初等数论试卷

一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分）

１．设为实数，为的整数部分，则(　　)

Ａ．；　　Ｂ．；

Ｃ．；　　Ｄ．．

２．下列命题中不正确的是(　　)

Ａ．整数的公因数中最大的称为最大公因数；

Ｂ．整数的公倍数中最小的称为最小公倍数

Ｃ．整数与它的绝对值有相同的倍数

Ｄ．整数与它的绝对值有相同的约数

３．设二元一次不定方程（其中是整数，且不全为零）有一整数解，则此方程的一切解可表为(　　)

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

４．下列各组数中不构成勾股数的是(　　)

Ａ．５，１２，１３；　　Ｂ．７，２４，２５；

Ｃ．３，４，５；　　　　Ｄ．８，１６，１７

５．下列推导中不正确的是(　　)

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

６．模１０的一个简化剩余系是(　　)

Ａ．　　　　　　　　Ｂ．

Ｃ．　　Ｄ．

７．的充分必要条件是(　　)

Ａ．　　　Ｂ．

Ｃ．　　　Ｄ．

８．设，同余式的所有解为(　　)

Ａ．或　　　　　Ｂ．或

Ｃ．或　　Ｄ．无解．

9、设f(x)=其中为f(x)的一个解，则:(      )

A．

B．

C．      

D．

10．则同余式

：（      ）

A．有时大于p但不大于n;              B．可超过p

C．等于p                             D．等于n 

11．若2为模p的平方剩余，则p只能为下列质数中的 :(       )

A．3             B．11             C．13            D．23

12．若雅可比符号，则  (      )

A．

B．;

C．;

D．．

13．(    )

   A． 4          B． 3          C．  2           D．  1

14． 模12的所有可能的指数为;(        )

  A．1，2，4      B．1，2，4，6，12     C．1，2，3，4，6，12   D．无法确定

15． 若模m的单根存在，下列数中，m可能等于:  (      )

  A．  2     B．  3        C． 4        D．  12

16．对于模5，下列式子成立的是: (     )

     A．                  B．  

    C．                D．

17．下列函数中不是可乘函数的是:  (      )

  A．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a)   ;

B． 欧拉函数；

C．不超过x的质数的个数；

D．除数函数；

18． 若对模的指数是，>0，>0，则对模的指数是(    )

A．       B．      C．       D．无法确定

19．，均为可乘函数，则(    )

A．为可乘函数；     B．为可乘函数

C．为可乘函数；   D．为可乘函数

20．设为茂陛乌斯函数，则有(    )不成立

A．      B．      C．     D．

二．填空题：（每小题1分，共10分）

21． 3在45中的最高次n＝ ____________________；

22． 多元一次不定方程：，其中 ， ，…，，N均为整数，，有整数解的充分必要条件是___________________；

23．有理数，，，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；

24． 设为一次同余式，的一个解，则它的所有解为_________________________；

25． 威尔生（wilson）定理：________________________________________；

26． 勒让德符号=________________________________________；

27． 若，则是模的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)；

28． 在模的简化剩余系中，原根的个数是_______________________；

29． 设，为模的一个原根，则模的一个原根为_____________；

30． _________________________________。

三．简答题：（5分／题×4题＝20分）

31．命题“任意奇数的平方减1是8的倍数”对吗？说明理由。

32．“若，通过模的简化剩余系，则也通过模的简化剩余系”这命题是否正确？正确请证明，不正确请举反例。

33．求模17的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。

34．设为的标准分解式，记为的正因数的和，为的正因数的个数，则＝？  ＝？  为什么？

四．计算题。（7分／题×4题＝28分）

35． 求不定方程6x+93y=75的一切整数解。

36． 解同余方程组

37．解同余式≡11(mod125)

38．求模13的所有原根。

五、证明题：（7分/题×2题=14分）

39、试证： ，（x，y）=1 y是偶数的整数解可写成：

  

这里，，并且一为奇数，一为偶数。

40、设a为正整数，试证：

 

其中表示展布在a的一切正因数上的和式。

六、应用题：（8分）

41、求30！中末尾0的个数。

参考答案

一．单项选择：ABCDD；DACCB；DCAAD；BCBAB。

二．填空题：21．21；22．；23．；24．；25．！+1为素数；26．1；

27．；28．；29．与中的单数；30．16

三．简答题：31．答：命题正确。 

 而必为2的倍数。

86页

32．正确．证明见教材。

33．在摸的简化剩余系中与同余的数是数的平方剩余，，，

故1，2，4，8，9，13，15，16为摸17的平方剩余，而3，5，6，7，10，11，12，14为摸17的平方非剩余。

34． 

 

证明：若为可乘函数，则．

     分别令，它们为可乘函数，即得出。

四．计算题

35．解：因为，故原不定方程有解。

       又原方程即 ，而易见方程有解

       。所以原方程的一个解是

所以，原方程的一切整数解是：（     ）

       t是整数

36．解：因为模5，6，7两两互质，由孙子定理得所给同余方程组关于模

5×6×7＝210有唯一解，分别解同余方程：

，，，得

，  ，

因此所给同余方程组的解是：

即：

37．解：从同余方程，

      ，

      ，

      是

      得

即  是所给方程的一个解，于是所解为：

           解毕。

38．解：   为其质因数

        ，故g为模13的原根的主要条件是：

       ，

       用  g=1，2，……12逐一验证，得：2，6，7，11为模13的原根，

       因为，故模13原根只有4个，即为所求。

五、证明题：

39．证明：易验证所给的解为原方程的解，因y为偶数，原方程可化为：

         

        但  

            

                  而，所以（，）=1

                  由书中引理，我们可假设

                      =，   =b

                  显然>b， (，b)=1， 于是

                      X=－b，  z=+ ，y=2

                  因子为奇数，所以，b一定是一为奇，一为偶，证毕

40．证明：假定 ，---， 为的所有正约数，那末

                      ，---，也是的所有正约数，于是

                           =

                 再因为在的完全剩余系中任一数的最大公约数

                 必定是 ，---， 中某一个数，而完全剩余系中与的最

                 大公约数为的数有 ，所以：

                           = m                     证毕

六．应用题：

41．解：5在30！中的最高次幂=++

                                  =6+1+0=7

  2在30！的最高次幂=++++

                               =15+7+3+1+0=26

             10=2×5，故 30！的末尾有7个零。

第二篇：初等数论试卷

20xx年4月高等教育自学考试

一、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1.μ(2002)=_________； d(2002)=_________.

2.自然数225，226，?，240中的素数是_________.

3.n+2,2n+3,3n+1中必定互素的一组数是_________.

4.模7的绝对值最小简化剩余系是_________.

5.同余方程16x≡6(mod 46)的解是_________.

6.不定方程3x+4y=5的通解是_________.

7.17|(2002-1)，则正整数n的最小值是_________.

8.满足?(n) =20的n有多个，其中两个是_________.

9.弗罗贝纽斯(Frobenius)问题可表述为_________. 10.??54

?179???n =_________.

二、计算题(本大题共3小题，第1，2小题各7分，第3小题9分，共23分)

1.判断下面同余方程组是否有解，如有解则求出其解：

?x?2(mod15),

? ?x?7(mod20),

?x?5(mod9).?

2.试求不定方程y2+x=x2+y-22的所有正整数解.

3.判断同余方程x2≡62(mod 113)是否有解，如有解，则使用高斯(Gauss)逐步淘汰法求其解.

三、论证题(本大题共4小题，第1，2小题各8分，第3小题10分，第4题11分，共37

分)

1.试证一个正整数的平方，必与该正整数的各位数码字的和的平方，关于模9同余。

2.设(a,m)=1,x通过模m的一个简化剩余系，试证ax也通过模m的简化剩余系.

3.设Fn=22+1，试证(Fn,Fn+1)=1.

4.试证在两继自然数的平方之间，不存在四个自然数a<b<c<d，使得ad=bc.

n

20xx年7月高等教育自学考试

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

1.对于不同的整数n,最大公因数(4n-2,3n+1)将有不同的值,其可能得到的值共有（ ）

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

2.以下各组数中,恰有一个素数和一个合数的数组是（ ）

A.101,103 B.117,119

C.131,133 D.141,143

3.设a是整数,下面同余式必不成立的是（ ）

A.a≡-1(mod 4)

C.a≡3(mod 11) 22B.a≡2(mod 7) D.a≡-1(mod 13)

224.以下同余方程或同余方程组中,无解的是（ ） A.6x≡10(mod 22) B.6x≡10(mod 18)

C.? 8)?x?3(mod

20)?x?11(mod D. ??x?1(mod 12)

?x?7(mod 9)

5.在数201,202,203,204中不能表为两整数平方和的数共有（ ）

A.0个 B.1个

C.2个

二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1.d(2000)=____;π(200)-π(180)=____.

2.为了编制1至2000之间的素数表,只需从中删去素数2,3,?,p的倍数,留下的数(包括2,3,?,p自身)就全是素数.为此,最小的p是____.

3.设n是合数,且?(n)=6,则其中一个n是____.

4.同余方程12x≡8(mod 44)的解是____.

5.不定方程7x+5y=22的通解是____.

6.22004被31除所得余数是____.

7.华林(Waring)问题是指____.

8.依据勒让德 (Legendre)符号的值,同余方程x2≡69(mod 199)的解的个数是____.(注:661是素数)

三、计算题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

?x?6 (mod 9)

?1.解同余方程组?3x?1 (mod 7)

?4x?3 (mod 11)?D.3个

2.试用高斯(Gauss)逐步淘汰法解同余方程x2≡33 (mod 97).

3.试求方程

3x-14-??4x?3???7?=0的实数解.

四、证明题(本大题共3小题，第1小题8分,第2小题10分,第3小题11分,共29分)

1.试证x6+5=y2无整数解.

2.试证形如4m-1的素数有无限多个.

3.设(a,m)=1,正整数n使an≡1 (mod m)成立.这样的n有多个,其中最小的记为δ.试论δ|n.

20xx年4月高等教育自学考试

一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

1.?(5600)=_____.

2.同余方程20x≡14(mod 72)关于模72的解是_____.

3.不定方程7x+19y=213的整数解是_____.

4.模19的平方非剩余是_____.

5.同余方程x≡74(mod 101)有_____个解.

6.199!末尾连续地有_____个零.

7.547是_____.（填“素数”或“合数”）.

8.写出模10的一个最小的非负完全剩余系，并要求每项都是3的倍数，则此完全剩余系为_____.

9.最大公因数(n+1,3n+2)=_____.

10.欧拉定理表述为_____.

二、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分)

1.求1010

?x?2(mod 7)

?2.解同余方程组?x?5(mod 9).

?x?11(mod 15)?102被7除所得的余数.

3.甲物每千克5元，乙物每千克3元，丙物每3千克1元，现在用100元买这三样东西共100千克，问各买几千克？

4.用高斯逐步淘汰法解同余方程x2≡73(mod 137).

三、证明题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

1.若n=9k+t,t=3,4,5或6，k∈Z，证明方程x3+y3=n无整数解.

2.设3|(a2+b2)，证明3|a且3|b.

3.若(a,m)=1，x通过模m的简化剩余系，则ax也通过模m的简化剩余系.

浙江省20xx年7月高等教育自学考试

初等数论试题

课程代码：10021

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.-30被-9除的余数是( )

A.-3

C.3

2.下列给出的数中是合数的是( )

A.1063

C.1093

3.???1000?400???中5的幂指数是( )

?B.-6 D.6 B.1073 D.1103

A.1 B.2

C.3 D.4

4.不能表示为5x+7y（x, y是非负整数）的最大整数是( )

A.23 B.24

C.25 D.26

5.下列给出的素数模数中，3是平方非剩余的是( )

A.37 B.47

C.53 D.59

二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1.60480的标准分解式为______.

2.μ(50400)=______.

3.π(55.5)＝______.

4.对任意的正整数n，最大公因数(12n+1,30n+3)=______.

5.若?(n)=4，则n=______.

6.同余方程6x≡7(mod 23)的解是______.

7.不定方程6x+9y=30的通解是______.

8.写出模10的一个最小的非负简化剩余系，并要求每项都是7的倍数，则此简化剩余系为______.

9.326被50除的余数是______.

10.梅森数M23是______（填素数或合数）.

三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分)

1.已知两正整数中，每一个除以它们的最大公约数所得的商之和等于18，它们的最小公倍数等于975，求这两个数。

2.有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？

3.求正整数x，使x2-1216是完全平方数。

24.已知563是素数，判断不定方程x+563y=429是否有整数解。

四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)

1.证明当n为整数时，504|n9-n3。

2.设(a, m)=1，若x通过模m的完全剩余系，则ax + b也通过模m的完全剩余系.