第三章
一、直线的倾斜角与斜率
1、倾斜角的概念：（1）倾斜角：当直线
与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的角a叫做直线的倾斜角。
（2）倾斜角的范围：当与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角a为0°因此0°≤a＜180°。
2、直线的斜率
（1）斜率公式：K=tana（a≠90°）
（2）斜率坐标公式：K=
（x1≠x2）
（3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。当a=0°时，k=0；当0°＜a＜90°时，k＞0，且a越大，k越大；当a=90°时，k不存在；当90°＜a＜180°时，k＜0，且a越大，k越大。
二、两直线平行与垂直的判定
1、两直线平行的判定：
（1）两条不重合的直线的倾斜角都是90°，即斜率不存在，则这两直线平行；
（2）两条不重合的直线，若都有斜率，则k1=k2 Û 
∥
2、两直线垂直的判定：
（1）一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则这两直线垂直；
（2）如果两条直线、的斜率都存在，且都不为0，则⊥ Û k1·k2=－1
已知直线
经过点
，且斜率为
，则方程
为直线的点斜式方程.
直线与
轴交点
的纵坐标
叫做直线在轴上的截距（intercept）.直线
叫做直线的斜截式方程.
已知直线上两点
且
，则通过这两点的直线方程为
，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式
已知直线
与
轴的交点为
，与
轴的交点为
，其中
，则直线的方程
叫做直线的截距式方程.
注意：直线与
轴交点（
,0）的横坐标叫做直线在轴上的截距；直线与y轴交点（0,
）的纵坐标叫做直线在
轴上的截距.
关于
的二元一次方程
（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）．
注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线
已知平面上两点
，则
.
特殊地：
与原点的距离为
.
：已知点和直线
，则点
到直线的距离为：
.
已知两条平行线直线
，
，则
与
的距离为
1．两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组
，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行
2．直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决.
3.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系.
点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式
一、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即
。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当
时，
； 当
时，
； 当
时，
不存在。
②过两点的直线的斜率公式：
注意下面四点：(1)当
时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点斜式：
直线斜率k，且过点
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：
，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点式：
（
）直线两点，
④截矩式：
其中直线
与
轴交于点
,与
轴交于点
,即与轴、轴的截距分别为
。
⑤一般式：
（A，B不全为0）
注意：1各式的适用范围 2特殊的方程如：
平行于x轴的直线：
（b为常数）； 平行于y轴的直线：
（a为常数）；
（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
平行于已知直线
（
是不全为0的常数）的直线系：
（C为常数）
（二）过定点的直线系
（ⅰ）斜率为k的直线系：
，直线过定点
；
（ⅱ）过两条直线
，
的交点的直线系方程为
（
为参数），其中直线
不在直线系中。
（6）两直线平行与垂直
当
，
时，
；
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组
的一组解。
方程组无解
； 方程组有无数解
与
重合
（8）两点间距离公式：设
是平面直角坐标系中的两个点，
则
（9）点到直线距离公式：一点
到直线
的距离
（10）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
二、圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程
，圆心
，半径为r；
（2）一般方程
当
时，方程表示圆，此时圆心为
，半径为
当
时，表示一个点； 当
时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直线
，圆
，圆心
到l的距离为
，则有
；
；
（2）设直线
，圆
，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为
，则有
；
；
注：如果圆心的位置在原点，可使用公式
去解直线与圆相切的问题，其中
表示切点坐标，r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程：
①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为
(课本命题)．
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)．
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆
，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当
时两圆外离，此时有公切线四条；
当
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当
时，两圆内含； 当
时，为同心圆。
选修内容：
椭圆
把平面内与两个定点
，
的距离之和等于常数（大于
）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为
时，椭圆即为点集
．
椭圆的简单几何性质
①范围：由椭圆的标准方程可得，
，进一步得：
，同理可得：
，即椭圆位于直线
和
所围成的矩形框图里；
②对称性：由以
代，以
代和代，且以代这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；
④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比
叫做椭圆的离心率（
），
；
椭圆的第二定义
当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数
是椭圆的离心率．
对于椭圆
，相应于焦点
的准线方程是
．根据对称性，相应于焦点
的准线方程是
．对于椭圆
的准线方程是
．
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．
由椭圆的第二定义
可得：右焦半径公式为
；左焦半径公式为
椭圆中焦点三角形的性质及应用
定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
性质一：已知椭圆方程为
两焦点分别为
设焦点三角形
中
则
。
性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若
最大，则点P为椭圆短轴的端点。
证明：设
,由焦半径公式可知：
，
在
中，
=
性质三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形
中
则
证明：设
则在中，由余弦定理得：
命题得证。
双曲线
把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为时，双曲线即为点集
．
双曲线的简单几何性质
①范围：由双曲线的标准方程得，
，进一步得：
，或
．这说明双曲线在不等式，或所表示的区域；
②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
④渐近线：直线
叫做双曲线
的渐近线；
⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率（
）．
双曲线第二定义:当动点M(x,y) 到一定点F(c,0)的距离和它到一定直线
的距离之比是常数
时,这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点F(c,0)是双曲线的一个焦点，定直线叫双曲线的一条准线，常数e是双曲线的离心率。双曲线上任一点到焦点的线段称为焦半径。
第二篇：高一数学期末复习讲义(解析几何)
高一数学期末复习讲义6
直线
知识点1 直线的斜率和倾斜角
1、过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．
答案：1
2、设直线l的倾斜角为α，且≤α≤，则直线l的斜率k的取值范围是___________．
答案：∪[1，＋∞)
知识点2 直线的方程
3、已知直线l过点P(5，2)，分别求满足下列条件的直线方程．
(1) 直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍；
(2) 直线l与两坐标轴围成的三角形面积为.
解：(1) 当直线l过原点时，l的斜率为，∴ 直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；
当直线l不过原点时，设方程为＋＝1，将x＝5，y＝2代入得a＝，
∴ 直线方程为x＋2y－9＝0.
综上：l的方程为2x－5y＝0或x＋2y－9＝0.
(2) 显然两直线与x轴不垂直．
∵ 直线l经过点P(5，2)，∴ 可设直线l的方程为y－2＝k(x－5)(k≠0)，则直线在x轴上的截距为5－，在y轴上的截距为2－5k，
由题意，得·|2－5k|＝，即(5k－2)2＝5|k|.
当k>0时，原方程可化为(5k－2)2＝5k，解得k＝或k＝；
当k<0时，原方程可化为(5k－2)2＝－5k，此方程无实数解；
故直线l的方程为y－2＝(x－5)或y－2＝(x－5)，即x－5y＋5＝0或4x－5y－10＝0.
知识点3 直线与直线的位置关系
4、已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1) 
时，求
的值；
(2) l1⊥l2时，求a的值．
解：(1) a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．
(2) a＝.
知识点4 三角形中的直线问题
5、直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，且A、B的坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求顶点C的坐标并判断△ABC的形状．
解：由题意画出草图(如图所示)．
设点A(－4，2)关于直线l：y＝2x的对称点为A′(a，b)，则A′必在直线BC上．以下先求A′(a，b)．由对称性可得解得∴ A′(4，－2)．
∴ 直线BC的方程为＝，即3x＋y－10＝0.
由得C(2，4)．
∴ kAC＝，kBC＝－3，∴ AC⊥BC.
∴ △ABC是直角三角形．
练习：
1、直线
的倾斜角等于_______,在
轴上的截距为_____,在
轴上的截距为______
2、已知A(－1，2)，B(0，a)，C(a，0)三点共线，则此三点所在直线的倾斜角α＝________．
答案：
3. 若一直线经过点P(1，2)，且在y轴上的截距与直线2x＋y＋1＝0在y轴上的截距相等，则该直线的方程是________．答案：3x－y－1＝0
4. 过点P(－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________．
答案：x＋y－1＝0或3x＋2y＝0或
5. 直线l经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l的方程为________．
答案：8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0
6. 不论m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点________．
答案：(－2，3)
7. 点(1，2)到直线l：x－y＋3＝0的距离等于________．
8. 已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，若l1∥l2则a＝________．
答案：－1
9. 经过点(－2，3)，且与直线2x＋y－5＝0平行的直线方程为________．
答案：2x＋y＋1＝0
10. 已知直线l过两条直线3x＋2y－1＝0和2x－3y＋8＝0的交点，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是________．
答案：3x＋2y－1＝0
11. 已知点P1(2，3)、P2(－4，5)和A(－1，2)，求过点A且与点P1、P2距离相等的直线方程．
解：(解法1)设所求直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由点P1、P2到直线的距离相等得
＝.
化简得＝，
则有3k－1＝－3k－3或3k－1＝3k＋3，
解得k＝－或方程无解．
方程无解表明这样的k不存在，但过点A，所以直线方程为x＝－1，它与P1、P2的距离都是3.
∴所求直线方程为y－2＝－(x＋1)或x＝－1.
12. 已知△ABC的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，又知∠C的平分线所在的直线方程为2x－3y＋6＝0，求三角形各边所在直线的方程．
解：设A点关于直线2x－3y＋6＝0的对称点为A′(x1，y1)，
则
∴解得即A′，
同理，点B关于直线2x－3y＋6＝0的对称点为B′.
∵ 角平分线是角的两边的对称轴，∴ A′点在直线BC上．
∴ 直线BC的方程为y＝x－1，
整理得12x－31y－31＝0.
同理，直线AC的方程为y－5＝(x＋1)，
整理得24x－23y＋139＝0.
直线AB的方程为y＝x－1，
整理得6x＋y＋1＝0.
高一数学期末复习讲义7
圆的方程
知识点1 圆的方程
1、已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.
(1) 若圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程；
(2) 圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．
解：(1) 配方得(x－t)2＋(y－t2)2＝t4＋t2－4t＋4，其圆心C(t，t2)．依题意t－t2＋2＝0t＝－1或2.即x2＋y2＋2x－2y－8＝0或x2＋y2－4x－8y＋4＝0为所求方程．
(2) 整理圆C的方程为(x2＋y2－4)＋(－2x＋4)t＋(－2y)t2＝0，令故圆C过定点(2，0)．
知识点2 求圆的方程
2、已知圆C经过点A(1，1)和点B(2，－2)，且圆心C在直线x－y＋1＝0上，求这个圆的一般方程为．
答案：x2＋y2＋6x＋4y－12＝0
解析：设圆心C(x，x＋1)，则|CA|＝|CB|，所以(x－1)2＋x2＝(x－2)2＋(x＋3)2，解得x＝－3，圆心C坐标是(－3，－2)．半径为CA＝＝5，故圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25，化为一般方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0.
知识点3 直线与圆的位置关系
3、已知点
(－4，0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25.（1）若直线l过点与圆交于A，B两点，若AB＝8，求直线l的方程；（2）过点做圆的切线，求切线方程并求出切线长.
（1） 解：过点(－4，0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；(4分)
若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，
即＝3，解得k＝－，(10分)
此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，(12分)
综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.(14分)
知识点4 直线与圆综合
4、已知⊙
和点
.
(Ⅰ)过点
向⊙
引切线
,求直线的方程;
(Ⅱ)求以点为圆心,且被直线
截得的弦长为4的⊙的方程;
(Ⅲ)设为(Ⅱ)中⊙上任一点,过点向⊙引切线,切点为
. 试探究:平面内是否存在一定点
,使得
为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若
不存在,请说明理由.
【答案】
练习：
1.若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为________．
答案：1
2.已知圆内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是A(5，1)，B(－3，－5)，则这个圆的标准方程为________．
答案： (x－1)2＋(y＋2)2＝25
3 .已知点(1，1)在圆x2＋y2＋x－3y＋3k＝0外，则实数k的取值范围是________．
答案：
解析：1＋1－3＋3k＞0即k＞0.又D2＋E2－4F＞0，即1＋9－12k＞0，∴ k＜＝，从而0＜k＜.
4. 在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
答案：10
解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r＝，由题意知AC⊥BD，且|AC|＝2，|BD|＝2＝2，所以四边形ABCD的面积为S＝|AC|·|BD|＝×2×2＝10.
5. 两圆相交于两点(1，3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，且m、c均为实数，则m＋c＝________．
答案：3
解析：根据两圆相交的性质可知，两点(1，3)和(m，－1)的中点在直线x－y＋c＝0上，并且过两点的直线与x－y＋c＝0垂直，故有
∴ m＝5，c＝－2，∴ m＋c＝3.
6. 圆心在y轴上且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________．
答案：x2＋y2－10y＝0
解析：设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，
∴ 圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2，
∵ 点(3，1)在圆上，
∴ 9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5，
∴ 圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
7.已知圆心在x轴上,半径为
的圆C位于y轴的右侧,且与直线x+y=0相切,则圆C标准
方程________.
【答案】 
8.在平面直角坐标系xOy中,直线
,
与曲线
相切，则
_____
【答案】
;
9.在平面直角坐标系
中，以点
为圆心且与直线
相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
10. 如图:已知
是圆
与轴的交点,为直线
上的动点,
与圆的另一个交点分别为
.
(1) 若点坐标为
,求直线
的方程;
(2) 求证:直线过定点.
【答案】解(1)直线PA方程为
, 由
解得
,
直线PB的方程
,由
解得
,
所以的方程
(2)法一:设
,则直线PA的方程为
,直线PB的方程为
得
,同理
直线MN的斜率
直线MN的方程为
,
化简得:
所以直线过定点
注:其他解法酌情对应给出相应的分数.
法二:设
,
,即
,
两边平方得:
,整理得
即
(1),设的方程为
,代入
中得
,得
代入(1)式得
,即
.当
,
,或
(舍)
当
时,直线即为直线AB,所以直线过定点.