解析几何总结

一、直线

1、  直线的倾斜角：一条直线向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角。

2、  范围 

3、  直线的斜率：当倾斜角不是时，倾斜角的正切值。

4、  直线的斜率公式：设,  

5、  直线的倾斜角和斜率关系：（如右图）

   ；；单调增；

，；单调增

6、  直线的方程

（1）点斜式：     ⑵、斜截式：

（3）两点式：     ⑷、截距式：

⑸、一般式：    

⑹、参数式： （t为参数）参数t几何意义：定点到动点的向量

7、  直线的位置关系的判定（相交、平行、重合）

：；：  ，

平行：且         

相交：                  

重合：且         

垂直：              

8、  到角及夹角(新课改后此部分已删掉)

到角：直线依逆时方向旋转到与重合时所有转的角。

夹角：不大于直角的从到的角叫与所成的角，简称夹角。

9、  点到直线的距离（应用极为广泛）

…… …… 余下全文

抛物线的标准方程、图象及几何性质：

关于抛物线知识点的补充：

1、定义：

2、几个概念：

 ①  p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，故p为正数； 

②  焦点的非零坐标是一次项系数的；  

③  方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。

④  通径：2p 

3、如：是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足，，，，为垂足，求证：

（1）；  

（2）；

（3）；

（4）设交抛物线于，则平分；

（5）设，则，；

（6）；  

（7）三点在一条直线上

（8）过作，交轴于，求证：，；

关于双曲线知识点的补充：

1、 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。

第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点，焦点间距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。

注意：与（）表示双曲线的一支。  表示两条射线；没有轨迹；

2、 双曲线的标准方程

①焦点在x轴上的方程：（a>0，b>0）；   ②焦点在y轴上的方程： （a>0，b>0）；

③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx²-ny²=1(m·n<0)； 

④双曲线的渐近线：改1为0,分解因式则可得两条渐近线之方程.

3、双曲线的渐近线：

①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；

4、等轴双曲线：  为，其离心率为

5、共轭双曲线：

6、几个概念：

…… …… 余下全文

基本要求 ①.掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关系;

②.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。

③.掌握圆的标准方程和一般方程.

④.掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用;

⑤.灵活运用圆的几何性质解决问题.

1直线方程的五种形式

点斜式：，  (斜率存在)

斜截式：    (斜率存在)

两点式：，(不垂直坐标轴)

截距式：    (不垂直坐标轴,不过原点)

一般式：

2.直线与直线的位置关系：

（1）有斜率的两直线l₁：y=k₁x+b₁；l₂：y=k₂x+b_2； 有：①l₁∥l₂k₁=k₂且b₁≠b₂；②l₁⊥l₂k₁·k₂=-1；

    ③l₁与l₂相交 k₁≠k₂           ④l₁与l₂重合k₁=k₂ 且b₁=b₂。

（2）一般式的直线l₁：A₁x+B₁y+C₁=0，l₂：A₂x+B₂y+C₂=0   有：①l₁∥l₂A₁B₂-A₂B₁=0；且B₁C₂-B₂C₁≠0     

 ②l₁⊥l₂A₁A₂+B₁B₂=0     ③l₁与l₂相交 A₁B₂-A₂B₁≠0   ④l₁与l₂重合 A₁B₂-A₂B₁=0且B₁C₂-B₂C₁=0。

3.点与直线的位置关系：

点P（x₀，y₀）到直线Ax+By+C=0的距离：。

平行直线Ax+By+C₁=0与Ax+By+C₂=0之间的距离为

两点间距离公式：

…… …… 余下全文

基本要求 ①.掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关系;

②.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。

③.掌握圆的标准方程和一般方程.

④.掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用;

⑤.灵活运用圆的几何性质解决问题.

1直线方程的五种形式

点斜式：，  (斜率存在)

斜截式：    (斜率存在)

两点式：，(不垂直坐标轴)

截距式：    (不垂直坐标轴,不过原点)

一般式：

2.直线与直线的位置关系：

（1）有斜率的两直线l₁：y=k₁x+b₁；l₂：y=k₂x+b_2； 有：①l₁∥l₂k₁=k₂且b₁≠b₂；②l₁⊥l₂k₁·k₂=-1；

    ③l₁与l₂相交 k₁≠k₂           ④l₁与l₂重合k₁=k₂ 且b₁=b₂。

（2）一般式的直线l₁：A₁x+B₁y+C₁=0，l₂：A₂x+B₂y+C₂=0   有：①l₁∥l₂A₁B₂-A₂B₁=0；且B₁C₂-B₂C₁≠0     

 ②l₁⊥l₂A₁A₂+B₁B₂=0     ③l₁与l₂相交 A₁B₂-A₂B₁≠0   ④l₁与l₂重合 A₁B₂-A₂B₁=0且B₁C₂-B₂C₁=0。

3.点与直线的位置关系：

点P（x₀，y₀）到直线Ax+By+C=0的距离：。

平行直线Ax+By+C₁=0与Ax+By+C₂=0之间的距离为

两点间距离公式：

…… …… 余下全文

抛物线的标准方程、图象及几何性质：p?0

关于抛物线知识点的补充：

1、定义：

2、几个概念：

① p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，故p为正数；

② 焦点的非零坐标是一次项系数的14

③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。 ④ 通径：2p

3、如：AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN?l，

为垂足，求证：

（1）HF?DF； （2）AN?BN； （3）FN?AB； （4）设MN交抛物线于Q，则Q平分MN； （5）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1y2??p2，x1

1x2?4p2；

N为垂足，BD?l，AH?l，D，H

（6）1?1?2； |FA||FB|p

（7）A,O,D三点在一条直线上

（8）过M作ME?AB，ME交x轴于E，求证：|EF|?1|AB|，|ME|2?|FA|?|FB|； 2

关于双曲线知识点的补充：

1、 双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹。 e(e?1)的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点，焦点间距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。

注意： |PF1|?|PF2|?2a与|PF2|?|PF1|?2a（2a?|F1F2|）表示双曲线的一支。 2a?|F1F2|表示两条射线；2a?|F1F2|没有轨迹；

2、 双曲线的标准方程

x2y2y2x2

①焦点在x轴上的方程：2?2?1（a>0，b>0）； ②焦点在y轴上的方程：2?2?1 （a>0，b>0）； abab

③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx2-ny2=1(m〃n<0)；

④双曲线的渐近线：改1为0,分解因式则可得两条渐近线之方程.

…… …… 余下全文

抛物线的标准方程、图象及几何性质：

关于抛物线知识点的补充：

1、定义：

2、几个概念：

 ①  p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，故p为正数； 

②  焦点的非零坐标是一次项系数的； 

③  方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。

④  通径：2p 

3、如：是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足，，，，为垂足，求证：

（1）；  

（2）；

（3）；

（4）设交抛物线于，则平分；

（5）设，则，；

（6）；  

（7）三点在一条直线上

（8）过作，交轴于，求证：，；

关于双曲线知识点的补充：

1、 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。

第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点，焦点间距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。

注意：与（）表示双曲线的一支。  表示两条射线；没有轨迹；

2、 双曲线的标准方程

①焦点在x轴上的方程：（a>0，b>0）；   ②焦点在y轴上的方程： （a>0，b>0）；

③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx²-ny²=1(m·n<0)； 

④双曲线的渐近线：改1为0,分解因式则可得两条渐近线之方程.

3、双曲线的渐近线：

①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；

4、等轴双曲线：  为，其离心率为

5、共轭双曲线：

6、几个概念：

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平面解析几何知识点归纳

◆知识点归纳

直线与方程

1.直线的倾斜角

规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为

范围：直线的倾斜角的取值范围为

2.斜率：，

斜率公式：经过两点，的直线的斜率公式为

3.直线方程的几种形式

能力提升

斜率应用

例1.已知函数且，则的大小关系

例2.已知实数满足，试求的最大值和最小值

两直线位置关系

两条直线的位置关系

设两直线的方程分别为：或；当或时它们相交，交点坐标为方程组或

直线间的夹角：

①若为到的角，或；

②若为和的夹角，则或；

③当或时，；直线到的角与和的夹角：或；

距离问题

1.平面上两点间的距离公式 则 

2.点到直线距离公式

点到直线的距离为：

3.两平行线间的距离公式

已知两条平行线直线和的一般式方程为：，

：，则与的距离为 

4.直线系方程:若两条直线：，：有交点，则过与交点的直线系方程为＋或

+ (λ为常数)

对称问题

1.中点坐标公式：已知点，则中点的坐标公式为

点关于的对称点为，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。

2.轴对称：  点  关于直线的对称点为，则有，直线关于直线对称问题可转化 为点关于直线对称问题。

（1）中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点关于的对称点

②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；

Ⅱ、求出一个对称点，在利用由点斜式得出直线方程；

Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。

如：求与已知直线关于点对称的直线的方程。

①点关于直线对称：

Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。

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