第一讲 函数、极限与连续
一、考试要求
1． 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。
2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3． 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4． 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5． 理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存 在与左、右极限之间的关系。
6． 掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。
7． 掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极 限求极限的方法。
8． 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
9． 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型
10． 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
11. 掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。
二、内容提要
1、函数
（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系.
（2）复合函数: y=f(u), u=
，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域.
（3）分段函数: 注意，
为分段函数.
（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。
（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性
* 注：1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。
特别：若
为偶函数且
存在，则
2、若为偶函数，则
为奇函数；
若为奇函数，则
为偶函数；
3、可导周期函数的导函数为周期函数。
特别：设以
为周期且
存在，则
。
4、若f(x+T)=f(x), 且
，则
仍为以T为周期的周期函数.
5、设是以为周期的连续函数，则
，
6、 若为奇函数，则
；
若为偶函数，则
7、设在
内连续且
存在，
则在内有界。
2、 极限
(1) 数列的极限： 
(2) 函数在一点的极限的定义：
(3) 单侧极限: 1) 左右极限
2) 极限存在的充要条件：
(4) 极限存在的准则
1) 夹逼定理： 数列情形，函数情形
2) 单调有界数列必有极限
(5)极限的基本性质：唯一性，保号性，四则运算
*1）极限不等式 
注：
不成立
2）局部保号性
则在某
内
3）局部有界性 
则在某内有界。
4）
(6) 两类重要极限
(7) 无穷小量与无穷大量
1) 无穷小量; 2) 无穷大量; （注意与无界变量的差异）
3) 无穷小量与无穷大量的关系
(8) 无穷小量阶的比较
(9) 罗比达法则
3、连续
1) 连续的定义
2) 区间上的连续函数
3) 间断点及其分类
4) 闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理、零点定理
三、 * 重要公式与结论
1、常见极限不存在的情形：
1) 
方法：用无穷小量乘有界变量
2） 
方法：分
或
讨论.
2 、 
特别：若
3、 无穷小量的等价代换
若
，则有 
特别注意： 
（
，
（
）， 
（）
，
设
，
且
～
，
～
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 若
，则
（0712）当
时，与
等价的无穷小量是
（A）
（B）
（C）
（D）
4 、 若 
由此有 
5、极限的形式与关系
（1）
（2）
（3）
，
6、若
，则
(i) 
(ii) 
若
，则
(i) 
(ii) 
7、设在
处连续，则
（1）
（2）
（3）
（4）
不存在
四、 典型题型与例题
题型一、 函数的概念和性质
例1、设
，则
=
（A） 0 （B） 1 （C） 
（D） 
例2、对下列函数 （1） 
（2） 
（3） 
在（0，1）内有界的有（ ）个
（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
例3、（0434）函数
在下列哪个区间内有界
（A）（-1，0） （B）（0，1） （C） （1，2） （D）（2，3）
例4、（0534）以下四个命题中正确的是（ ）
（A） 若
在（0，1）内连续，则在（0，1）内有界
（B） 若在（0，1）内连续，则在（0，1）内有界
（C） 若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界
（D） 若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界
例5、（051、2）设
是连续函数的一个原函数，则必有
（A）是偶函数
是奇函数
（B）是奇函数是偶函数
（C）是周期函数是周期函数
（D）是单调函数是单调函数
题型二、 极限的概念和性质
例6、 当
时，
是
（A） 无穷小 （B）无穷大（C）有界的但不是无穷小（D）无界的但不是无穷大
例7、设对
，总有
，且
，则 
（A） 存在且等于0 （B）存在但一定不为0
（C）一定不存在 （D）不一定存在
例8、已知在
处连续，且
，求
题型三、求函数的极限
基本思路：
1、先化简
（1）约掉零因子（无穷因子）
（2）提出极限不为零的因子
（3）根式有理化
（4）无穷小替换
（5）变量替换（尤其是倒代换）
2、再用洛必达法则或其它求极限的方法
3、上述步骤可重复进行
1、常规方法：
1) 运算法则，
2)无穷小量等价代换，
3）洛必塔法则
1）用运算法则应注意的问题
例9、 求极限 
例10、 求极限
罗毕达法则1、
或
型
1、先化简
2、用洛必达法则、四则运算法则、泰勒公式
3、综合题（结合导数的定义等）
例11、求 
例12、 求极限 
例13、（042）求极限
例14、（0734）
=
罗毕达法则2、
型
型未定式有两种处理方法
或 
例15、求
例16、
例17、（101）极限
(A)1 . (B)
. (C)
. (D)
. 【 】
罗毕达法则3、其他类型
1、
型转化为
型，用洛必达法则等
2、
3、
型 (i) 通分 (ii) 变量替换（重点倒代换）
转化为型。
4、
不是未定式
例18、求极限
例19．（0434）求
2、变形方法：
1) 变量代换；2) 导数定义；
3) 泰勒公式; 特别若f(x)二阶连续可导，则有
例20、 设f¢(x)连续， f(0)=0, f¢(0)¹0, 求 
例21、 求下列极限(泰勒公式)
[
,
]
例22、求
法一、有理化，无穷小替换、洛必达法则
法二、泰勒公式
3、抽象函数
例23、若
，求
。
题型四、 求数列的极限
思路：
1、转化为函数的极限。
2、数列用递推公式给出，可考虑单调有界原理。
3、对通项适当放大（缩小），用夹逼准则。
4、和（积）的极限，可考虑用定积分的定义。
1、 利用函数极限求数列的极限
方法：1、
2、若
例24、求
2、 利用数列的收敛准则
（1）、两个准则
（2）、已知
可导
1）若
，则
单调，且
2）若
，则不单调
（3）、若存在
使得
，则
例25、设
证明
，并求其解。
例26、设
证明，并求其解。
3、利用定积分定义(适合n项求和的情形)
思路：1、求出
项和或积（积可转化为和），再求极限。
2、利用夹逼准则。
3、利用定积分的定义
4、利用已知级数的和。
公式： 1） 
2） 
例27、
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
例28、求
3、其他方法
例29、
（用级数收敛性）
解：考虑级数
由于
级数收敛，所以=0
例30、
（用中值定理）
解：用拉格朗日中值定理
（
介与
之间）
=
）
因而=
题型五、反问题
求已知极限中的待定参数，函数值，导数及函数等
命题方式：1、已知极限存在
2、已知无穷小阶的比较
3、已知函数的连续性或间断点类型
思路：1、将极限转化为
2、洛必达法则
3、泰勒公式
例31、已知
求
的值
例31、已知当时，
是
的高阶无穷小，
求
值
例33、（022）已知
在
可导，
，且
满足
，求
题型六、 无穷小量的比较
1、 掌握低阶无穷小、高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小等概念
2、 当
时，
，若
，
则
例34、设函数
则当
时，是
的
（A） 低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小
例35、（0412）把时的无穷小
，从高阶到低阶排列
例36、设f(x)连续，且当x→0时，F(x)=
是与x3等价的无穷小量，则f(0)= .
例37、（103）设f (x)=ln10 x, g (x)= x , h (x)= 
, 则当x充分大时有
(A) g (x)< h (x)< f (x). (B) h (x)< g (x)< f (x) .
(C) f (x)< g (x)< h (x) . (D) g (x)< f (x)< h (x) . 【 】
题型七、 判断函数的连续性与间断点的类型
1、 初等函数在其有定义的区间内是连续的。
2、 连续隐含的条件。
3、 会判断函数的连续性
（特别是分段函数在分界点处的连续性，要考虑左右极限）。
4、 会求函数的间断点，并能判断其类型。
5、 闭区间上连续函数的性质。
例38、设
在
处连续，求的值
例39、设f(x)=
，则f(x)有( ).
(A) 两个第一类间断点
(B) 三个第一类间断点
(C) 两个第一类间断点和一个第二类间断点
(D) 一个第一类间断点和一个第二类间断点
例40、（103）函数
的无穷间断点数为
(A) 0. (B)1. (C) 2. (D) 3. 【 】