注重解题反思,提高解题能力
衢江区杜泽中学 黄钦荣
【内容摘要】:注重解题反思教学,提高学生解题能力,训练学生进行有效的解题反思势在必行。在例题教学中要安排反思教学环节,要注重加强解题教学后的反思训练,培养学生反思习惯,增强学生的反思能力。教师要重点对解题过程,解题方法进行反思,更离不开对题目的条件或结论进行变式,引申推广后的反思,这样就可以使学生加深对问题的理解,优化思维过程,体会解题带来的乐趣,享受探究带来的成就感,从而提高学生的解题能力。
【关键词】:解题 反思 能力
元认知是指人们对自己的认知加工过程的自我觉察、自我评价、自我调节;反思则是人们对自己认知过程的再认识。解题反思则是对解题活动的再认识,属于解题活动的“元认知”,它是对解题活动的深层次再思考。她不仅仅是对数学解题学习的一般性回顾和重复,而且更是探究数学解题活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等,具有探究性、批判性、自主性,解题反思不仅有助于对知识的深刻理解,提高对知识理解的层次,而且还能帮助学生提高数学思维的“变通”性,从而提高学生的解题能力。
古人云:“反求诸己”、“扪心自问”、“笃学善思”、“学而不思则罔,思而不学则殆”,这些要求的本质就是强调反思。培养学生的解题反思,不仅是正确迅速解决问题的需要和保证,而且是优化学生思维品质,提高学生解题能力的有效途径。
一、反思解题思路,拓宽学生的解题方法
我们知道,解题是数学学习活动的基本形式,解题教学就是解题思维过程的
教学,教会学生如何思考是解题教学的目的所在。在解完一道题后,引导学生对解题思路进行反思,看能否根据该题的特点进行多角度的思考、联想,寻求各种思路,从而拓宽解题方法。
【例1】:已知等比数列中,
解:设公比为,由题意知,则
① 与②两边相除得 ,代入①得:
反思本题的解题思路,我们还可以发现以下几种解法:
解法一:利用等比数列性质:
解法二:易证,等比数列依次每项和仍是等比数列,故
设
成等比数列,也成等比数列
解法三:运用函数方法.
一题多解,每一种解法可能用到不同的知识,这样一来可以复习相关知识,掌握不同解法技巧,然后比较众多解法中对这一道题哪一种最简捷,最合理?把本题的每一种解法进一步推广,可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用。我们要善于总结,掌握规律,探求共性,再由共性指导我们去解决碰到的类似问题,便会迎刃而解, 这对提高解题能力尤其重要。
二、反思错题原因,提升学生的解题纠错能力
学生在解题过程中可能会出现形形色色的错误,为了纠错,教师应当通过引
导学生反思错题原因,通过必要的反思,找出自己解题出错的原因,探究改错的方法,提出防范的措施,拓展解题的思路,并及时使自己的知识进一步系统化,提升学生的解题纠错能力。。
【例2】:已知实数满足的最大值.
学生在解答中常常出现多种错误,其中两种典型的错误是:
错解1:
错解2:
如何引导学生发现自己的错误呢?
对于错解1,教师可以提问学生:解法中用了基本不等式,何时取“等号”?此时当且仅当时取等号,这时我们会发现,矛盾!那么,为什么会出现这样的错误,这是因为两次运用了基本不等式,涉及到两次取等号,但两次等号不能同时取到,所以按这种解法,的最大值取不到。在此基础上,我们可对学生进一步强调:求最值时若多次运用基本不等式应注意等号能否同时取到,它能够帮助我们在解题的过程中及时地调整自己的思路。
对于错题2,教师可启发学生反思:解法中没有运用基本不等式,又错在哪儿呢?事实上我们两次运用“完全平方非负”进行放缩,同样的道理,两次等号不能同时取到。
反思了致错的原因后,可再进一步回到探究问题求解目标的基础上,通过将条件进行必要的整体处理后再使用基本不等式,为此可发现有多种解法。
正解1:
即:
所以:
正解2:据题设,可以进行三角代换:
令
即:
正解3:据题设可构造向量,设
于是
而
所以:
对本题解答的结果进行反思,还可获得如下一些结论:
(1)上述正确解法1的实质是当且仅当时取等号。
(2)本题条件与结论可进一步推广,本质是柯西不等式:
,当且仅当时取等号。
三、反思解题策略,提高学生解题“变通”能力
解数学题离不开解题策略的,而解题策略的选择是以数学思想方法伟基础
的。数学思想方法是数学的灵魂,是对数学的本质的认识。解题策略的选择是一种有目的的思维活动,然而并不遵循严格的逻辑规则,往往有许多中间性的跳跃,它通常是依据知识经验和审美判断,对解决数学习题的途径和方法作出总体性的决策,带有一定程度的猜测性和预见性。
解题策略的选择与运用往往对解题过程的繁简起着决定性的作用。一道题目解完后,引导学生反思所应用的解题策略,探索新的解题思路,对提高学生解题“变通”能力颇有益处,这也是课程改革的基本要求。
【例3】:已知椭圆C1:,抛物线C2:,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(Ⅰ)当轴时,求p、m的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;
(Ⅱ)若且抛物线C2的焦点在直线AB上,求m的值及直线AB的方程.
解后反思:这是一道典型的平面解析几何问题。关于直线与圆锥曲线的位置关系的综合问题,常用“设而不求”的策略,利用方程思想和韦达定理解决,有时,也可以用焦半径公式(椭圆和抛物线的公式有所区别)来解决。这就是“一题多解”。如果将题中的“椭圆”换成“双曲线”会怎样呢?可以进行“一题多变”,拓展思路,训练思维,形成能力,达到提高学生解题的“变通能力。
【例4】:求函数的最大值和最小值
本题的一般解法为运用二倍角公式转化为: 令,则
,在此变化过程中,自变量的变化范围没有发生变化,运用“”法可求得:上述的转化仍停留在代数结构内部,且半角公式教材已删除,只能由二倍角转化,运用上述解题思路过程比较繁琐。我们可以引导学生思考:有没有更简便的方法?由已知函数的表达式的结构形式还能联想到什么?如果学生的认知结构中“”能迅速被提取并与“”比照,问题马上转化为:求点与点连线的斜率的最值。考虑到懂点B的轨迹为单位圆,则问题马上迎刃而解。解题的策略仍然是“转化”,但跳跃性大,是运用数形结合思想将代数问题转化为几何问题。经常进行这样的反思训练,对提高学生解题的变通能力是很有好处。
四、反思变题,提高学生的解题“灵活”能力
一个问题解答完之后,回头看题目本身,常常会有深一层次的认识,比如:
条件有没有多余?结论可不可以加强?结论可不可以推广?如果条件发生某些变化,会不会影响结论成立?经常进行这样的反思,将有利于增强学生的解题能力,特别是提高学生的灵活运用能力。
【例5】;已知求函数的最小值。
这是一道基本不等式的题目,我们可以立足问题结构进行必要的反思,并因此将原题进行一系列的变化,通过对问题的条件和结论进行改变,我们可以进行以下的变题:
变题1;
本题因条件发生变化,所以不宜利用基本不等式求解,但可用函数的单调性来解。
变题2:
本题要把原函数进行变形:,所以可以利用基本不等式求解。
变题3:
本题也是把原函数进行变形:,当且仅当
一般地说,习题变式的具体操作方法很多,比如,从题目的形式入手可以有:变化条件、变化结构、逆向调换条件和结论;从题目条件结论之间的逻辑关系入手可以有:类比、强化、弱化。除此之外,还有同一种解法(或者体现了同一种思想),但涉及了不同的知识点的若干命题组合在一起(多题一解、多题归一)的广义变式等。
总之,解题后引导学生不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括,
对问题中所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断,让学生体会解题后的反思及反思后的效果,通过解题反思,做一道题,会一套题,解决一种题型,复习一系列知识,掌握一两个规律,有效地进行解题训练,提高学习效率,提高解题能力,达到了 “用学过的知识与方法,解决没有见过的题目”的高度,从而享受探究数学问题带来的成就感。常此以往,逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯,并懂得如何学数学,这是学好数学的必要条件。
参考文献:
1、罗增儒.数学解题学引论.陕西师范大学出版社,2001.
2、杨俊林.例谈数学解题反思的收获.中国数学教育(高中版),2011(3).
3、汤晓燕.解题反思:内涵理解与实践探索.中学数学研究(南昌),2011(4).
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