高中数学必修2解析几何知识点

一、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当时，；     当时，；  当时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式： 

注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k与P₁、P₂的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程

①点斜式：直线斜率k，且过点

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y₁。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x₁，所以它的方程是x=x₁。

②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

③两点式：（）直线两点，

④截矩式：

其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。

⑤一般式：（A，B不全为0）

注意：1各式的适用范围     2特殊的方程如：

平行于x轴的直线：（b为常数）；    平行于y轴的直线：（a为常数）；

（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系

平行于已知直线（）的直线系：（C为常数）

（二）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为k的直线系：，直线过定点；

（ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程为

（为参数），其中直线不在直线系中。

（5）两直线平行与垂直

当，时，

；

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（6）两条直线的交点

 相交

交点坐标即方程组的一组解。

方程组无解 ；          方程组有无数解与重合

（7）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，

则 

（8）点到直线距离公式：一点到直线的距离

（9）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

（1）标准方程，圆心，半径为r；

（2）一般方程

当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为

当时，表示一个点；  当时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；

（2）设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有

；；

注：如果圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。

 (3)过圆上一点的切线方程：

①圆x₂+y₂=r²，圆上一点为(x₀，y₀)，则过此点的切线方程为 (课本命题)．

②圆(x-a)²+(y-b)²=r²，圆上一点为(x₀，y₀)，则过此点的切线方程为(x₀-a)(x-a)+(y₀-b)(y-b)= r² (课本命题的推广)．

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

设圆，

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

当时两圆外离，此时有公切线四条；

当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当时，两圆内含；   当时，为同心圆。

高中数学必修2解析几何知识点测试

一、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是_______________.

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当时，；     当时，；  当时，____②过两点的直线的斜率公式： ____________

注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率_________，倾斜角为_____°；

(2)k与P₁、P₂的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程

①点斜式：________________直线斜率k，且过点

注意：当直线的斜率为0°时，k=_______，直线的方程是_________。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率_________，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x₁，所以它的方程是________。

②斜截式：___________，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

③两点式：____________________直线两点，

④截矩式：________________

其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为___ , ___。

⑤一般式：______________________________

注意：1各式的适用范围     2特殊的方程如：

平行于x轴的直线：（b为常数）；    平行于y轴的直线：（a为常数）；

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系

平行于已知直线（）的直线系：（C为常数）

（二）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为k的直线系：，直线过定点；

（ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程为

（为参数），其中直线不在直线系中。

（6）两直线平行与垂直

当，时，

；

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

 相交

交点坐标即方程组的一组解。

方程组无解 ；          方程组有无数解___________

（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，

则

（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离

（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为_____，定长为圆的_____。

2、圆的方程

（1）标准方程__________________，圆心，半径为r；

（2）一般方程_____________________

当时，方程表示圆，此时圆心为__________，半径为__________________

当时，表示一个点；  当__________________时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；

（2）设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有

；；

注：如果圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。

 (3)过圆上一点的切线方程：

①圆x₂+y₂=r²，圆上一点为(x₀，y₀)，则过此点的切线方程为__________________(课本命题)．

②圆(x-a)²+(y-b)²=r²，圆上一点为(x₀，y₀)，则过此点的切线方程为___________________ (课本命题的推广)．

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

设圆，

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

当时两圆外离，此时有公切线____条；

当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线____条，内公切线____条；

当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有____条外公切线；

当时，两圆内切，连心线经过切点，有____条公切线；

当时，两圆内含；   当时，为同心圆。

第二篇：解析几何知识总结

一 直线与圆知识总结

1. 直线的倾斜角

2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.

3. ⑴两条直线平行：

l 推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为?1,?2则l1∥l2??1??2. 1

⑵两条直线垂直：

两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1?l2?k1k2??1

4. 直线的交角：

5. 过两直线??l1:A1x?B1y?C1?0的交点的直线系方程A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0(?l:Ax?By?C?022?22

为参数，A2x?B2y?C2?0不包括在内）

6. 点到直线的距离：

⑴点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)，直线l:Ax?By?C?0,P到l的距离为d，则有d?Ax0?By0?C

A?B22.

注：

1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2.

2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段PP,其中12所成的比为?即PP1??PP2

x1??x2y??y2 ,y?1

1??1??

特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。

3. 直线的倾斜角（0°≤?＜180°）、斜率:k?tan? P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 x?

4. 过两点Pk?1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：

当x1y2?y1. x2?x1(x1?x2) ?x2,y1?y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角?＝90?，没有斜率

⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0(C1?C2)，它们之间的距离为d，则有d?C1?C2

A?B22.

注；直线系方程

1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m).

2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m?R)

3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0)

4. 过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ?R） 注：该直线系不含l2.

7. 关于点对称和关于某直线对称：

⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.

⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. ⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.

圆的方程.

2. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x?a)2?(y?b)2?r2.

3. 圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0 .

?DE?当D?E?4F?0时，方程表示一个圆，其中圆心C??,??，半径r?2??222D2?E2?4F. 2

当D2?E2?4F?0时，方程表示一个点???DE?,??. 2??2

当D2?E2?4F?0时，方程无图形（称虚圆）.

?x?a?rcos?注：①圆的参数方程：?（?为参数）. ?y?b?rsin?

②方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是：B?0且A?C?0且D2?E2?4AF?0.

③圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0（用向量可征）.

4. 点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(x?a)2?(y?b)2?r2.

①M在圆C内?(x0?a)2?(y0?b)2?r2

②M在圆C上?（x0?a)2?(y0?b)2?r2

③M在圆C外?(x0?a)2?(y0?b)2?r2

5. 直线和圆的位置关系：

设圆圆C：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)； 直线l：Ax?By?C?0(A2?B2?0)； 圆心C(a,b)到直线l的距离d?Aa?Bb?C

A?B22.

①d?r时，l与C相切；

②d?r时，，有两个交点，则其公共弦方程为(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0. l与C相交；

③d?r时，l与C相离.

5. 圆的切线方程：

①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆x2?

y2?r2上

BC)

一点P(x0,y0)的切线方程为x0x?y0y?r2.

?y1?y0?k(x1?x0)?

b?y1?k(a?x1)，联立求出k?切线方程. ②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则??R?

R2?1?

7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知?O的方程x2?y2?Dx?Ey?F?0…① 又以ABCD为圆为方程为

(x?xA)(x?a)?(y?yA)(x?b)?k2…②

(xA?a)2?(yA?b)2

…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求. R?

4

解题方法：1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）

2

待定系数法.

二 圆锥曲线

1、平面内与两个定点F 1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆．即：|MF1|?|MF2|?2a,(2a?|F1F2|)。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2

3、平面内与两个定点F）的点的轨迹1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2称为双曲线．即：||MF1|?|MF2||?2a,(2a?|F1F2|)。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

4

56、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 7

8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即???2p．

9、焦半径公式：

p； 2

p2若点??x0,y0?在抛物线x?2py?p?0?上，焦点为F，则?F?y0?； 22若点??x0,y0?在抛物线y?2px?p?0?上，焦点为F，则?F?x0?

直线与圆测试

（ 考试时间120分钟 ，满分150分） 一、单项选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1、曲线|x―1|+|y―1|=1所围成的图形的面积为（ ） A.1 B. 2 C.4 D.2

2、直线x+ay―a=0与直线ax―（2a―3）y―1=0互相垂直，则实数a的值为（ ）

A．2 B．－3或1 C．2或0 D．1或0

22

x?y?4x?2y?c?0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=120°，3、圆

则实数c等于（ ） A.1 B.－11 C.9 D.11

4、不等式3x?2y?12＜0表示的平面区域是( )

B C

5.如上图，在可行域EFGH内，目标函数z=2x-y取得最大值和最小值的点分别是( ) A．G，F

B．F，H

C．F，E

D．G，E

6、下列四个命题中的真命题是（ ）

A．经过点P(x0，y0)的直线一定可以用方程y?y0?k(x?x0)表示

1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程B．经过任意两个不同点P

(y?y1)(x2?x1)?(x?x1)(y2?y1)表示

xy

??1

C．不经过原点的直线都可以用方程ab表示

D．经过点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示

27、已知直线l：y=x+m与曲线y??x有两个公共点，则实数m的取值范围是

（ ）

A．（－2，2） B．（－1，1） C．[?22] D．

8、两圆x2?y2?4x?3y?0与x2?y2?3x?y?5?0的公共弦所在的直线方程是（ ）

A.x+y-5=0 B.x?2y?5?0 C.2x+y-5=0

D.3x+y-5=0

2 9、已知点A(?1,1)和圆C：(x-5)?(y?7)2?4，一束光线从点A经x轴反射到圆

周C的最短路程是( ) A.6?2 B.8 C.46

D.10

10、过点A?5,2?，且在两坐标轴上的截距为互为相反数的直线l的方程为( )

A.x?y?3?0. B.x?y?3?0或2x?5y?0 C.2x?5y?0 D.x?y?3?0或2x?5y?0

11、已知A：x2＋y2≤1，B：(x－1)2＋y2≤4，那么A是B的( )

A.充分不必要条件。B．必要不充分条件.C．充要条件。D.既不充分也不必要条件

12、将直线y?3x绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线为

11（ ） A．y??x? 33

1D．y?x?1 31B．y??x?1 3C．y?3x?3

二、填空题：（每小题4分，共16分）

13、点(-4,6)和(3,1)在直线3x-2y+c=0的两侧，则c的取值范围1?

是 .

14、圆x2?y2?4截直线x?y?23?0所得的弦长是

15、已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则他们之间的距离是 ．

16、过点A（11，2）作圆x2?y2?2x?4y?164?0的弦，其中弦长为整数的共有 条.

三、解答题：（要写出必要的解题步骤）（共6题，共74分）

17、（12分）已知直线l满足下列两个条件：①过直线y = – x + 1和y = 2x +

4的交点; ②与直线x –3y + 2 = 0 垂直，求直线l的方程．

18、（12分）设直线3x+y+m=0与圆x2+y2+x-2y=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值。

19、（12分）在直角坐标系内，过点P（2，1）作一直线l分别交x轴y轴的正半轴于点A和点B，求△AOB(O为坐标原点)面积最小时的直线l的方程。

20、（12分）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线l:x?2y?

21、（12分）如图所示，已知圆O：x2?y2?4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y?2上运动，过B做圆O的切线，切点为C，求?ABC垂心H的轨迹．

22、(14分) 已知m?R,直线l:mx?(m2?1)y?4m和圆

C:x2?y2?8x?4y?16?0.

①求直线l斜率的取值范围；

②直线l能否将圆C分割成弧长的比值为

1的两段圆弧？为什么？ 2

参考答案

7 131---12：DCBDB，BCBBB，AA。13：－7＜c＜24，14：2。15：26，16：

17，

117．3x + y + 1 = 0，18．m=0或m=2，19．x+2y-4=0

20．设圆心为(a,b)，半径为r，由条件①：r2?a2?1，由条件②：r2?2b2，从

而有：2b2?a2?1．由条件③

：??|a?2b|?1，解方程组?2b2?a2?1?a?1?a??1可得：?或?，所以r2?2b2?2．故所求圆的方程是??b?1?b??1?|a?2b|?1

(x?1)2?(y?1)2?2或(x?1)2?(y?1)2?2．

21．解：设H(x,y)，C(x',y')，连结AH，CH，

则AH?BC，CH?AB，BC是切线OC?BC， 所以OC//AH，CH//OA，OA?OC， 所以四边形AOCH是菱形． '??y?y?2,所以CH??2，得?' ??x?x.

又C(x',y')满足x'?y'?4， 所以x2?(y?2)2?4(x?0)即是所求轨迹方程．

22．解：①k?m,?km2?m?k?0(?)， 2m?1

11m?R,∴当k≠0时?≥0，解得?≤k≤且k≠0 22

1

21222又当k＝0时，m＝0，方程(?)有解，所以，综上所述?≤k≤

②假设直线l能将圆C分割成弧长的比值为交于A，B两点

则∠ACB＝120°．∵圆C:(x?4)2?(y?2)2?4，∴圆心C（

4，-2）到l的距离为1．

?1，整理得3m4?5m2?3?0． 1的两段圆弧．设直线l与圆C2

∵??52?4?3?3?0，∴3m4?5m2?3?0无实数解．

1因此直线l不可能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧． 2