一.等式变形

等比,等差数列求和;三角公式;通分;有理化;对数公式;加一项,减一项;乘一项,除一项.

例

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例

例

例

例

二.基本初等函数的极限;初等函数在其定义区间内连续.

三.未定式

当,时,求.这个极限依赖于,并且可以取各种不同的值,甚至不存在.称其为””未定式.

类似地,可定义其他未定式.共有七种未定式

””通常约去非零因子,或等价无穷小代换

“”通常抓大头
””,通常转化成””,“”.
“”,通常通分,有理化变形处理.

“”,通常利用第二重要极限,或者利用

“”

“”

注:第四章罗比达法则是解决未定式的通常方法.

四.应用极限的四则运算法则,复合函数的极限法则(变量代换).

应用无穷大,无穷小的关系.

应用无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小.

应用,,则.

应用极限存在性定理，两边夹定理,单调有界数列必有极限定理

例

例

五．类未定式

例

六.分段函数极限

七.求极限的反问题

（1）利用求极限知识

（2）

第二篇：总结16种求极限

首先说下我的感觉，  假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根，  函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，  可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要？   各个章节本质上都是极限，  是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面
首先  对  极限的总结  如下
极限的保号性很重要   就是说在一定区间内  函数的正负与极限一致
1  极限分为   一般极限   ，  还有个数列极限，  （区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种）
2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）
1 等价无穷小的转化，   （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用  但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1   或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax  等等 。  全部熟记
（x趋近无穷的时候还原成无穷小）
2落笔他 法则   （大题目有时候会有暗示  要你使用这个方法）
  首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！
   必须是  X趋近 而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，  当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件  
（还有一点  数列极限的n当然是趋近于正无穷的  不可能是负无穷！）
   必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）,  没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死！！）
  必须是  0比0  无穷大比无穷大！！！！！！！！！
   当然还要注意分母不能为0  
  落笔他 法则分为3中情况
1 0比0   无穷比无穷  时候  直接用
2   0乘以无穷   无穷减去无穷   （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后   这样就能变成1中的形式了
3  0的0次方    1的无穷次方 无穷的0次方   
  对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，  这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， （  这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0  当他的幂移下来趋近于无穷的时候  LNX趋近于0）
3泰勒公式    (含有e的x次方的时候  ，尤其是含有正余旋  的加减的时候要 特变注意  ！！！！）
E的x展开   sina  展开   cos  展开   ln1+x展开
对题目简化有很好帮助
4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
  取大头原则    最大项除分子分母！！！！！！！！！！！
  看上去复杂处理很简单 ！！！！！！！！！！
5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！
6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式  ，放缩和扩大。
7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
8各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下，  xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化
10 2 个重要极限的应用。  这两个很重要 ！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值   。  地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式
（地2个实际上是 用于  函数是1的无穷的形式  ）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）
11 还有个方法  ，非常方便的方法
  就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！
x的x次方 快于  x！   快于  指数函数   快于   幂数函数   快于        对数函数 （画图也能看出速率的快慢）  !!!!!!
当x趋近无穷的时候  他们的比值的极限一眼就能看出来了
12 换元法  是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中  
13假如要算的话  四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的
14还有对付数列极限的一种方法，
  就是当你面对题目实在是没有办法  走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。
15单调有界的性质
  对付递推数列时候使用  证明单调性！！！！！！
16直接使用求导数的定义来求极限 ，
  （一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，    看见了有特别注意）
  （当题目中告诉你F(0)=0时候  f（0）导数=0的时候     就是暗示你一定要用导数定义！！！！）

函数  是表皮
函数的性质也体现在积分 微分中
例如他的奇偶性质  他的周期性。 还有复合函数的性质
1奇偶性，奇函数关于原点对称   偶函数关于轴对称  偶函数左右2边的图形一样
（ 奇函数相加为0）
2周期性也可用在导数中  在定积分中也有应用   定积分中的函数是周期函数  积分的周期和他的一致
3  复合函数之间是  自变量与应变量互换  的  关系  
4还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质！）
   （可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）
:o 再就是总结一下间断点的问题  （应为一般函数都是连续的  所以 间断点 是对于间断函数而言的）
间断点分为第一类  和第二类剪断点
1  第一类是左右极限都存在的 （左右极限存在但是不等  跳跃的的间断点   或者 左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值  可取的间断点
地二类 间断点是  震荡间断点  或者是   无穷极端点  
（这也说明极限即是  不存在也有可能是有界的）
:o 下面总结一下  
  求极限的一般题型
1  求分段函数的极限  
当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了！！！！！！！
当X趋近无穷时候  存在e的x次方的时候  ，  就要分情况讨论  应为 E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的！！！！！！！！

2 极限中含有变上下限的积分  如何解决类？？？？
     说白了  就是说 函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了   你要想办法把它搞掉！！！！！！！！！！！！！！！
   解决办法 ：
     1求导， 边上下限积分求导，  当然就能得到结果了  这不是很容易么？
        但是！！！！！有2个问题要注意！！！！
          问题1       积分函数能否求导？  题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的！！！！
          问题2   被积分函数中 既含有T又含有x的情况下如何解决？？？？？？
        解决1的方法：   就是方法2   微分中值定理！！！！！！！！！！
                 微分中值定理是函数与积分的联系！   更重要的是他能去掉积分符号！！！！！！
       解决2的方法 ： 当x与t的函数是相互乘的关系的话 ，  把x看做常数提出来   ， 再求导数！！！！！！
                      当x 与t是除的关系  或者是加减的关系  ，  就要 换元了！！！！！！！！！（换元的时候积分上下限也要变化！！！！）
3求的是数列极限的问题时候   
  夹逼 或者 分项求和 定积分  都不可以的时候
   就考虑x趋近的时候函数值，  数列极限也满足这个极限的
当所求的极限是递推数列的时候
  首先 ： 判断数列极限存在极限的方法  是用的单调有界的定理  。 判断单调性不能用导数定义！！！   应为是 离散的    只能用  前后项的 比较  （前后项相除相减）， 数列极限是否有界  可以使用 归纳法      最后对xn 与xn+1两边同时求极限， 就能出结果了！！！！！！
4涉及到极限已经出来了  让你求未知数和位置函数的问题
  解决办法 ：主要还是运用等价无穷小  或者是同阶无穷小 。 应为  例如  当x趋近0时候  f（x）比x =3  的函数  ， 分子必须是无穷小  否则极限为无穷
       还有落笔他  法则的应用   ，  主要是应为  当未知数有几个时候，  使用  落笔他 法则 可以消掉模些未知数，求其他的未知数
5 极限数列涉及到的证明题 ，  只知道是要构造新的函数   但是不太会！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
:o  最后 总结 一下间断点  的  题型
首先 遇见间断点的问题 连续性的问题  复合函数的问题， 在莫个点是否可导的问题。
主要解决办法是3  个    一个是  画图 ，  你能画出反例来  当然不可以了
                    你实在画不出反例，  就有可能是对的，  尤其是那些考概念的题目，  难度不小，  对我而言证明很难的 ！ 我就画图！！我要能画出来当然是对的， 在这里就要很好的理解一阶导的性质  2阶导的性质， 函数图形的凹凸性，  函数单调性  函数的奇偶性在图形中的反应！！！！！！！
                 （在这里尤其要注意分段函数！！！！！！！！！  ） （例如分段函数导数存在还相等  但是却不连续  这个性质就比较特殊！！！  应为一般的函数都是连续的）

   方法2                就是举出反例 ！ （在这里也是尤其要注意分段函数！！！！！！！！！！）
             例如 一个函数是个离散函数   还有个也是离散函数   他们的复合函数是否一定是离散的类？？
                   答案是NO    举个反例就可以了
   方法3     上面的都不行那就只好用定义了   主要是写出公式 ，  连续性的公式   求在抹一点的导数的公式

:o  最后了
总结一下 函数 在抹一点是否可导 的问题  
1首先 函数连续不一定可导， 分段函数x绝对值函数在 （0 ，0 ） 不可导，  我的理解就是 ：不可导=在这点上图形不光滑。  可导一定连续， 应为他有个前提， 在点的领域内有定义，  假如没有这个前提，分段函数左右的导数也能相等
1       主要考点 1
      函数在抹一点可导 ， 他的 绝对值函数  在这点是否可导 ？
   解决办法：  记住 函数绝对值的导数等于  f（x）除以 （绝对值（f（x）））  再 乘以F（x）的导数 。
   所以判断绝对值函数不可导点，首先判断函数等于0的点，   找出这些点之后 ，  这个导数并不是百分百不存在， 原因很简单  分母是无穷小， 假如分子式无穷小的话，绝对值函数的导数依然存在啊，  所以还要找出f（a）导数的值，不为0的时候， 绝对值函数在这点的导数是无穷  ， 所以绝对值函数在这些点上是不可导的啊

考点2  
   处处可导的函数与在抹一些点不可以导但是连续的函数相互乘的函数，这个函数的不可导点的判断
  直接使用导数的定义就能证明  ，
  我的理解是f（x）连续的话  但是不可导 ， 左右导数存在但是不等，左右导数实际上就是X趋近a的2个极限，  f（x）乘以G（x）的函数在x趋近a的时候
f（x）在这点上的这2个极限乘以 g（a）  ， 当g（a）等于0的时候，  左右极限乘以0当然相等了 ，乘积的导数=f（a）导数乘以G(a)  + G(a)导数乘以F（a），应为f（a）导数乘以G(a)  =0，  前面推出来了，  所以乘积函数