拉伸法测金属丝的杨氏弹性模量
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拉伸法测金属丝的杨氏弹性模量
【内 容 摘 要】本文的主要内容是以放大法测量金属丝的杨氏模量，先介绍了杨氏模量；然后介绍了实验的目的、原理及内容；其次是实验数据处理；最后是实验结果的讨论和不确定度简单介绍。为了更精确了处理数据，我们采用了逐差法对实验数据进行了处理。
【关 键 词】 杨氏弹性模量;静态拉伸法；金属丝；光杠杆
【引 言】杨氏弹性模量是描述材料抵抗弹性形变能力的物理量, 它是工程技术中机械构件选材时的重要参数。本实验用静态拉伸法测定一种金属丝的杨氏弹性模量.静态拉伸法通过测量对试样直接加力下的形变来测量试样的杨氏弹性模量,原理直观、设备简单,测量方法、仪器调整、数据处理等方面都具有代表性,是力学基础实验之一. 光杠杆是一种利用光学放大方法测量微小位移的装置. 其方法在近代精密仪器中常有应用. 例如在原子力显微镜(AFM)的系统中,就是利用光杠杆的原理使用微小悬(cantilever) 来感测针尖与样品之间的交互作用,这作用力会使悬臂摆动,再利用激光将光照射在悬臂的末端,当摆动形成时,会使反射光的位置改变而造成偏移量,此时激光检测器会记录此偏移量,并把此时的信号传给反馈系统,以利于系统做适当的调整,最后再将样品的表面特性以影像的方式呈现出来.在实验中,通过砝码的增减来改变对试样施加的拉力. 在增加和减去砝码的过程中,砝码数相同时对应的标尺读数往往是不一致的,在尽量消除和减小各方面的影响后,仍存在有规律的偏差.从原理上说,只要所加负载是一样的,测得的伸长值应当是一致的. 为什么出现这种偏差?对实验结果有什么影响? 本文对多种可能的影响因素进行了分析。在实验方法上，通过本实验可以看到，以对称测量法消除系统误差的思路在其它类似的测量中极具普遍意义。在实验装置上的光杠杆镜放大法，由于它的性能稳定、精度高，而且是线性放大，所以在设计各类测试仪器中得到广泛的应用。
【正 文】
一、杨氏弹性模量的介绍
（一）概念理解
杨氏弹性是描述固体材料抵抗形变的能力的物理量，它与固体材料的几何尺寸无关，与外力大小无关，只决定于金属材料的性质，它的国际单位为：牛/米2（N/m2），它是表征固体材料性质的重要物理量，是选择固体材料的依据之一，是工程技术中常用的参数
(二）杨氏弹性模量测量的常用方法
1、万能试验机法：在万能试验机上做拉伸或压缩试验，自动记录应力和应变的关系图线，从而计算出杨氏弹性模量。
2、静态拉伸法（本实验采用此法），它适用于有较大形变的固体和常温下的测量，它的缺点是：①因为载荷大，加载速度慢，含有驰豫过程。所以它不能很真实地反映出材料内部结构的变化。②对脆性材料不能用拉伸法测量；③不能测量材料在不同温度下的杨氏弹性模量。
3、动态悬挂法：将试样（圆棒或矩形棒）用两根线悬挂起来并激发它作横向振动。在一定条件下，试样振动的固有频率取决于它的几何形状、尺寸、质量以及它的杨氏弹性模量，如果我们在实验中测出了试样在不同温度下的固有频率，就可以算出试样在不同温度下的杨氏弹性模量。此法克服了静态拉伸法的缺点，具有实用价值，是国家标准规定的一种测量方法。
（三）理论知识准备
1、弹性形变：物理在外力作用下都要或多或少地发生形变。当形变不超过某一限度时，撤走外力之后，形变能随之消失。这种形变称为弹性形变。
2、弹性形变类型：对固体来说，弹性形变可分为四种：①伸长或压缩的形变（应变）；②切向形变（切变）；③扭转形变（扭变）；④弯曲形变。
3、基本原理（胡克定律）：一根粗细均匀的金属丝，长度为L，截面积为S，将其上端固定，下端悬挂砝码，于是，金属丝受外力F作用而发生形变，伸长了
，比值F/S是金属丝单位面积上的作用力，称为胁强（正应力）；比值/L是金属丝的相对伸长，称为胁变（线应变）。根据虎克定律，金属丝在弹性限度内，它的胁强与胁变成正比，
即
式中比例系数Y就是杨氏弹性模量。由于伸长量的值很小，用一般量具不易测准。本实验采用光杠杆望远镜尺组进行放大测量（简称光杠杆放大法）。
二、实 验 目 的
（1）掌握“光杠杆镜”测量微小长度变化的原理。
（2）学习如何依实际情况对各个测量值进行误差估算。
（3）练习用逐差法处理数据。
三、实 验 原 理
物体在外力作用下或多或少都要发生形变，当形变不超过某一限度时，撤走外力之后形变能随之消失，这种形变叫弹性形变，发生弹性形变时物体内部将产生恢复原状的内应力。
设有一截面为S，长度为L0的均匀棒状（或线状）材料，受拉力F拉伸时，伸长了
，其单位面积截面所受到的拉力
称为胁强，而单位长度的伸长量
称为胁变。根据胡克定律，在弹性形变范围内，棒状（或线状）固体胁变与它所受的胁强成正比：
其比例系数Y取决于固体材料的性质，反应了材料形变和内应力之间的关系，称为杨氏弹性模量。
（1）
本实验是测定某一种型号钢丝的杨氏弹性模量，其中F可以由所挂的砝码的重量求出，截面积
可以通过螺旋测微计测量金属丝的直径计算得出，
可用米尺等常规的测量器具测量，但由于其值非常微小，用常规的测量方法很难精确测量。本实验将用放大法——“光杠杆镜”来测定这一微小的长度改变量。
左侧曲尺状物为光杠杆镜，M是反射镜，b即所谓光杠杆镜短臂的杆长，O端为b边的固定端，b边的另一端则随被测钢丝的伸长、缩短而下降、上升，从而改变了M镜法线的方向，使得钢丝原长为L0时，从一个调节好的位于图右侧的望远镜看M镜中标尺像的读数为
；而钢丝受力伸长后，光杠杆镜的位置变为虚线所示，此时从望远镜上看到的标尺像的读数变为
。这样，钢丝的微小伸长量，对应光杠杆镜的角度变化量
，而对应的光杠杆镜中标尺读数变化则为
。由光路可逆可以得知，
对光杠杆镜的张角应为
。从图2中用几何方法可以得出：
(2)
(3)
将（2）式和(3)式联列后得：
(4)
式中
，相当于光杠杆镜的长臂端D的位移。
其中的
叫做光杠杆镜的放大倍数，由于D >> b，所以
n >> L，从而获得对微小量的线性放大，提高了
的测量精度。
这种测量方法被称为放大法。由于该方法具有性能稳定、精度高，而且是线性放大等优点，所以在设计各类测试仪器中有着广泛的应用。
考虑到金属丝受外力作用时存在着弹性滞后效应，也就是说钢丝受到拉伸力作用时，并不能立即伸长到应有的长度
(
)，而只能伸长到
。同样,当钢丝受到的拉伸力一旦减小时，也不能马上缩短到应有的长度Li，仅缩短到Li+δLi。因此实验时测出的并不是金属丝应有的伸长或收缩的实际长度。为了消除弹性滞后效应引起的系统误差，测量中应包括增加拉伸力以及对应地减少拉伸力这一对称测量过程，实验中可以采用增加和减少砝码的办法实现。只要在增、减相应重量时，金属丝伸缩量取平均，就可以消除滞后量
的影响。即
四、实 验 仪 器
杨氏模量仪；螺旋测微器；游标尺；钢卷尺和米尺；望远镜（附标尺）。
五、实 验 内 容
（一）仪器调整
1、杨氏弹性模量测定仪底座调节水平；
2、平面镜镜面放置与测定仪平面垂直；
3、将望远镜放置在平面镜正前方1.5-2.0m左右位置上；
4、粗调望远镜：将镜面中心、标尺零点、望远镜调节等高，望远镜上的缺口、准星对准平面镜中心，并能在望远镜外看到尺子的像；
5、调节物镜焦距能看到尺子清晰的像，调节目镜焦距能清晰的看到叉丝；
6、调节叉丝在标尺
以内，并使得视差不超过半格。
（二）测量
1、计下无挂物时刻度尺的读数X0；
2、依次挂上320g的砝码，五次，计下X0´、X1´、X2´、X3´、X4´、X5´；
3、依次取下320g的砝码，五次，计下X5"、X4"、X3"、X2"、X1"、X0"；
4、用米尺测量出金属丝的长度L（两卡口之间的金属丝）、镜面到尺子的距离D；
5、用游标卡尺测量出光杠杆X、用螺旋测微器测量出金属丝直径d
（三）实验中的注意事项
1.钢丝的两端一定要夹紧，一来减小系统误差，二来避免砝码加重后拉脱而砸坏实验装置。
2.在测读伸长变化的整个过程中，不能碰动望远镜及其安放的桌子，否则重新开始测读。
3.被测钢丝一定要保持平直，以免将钢丝拉直的过程误测为伸长量，导致测量结果谬误。
4.增减砝码时要注意砝码的质量是否都是320g，并且不能碰到光杠杆镜镜。
5.望远镜有一定的调焦范围，不能过分用力拧动调焦旋钮。
六、实验数据处理
实验测量时，多次测量的算术平均值最接近于真值。但是简单的求一下平均还是不能达到最好效果，我们多采用逐差法来处理这些数据。
表1.1.1钢丝伸长量数据记录表
△X的A类不确定度: UA=0.0009cm
△X的B类不确定度：UB=0.028cm
△X的总不确定度: △X =0.028cm
表1.1.2金属丝直径数据记录表
d的A类不确定度：UA=0.004mm
d的B类不确定度：UB=0.004mm
d的总不确定度:
=0.004mm
表1.1.3金属丝的长度数据记录表
L的A类不确定度：UA=0.028cm
L的B类不确定度：UB=0.115cm
L的总不确定度: =0.118cm
表1.1.4反射镜与标尺的距离数据记录
D的A类不确定度：UA=0.056cm
D的B类不确定度：UB=0.28cm
D的总不确定度: 
=0.285cm
表1.1.4光杠杆臂长
b的A类不确定度：UA=0.057cm
b的B类不确定度：UB=0.028cm
b的总不确定度: 
=0.063cm
杨氏模量：
不确定度：
=0.005
杨氏模量的结果的标准表示式：Y=Y±σ= （2.090×10¹¹ ±5×10ˉ³）N/㎡
参考值：Y0=（2.000～2.100）×10¹¹N/㎡
七、误差分析
误差分析：通过查阅相关资料可得，钢的理论弹性模量约为
Y0=（2.000～2.100）×10¹¹N/㎡，
不妨取Y0=2.100×10¹¹N/㎡作为真值的估计值，并以此计算绝对误差与相对误差：
相对误差：M=Y- Y0=（2.090×10¹¹-2.100×10¹¹）N/㎡=0.01×10¹¹N/㎡
绝对误差 ：M/ Y0= （0.01×10¹¹）/(2.100×10¹¹)≈4.76%
可以看出，实验的误差是比较小的。下面估算各测量不确定度对最终结果的不确定度的贡献：
表1.1.5各测量量的相对不确定度
可见，σb/b与σx/X对杨氏模量的影响比较大。
上述不确定度分量主要来自仪器误差，因此很难再通过改善测量方法来提高准确度。反过来也说明本实验在测量方法上的安排上是合理的。b与X的 测量中采取了多次测量的措施，其中对b的测量没有给Y带入很大的误差，但X的测量则带入了很大的误差，故而在对X的测量可能存在较大问题。
下面对X带来的误差可能性进行分析:由于在实验中，通过光杠杆观察标尺像的读数时，轻微的扰动，就会使得标尺像出现晃动，严重影响了读数的准确性。同时由于未能完全消除视差的影响，在读取标尺读数R时，很可能会出现粗大误差。
由公式(4)可变形得到：
故随着F的线性增加，X也应该作线性增加，考虑到多次测量带来的随机误差，测量值应该围绕着该常数作上下波动。
1、杨氏弹性模量的百分差在4.5%到—0.5%之间,该测量值在参考值区间内，误差一般。其误差产生的主要原因：根据杨氏弹性模量的误差传递公式可知，误差主要取决于金属丝的微小变化量和金属丝的直径，由于平台上的圆柱形卡头上下伸缩存在系统误差，用望远镜读取微小变化量时存在随机误差。
2、测量金属丝直径时，由于存在椭圆形，故测出的直径存在系统误差和随机误差。
3、实验测数据时，由于金属丝没有绝对静止，读数时存在随机误差。
4、米尺使用时常常没有拉直，存在一定的误差
八、结果讨论
1.下卡头与平台间的摩擦
杨氏弹性模量仪的下卡头与平台中圆孔内壁之间的间隙很小。如果杨氏弹性模量不竖直,下卡头受平台中圆孔限制,与上卡头的中心轴线不在同一竖直线上,上、下卡头之间的金属丝不竖直,下卡头与圆孔内壁接触发生摩擦.增加砝码时,下卡头运动方向向下,摩擦力向上,金属丝所受的实际拉力小于名义上的载荷;减砝码时,下卡运动方向向上,摩擦力方向向下,金属丝所受的实际拉力大于名义上的载荷。导致了砝码数相同
时,金属丝在减载时的长度大于加载时的长度
载时的读数总是大于加载时的读数。数据处理时,对加载和减载时的数据取平均,可以减小甚至消除摩擦因素对结果的影响,从而提高结果的准确度,但精密度不高。
2.弹性滞后效应
有人提出,试样受力并不立即伸长到应有数值,反之,撤去后也不立即恢复原状,形变量需一段恢复时间，实际测量是在加(或减)砝码后待标尺像基本停止晃动就记录读数,这样测出的读数是否反映了金属丝的形变量?为此,观察一定载荷(砝码托上放五个砝码)下标尺读数随时间变化
的情况,随时间的变化,待标尺基本停止晃动即可读数读数误差之内,可以认为金属丝的形变产生是瞬尺读数的变化是随机的,且起伏较小完全在仪器时的,待标尺基本停止晃动即可读数之内，可以认为金属丝的形变产生是瞬时的,待标尺基本停止晃动即可读数。
3.范性形变
实际上,100N 的力远不足以导致实验所用的金属丝产生范性形变,但加砝码时动作太猛,瞬时的冲力可能超过其弹性极限,造成金属丝的一个不可逆的伸长,产生“增重时形变大”的假象。
4.仪器支架受力伸缩
两根支柱受力发生的形变会附加在金属丝的轴向形变中通过光杠杆体现出来，加载时支柱变短,测得的形变比金属丝形变大，加载越重,附加的形变越大。
5.金属丝存在弯曲
在托盘上放一至两个砝码预拉伸金属丝,可能不足以完全消除金属丝的弯曲,余下的弯曲会在继续加载的过程中逐渐消除,在减小载荷的过程中又再次出现,这些变化加入到了金属丝的轴向形变中。
以上分析了可能影响
测量结果的五种因素,金属丝可能存在的弯曲;在立柱不竖直时下卡头与平台间的摩擦;金属丝本身的弹性滞后效应;范性形变;仪器支架受力伸缩等对结果有一定的影响,弹性滞后效应对结果无影响. 其中对加载和减载时的标尺读数不一致有影响的是下卡头与平台间的摩擦和范性形变等因素. 为了提高实验的精确度应尽量消除金属丝本身的弯曲,在目测基本无弯曲情况下适当增加一至两个砝码;加、减砝码时要轻放轻拿,减小砝码盘的摆动和上下振动;标尺像基本停止晃动时即读取数据.
九、实验的改进
在实验中通过亲身经历，我们组总结出本实验中可以做出改进的几个方面：
1、测量钢丝长度L的改进。 在测量钢丝长度L时，由于钢丝上下端装有紧固夹头，同时钢丝处于竖直拉长状态，这给测量带来很大不便。一来由于紧固夹头的阻碍，很难将钢卷尺贴近钢丝，而必须将钢尺放置在距离钢丝有一定距离的位置进行测量，这样由于人眼读数的视差，必然会减低读数准确度；二来由于钢丝处于竖直拉长状态，测量者要将钢卷尺竖直拉长后再去读数，这样就很难保证视线与刻度对齐，从而产生视差，降低读数精度。针对这个问题，可以考虑将钢卷尺和固定钢丝的装置的一端固连在一起，并使得钢卷尺尽量靠近细钢丝。需要读数的时候，将钢卷尺拉出，由于钢卷尺的一端固定，这将大大降低了单人操作时的难度，可以提高测量精度。
2、测量镜尺间距S的改进。 在测量镜尺间距D时，由于距离较远，很难保证钢卷尺水平放置、不弯曲而且两端对齐，显然这样带来的误差将会相当大。为了减少该误差，可以参考光学实验中测量光学元件间距时采用带刻度的光具座的方法，将望远镜、钢丝固定装置置于一个带有刻度的导轨上，从而简化测量和提高精度。
3、测量光杠杆前后足间距b的改进。 在测量光杠杆前后足间距b时，不能保证完全是垂直距离，同时由于光杠杆的尺寸和形状问题，也会使得游标卡尺不能很好地卡紧前后足。可以考虑将光杠杆置于白纸上，用铅笔描出光杠杆三足位置，然后连接两个后足，再过前足作后足的垂线，测量前足到垂足的距离，则可以比较简便地测出前后足间距。但是这样操作则不能用游标卡尺测量前后足间距，故而将会损失一定测量精度。
4、测量视伸长X的改进。 由于采用了光杠杆多次成像的方法放大了微小位移，故而对原来位移的微小扰动，也会同时放大成相当大的干扰，从而影响读取视伸长数值的精确度。在实验中我发现，望远镜中的标尺像总是在晃动，很难保证叉丝保持对齐某个刻度线，严重的时候叉丝对准的刻度甚至会有一个相当大的变动范围，大大超过仪器本身的测量误差限度。考虑到视伸长X对本实验精确度的影响极大，我认为应该着重改善这个问题。 首先应该尽可能地减少钢丝受到的扰动。实验时应该尽量小心，保持桌面的平稳，并且尽量在标尺像晃动不太剧烈的时候迅速读数。 其次应该通过多次读取数值来消减误差。在加力和减力后，应该在标尺晃动不太剧烈时，读取几组数据，然后再求平均，通过平均的作用消减读取位置偏离真实位置的误差。 再次应该在条件允许下改善实验设备。由于标尺像在不断晃动，要在它晃动的时候看清对齐的刻度并估读数字是很困难的，所以如果条件允许，可以将望远镜改进为带有摄像功能的摄像望远镜。在标尺像晃动不太剧烈时，拍摄几组照片，之后再读取静止的照片中的读数，此时就能获得更好的精确度。
十、不确定度的简介
一般来说，测量方法的缺陷导致测结果出现暝差。从传统意义上讲，误差可视为由两个分量组成，即随机误差和系统误差。随机误差是由于术意料到的变化或影Ⅱ自量的随时间和空间变化所致，这种变化的影响导致被测量重复测值的变化，测量结果的随机误差不能借助修正进行补偿，但可通过增加观测次数而减少，按传统来讲，一系列观测值的算术平均的实验标准偏差就是平均的随机误差，但目前尚无法知道。由于上述影响产生的平均值误差的确切值，系统误差如随机误差一样也不能消除，但通常可以减少。同样，通常不可能确切掌握。由于系统误差影响的补偿不理想而产生的误差。鉴于上述理由，误差是一种理想化的概念，不能确切知道。由于观测值的随机变化(随机影响、系统影响修正值的不适当确定 及对某些物理现象的不完全了解，致使复现量的测量不尽完美，因此，修正的测量结果不是被测量值。无论是复现量的值还是被测量的值都不可能准确知道，能够知道的只是它们的估计值。根据上述理由，用测量不确定度这一概念来替代统的误差概念。按照国家标准规定，测量不确定度是指 “通常按给定的似然估计表征被测量的真值所处的量值范围的评定结果”，这里所指的“似然估计是指通过测量得 出的不确定度的置信水平。测量不确定度未必是测量结果接近于被测量值近似的指示值，它仅为接近于与目前的知识相符的蛀佳值近似性的估计。因此，不确定度表达这样一个事实即对于一个己知被测量及其测量结果而言，分散在四周 的不是一个值而是无数个值，这些值与所有的观测值、数据及一个人对物理世界的解完全相符，而具有不同程度可靠性的值被认为是测量造成的。故此，我们有理由认为用不确定度来表测量结果比用传统的误差更合理，更能反映测量的真实结果。测量不确定度一般包括许多分量，其些分量可根据系列测量结果的统计分布算出，并用实验标准偏差表征，这种叫做A类不确定度。其他一些分量用非统计方法评定，也可用标准偏差表征，这种叫做B类不确定度。A，B两类不确定度合成后乘以覆盖园子，得到扩展不确定度，即总的不确定度。
（1）不确定度的A类评定
用对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，称为不确定度A类评定；所得到的相应标准不确定度称为A类不确定度分量，用符号uA表示。它是用实验标准偏差来表征。
（2）不确定度的B类评定
用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，称为不确定度B类评定；所得到的相应标准不确定度称为B类不确定度分量，用符号uB表示。它是用实验或其他信息来估计，含有主观鉴别的成分。对于某一项不确定度分量究竟用A类方法评定，还是用B类方法评定，应有测量人员根据具体情况选择。B类评定方法应用相当广泛。
（3）合成标准不确定度
当测量结果是由若干个其他量的值求得时，按其他各量的方差和协方差算得的标准不确定度，称为合成标准不确定度。它是测量结果标准偏差的估计值，用符号uc表示。方差是标准偏差的平方，协方差是相关性导致的方差。计入协方差会扩大合成标准不确定度。合成标准不确定度仍然是标准偏差，它表征了测量结果的分散性。所用的合成方法，常称为不确定传播率，而传播系数又被称为灵敏系数，用Ci表示。合成标准不确定度的自由度称为有效自由度，用uc表示，它表明所评定的 的可靠程度。
【参考文献】
[ 1 ] 赵凯华,罗蔚茵. 新概念物理教程 力学[M] . 北京:高等教育出版社,1995
[ 2 ]赵凯华,罗蔚茵. 新概念物理教程 热学[M] . 北京:高等教育出版社,1995
[ 3 ] 秦允豪. 普通物理教程 热学[M] . 北京:高等教育出版社,1999
[ 4 ] 徐芝纶. 弹性力学(上) [M] . 北京:高等教育出版社,1978
[ 5 ] 黄建刚,吴凤英,翦知渐,赵英. 大学物理实验[M] . 长沙:湖南大学出版社,2003
[ 6 ] 任隆良,谷晋骐. 物理实验[M] . 天津:天津大学出版社,2003
[ 7 ] 刘子臣. 大学基础物理实验[ M] . 天津: 南开大学出版社,2001
[ 8 ] 刘映栋. 大学物理实验教程[ M] . 南京: 东南大学出版社,1998
[ 9 ] 杜义林. 大学实验物理教程[M] . 合肥:中国科学技术大学出版社,2003
[ 10 ] 王荣. 大学物理实验[M] . 长沙:国防科技大学出版社,2002
[ 11 ] 赵万霖,咸小平. 大学物理实验[M] . 广州:华南理工大学出版社,1999