，独立地感悟，长期地进行自主探索，不断地概括、反思而获得。

二、解决问题过程中，对用到的数学思想方法的反思，提升学生的解题技能与技巧

学生只关注一道题目怎么做，做完就完事了，“只见树木不见森林”，而很少去关注解决问题过程中所用到的数学思想方法，不关注问题之间的共性与通法。学生只有提高了反思的理性含金量，才能“以一抵十”，触类旁通。在教学中，教师应引导学生去挖掘，去发现千变万化的解法背后的本质。教师可以把原问题进行变式拓展，使问题的内涵得以延伸，通过分析比较，把解题思路由特殊化引向一般化，把原有的认知结构进行整合和重组，纳入到认知体系中，形成清晰的知识块，从而转化为能力。例如原问题：3个朋友在一起，每两人握一次手，他们一共握了几次手？4个朋友呢？n个朋友在一起呢？变式1：小学毕业时，同学之间互相赠送单人照片以留念，现在六年级甲班有50人，问他们一共赠送了多少张照片？变式2：平面内，有3条直线，两两相交，最多有几个交点？4条呢？n条呢？变式3：n边形的对角线有多少条？问题的呈现有不同的形式，在解决完问题之后，引导学生“要透过现象看本质”。这不仅有助于学生理解数学问题的本质，而且有利于学生架起问题本质与形式间的联系，使知识在外在形式的改变中不断深化，使解题思路在形式的改变中逐步提升。引导学生总结题型，找出问题间的共性，提炼方法。运用通法可以不变应万变，将解题技能、技巧规律化。

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三、解题过程中，对出现的错误进行归因反思，增强学生解题思维的理性化

建构主义认为学习过程并不是简单的信息输入，存贮和提取，而是新旧知识或经验之间的相互作用过程，主要是同化和顺应。在解题过程中，学生出现错误是难免的。教师可以把错误作为教育资源，为学生提供具有挑战性的学习素材，因势利导，使学生形成认知冲突，有效地挖掘错误中蕴含的创新因素，帮助学生突破思维障碍，引领学生灵活地纠正错误。学生经历了找错、辨错、纠错的过程，在获得数学理解的同时，观察能力、表达能力、思维能力等各个方面都得到了很好的锻炼，逐步学会从错误中反思，从错误中学习，从错误走向正确，走向成功，从而使学生的反思一步步的由隐性转化为显性，由感性上升为理性。

在教学中培养学生的解题反思能力是一个长期的、持久的过程，教师要循序渐进，因材施教，持之以恒。数学教育的最终目的并不是简单地教会学生如何解决课本中的数学题，而是通过解题反思使学生学会思考，学会思维。