《有限元理论与工程应用》读书报告

1. 概述

有限元法是一种数值计算的近似方法。早在20世纪40年代初期就已有人提出，但当时由于没有计算工具而搁置，一直到70年代以后，随着计算机与软件技术的发展，有限元法的应用拥有了重要的物质条件，才使有限元法得以迅速发展。

有限元法最初被用来研究复杂的飞机应力，它是将弹性理论、计算数学和计算机软件有机的结合在一起的一种数值分析技术。美国教授R.W.Clough于19xx年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首次提出了有限元法的名字。

有限元法的优点很多，其中最突出的优点是应用范围广。发展至今，不仅能解决静态的、平面的、最简单的杆系结构，而且还可以解决空间问题、板壳问题、结构的稳定性问题、动力学问题、弹塑性问题和粘弹性问题、疲劳和脆性断裂问题以及结构的优化设计问题。而且不论物体的结构形式和边界条件如何复杂，也不论材料的性质和外载荷的情况如何，原则上都能应用。

在本教材中，通过结合实例来阐述有限元法，更有利于我们的理解与掌握。

2. 有限元的基础理论

有限元法的常用术语有单元、节点、载荷、边界条件。

有限元法的分析过程包括研究分析结构特点、形成有限元计算模型、选择有限元软件或编制计算程序、上机试算、计算模型准确性判别、修改计算模型或修改程序、正式计算以及计算结果整理、结构计算方案的判别。

有限元法的基本思路和基本原则以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连接而组成整体。把连续体分成有限个单元和节点，称为离散化。先对单元进行特性分析，然后根据各节点处的平衡和协调条件建立方程，综合后作整体分析。这样一分一合，先离散再综合的过程，就是把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合的问题。因此，一般的有限元解法包括三个主要步骤：离散化、单元分析、整体分析。

2.1 离散化

一个复杂的弹性体可以看作由无限个质点组成的连续体。为了进行解算，可

以将此弹性体简化为有限个单元组成的集合体，这些单元只在有限个节点上铰接，因此，这集合体只具有有限个自由度，这就为解算提供了可能。有无限个质点的连续体转化为有限个单元的集合体，就称为离散化。

2.2 单元分析

单元分析首先要进行单元划分。在工程结构中，一般采用四种类型的基本单元，即标量单元、线单元（杆、梁单元）、面单元和体单元。而单元划分一般注意下面几点：

一、从有限元本身来看，单元划分的越细，节点布置得越多，计算的结果越精确。但计算时间和计算费用的增加。所以在划分单元时对应兼顾这两个方面。

二、在边界比较曲折，应力比较集中，应力变化较大的地方，单元应划分的细点，而在应力变化平缓处单元划分的大些。单元由小到大应逐渐过渡。

三、对于三角形单元，三条边长应尽量接近，不应出现钝角，以免计算出现较大的偏差。对于矩形单元，长度和宽度也不应相差过大。

四、任意一个三角形单元的角点必须同时也是相邻单元边上的角点，而不能是相邻单元边上的内点。划分其他单元时也应遵循此原则。

五、如果计算对象具有不同的厚度或不同的弹性系数，则厚度或弹性系数突变之处应是单元的边线。

2.3 整体分析

整体分析就是建立各单元之间和整体结构之间的联系，建立起整体刚度矩

e?k??k?阵：先对各个单元求出单元刚度矩阵，然后将其中的每个子块ij送到整体

刚度矩阵中相应位置，在同一位置上若有几个单元的相应子块送到，则进行迭加以得到整体刚度矩阵的子块从而形成整体刚度矩阵?k?。然后，加入载荷向量?P?和边界条件，再根据整体结构矩阵可以求出整体结构的节点力向量和节点位移向量之间的关系。

整体刚度矩阵的建立是根据任一点中的第j个节点上的节点力等于该单元三个节点i,j,m的节点位移在节点j上的节点力之迭加。而在整体结构中一个节点往往为几个单元所共有，则在这个节点上的节点力就应该是：共有这节点的几个单元的所有节点位移在该节点上引起的节点力之迭加。

3. 有限元分析方法

在有限元分析中，可采用三种方法：

位移法―取节点位移作为基本未知数；

力法―取节点力作为基本未知数；

混合法―取一部分节点位移和一部分节点力作为基本未知数。

位移法，因其未知量的确定比较程序化，易于编写计算机程序，因而得到广泛应用，力法和混合法，虽然在计算方面精度高，但编写程序比较困难，因此，目前很少采用。

基于位移法的有限元法，需建立单元刚度矩阵，对于杆系结构一般采用直观刚度法，对二维、三维等连续体可采用能量法推导。

3.1 有限元方法的基本思想

实际上，可以认为有限单元法的概念是源于结构理论。对于一个杆系结构，通常是由许多结构单元（杆件）所组成。结构中的这些单元仅在有限个节点上彼此相连。对每个单元而言，诸如力与位移之间的关系这样的结构特性都是用节点上所确认的自由度来惟一地予以规定；而整体杆系结构的特性则可通过组集这些单元特性来加以描述。

结构的整体刚度矩阵具有许多特性：

（1）它是一个对称矩阵；

（2）对角线上的主元素 总是非负的，因为作用力的方向将与它引起的对应位移的方向相同；

（3）整体刚度矩阵是奇异的。根据行列式的性质可以知道，矩阵[K]的对应行列式的值等于零，所以它是奇异的。故求解时，必须引入几何边界条件，消除刚体位移，方可求出未知位移。

3.2 总刚矩阵的物理意义

结构中第s个自由度的单位变形所引起的第r个节点力。此时，方程组还不能立即用来求解结点位移，其物理原因是结构的几何约束尚未设置，可能产生刚体位移。只有加上几何边界条件，对刚度矩阵加以修改，排除刚体位移后，才能解出全部位移分量。

建立整体结构的刚度矩阵是运用有限单元法求解问题的核心内容，一旦获得了整体刚度矩阵，就等于列出了有限单元法的基本方程。而建立整体刚度矩阵的问题，又可归结为求单元的刚度矩阵问题。

对于一个连续体的求解问题，有限单元法的实质就是将具有无限多个自由度的连续体，理想化为只有有限个自由度的单元集合体，单元之间仅在节点处相连接，从而使问题简化为适合于数值求解的结构型问题。这样，只要确定了单元的力学特性，就可以按结构分析的方法来进行求解

4. ANSYS有限元分析软件

4.1 ANSYS功能介绍

ANSYS软件功能包括：结构静力分析、结构动力分析、结构屈曲分析、热力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析、流体力学分析。ANSYS有限元分析软件将有限元分析、优化设计和计算机图形学相结合，能够同时分析高阶多物理场耦合量及各独立物理场量。

ANSYS程序有限元分析工作分3个阶段：

（1）前处理阶段ANSYS有较强的前处理功能，

能建立机体这类复杂模型，利用Smartsize功能，自动处理不规则形状，其材料、单元库丰富，能定义各种材料(各向同性材料、各向异性材料、超弹性材料等)的参数。

（2）求解阶段定义分析类型及选项、加载和求解。求解用波前法求解器，能求解各种工程问题。波前法的消元次序是按单元编号进行的，组集和求解时消元交替进行。调入内存的单元所保留的波前节点，所消去节点的方程已经组集完全。

（3）后置处理阶段通过图形显示和列表输出

评价分析结果。ANSYS有2个后处理器，通用后处理器PosTl来检查整个模型在待定载荷步和子载荷步的结果；时间一历程后处理器Post26用于检查模型中任一指定点的特定结果项随时间、频率或其他结果项目的变化规律。

4.2 结构静力和动力分析

静力分析计算固定不变载荷作用下结构的响应，计算不包括惯性和阻尼效应的载荷作用于结构或部件上引起的位移、应力、应变和力对结构的影响。也可以近似地为等价静力随时间变化载荷的作用进行计算，固定不变的载荷和响应是假定，即假定载荷和结构响应随时间的变化非常缓慢。ANSYS程序中的静力分析除了线性分析外，还包含非线性分析，如塑性、蠕变、膨胀、大变形、大应变及

接触面。非线性静力分析通过逐步加载荷来完成。结构屈曲分析分为线性屈曲和非线性屈曲，ANSYS对动力分析主要从几个方面考虑：

（1）模态分析用于抽取结构的自然频率和模态形状。分析的结果确定瞬态动力分析的模态数和积分时间步长，瞬态求解过程需要模态分析的结果。ANSYS程序还允许作预应力模态分析及在大变形分析后作模态分析。

（2）瞬态动力分析分为全瞬态动力方法、凝聚法和模态叠加法3种方法。皆用于基于动力分析的通用运动方程。

（3）谐波响应分析用于求解线性结构承受正弦变化载荷的响应。

（4）响应谱分析用于求解冲击载荷条件下的结构响应，该分析类型使用模态分析的结果连同已知谱，计算每个固有频率点在结构中发生的真实位移和应力。

（5）随机振动分析是一种谱分析，用于研究结构对随机激励的响应。

在按机械设计要求确定设计零件参数后，使用ANSYS有限元软件进行设计，既可避免复杂的运算，更主要的是可以利用该软件对受力分析难完成或必须考虑其他因素影响的时候，可以方便地对零件的结构动力和静力进行详细地分析，使用ANSYS软件对零件模态分析和静力分析，通过这些分析，可得到零件各种条件下变形的情况，验证零件设计是否合理，实现零件简捷准确的设计。

5. 知识的拓展和延伸

理解有限元方法可以帮助我们学习数值分析，比如对方程组迭代解法的研究、波动性方程的研究、差值与逼近方法、样条差值与分段差值等。它们都采取了单位概念，与有限元方法完全类似，随着有限元方法在科技领域的迅速发展，越来越多的人关注有限元方法对各类学科的影响。

第二篇：有限元读书工程

黑龙江大学 读书工程报告

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引言 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。

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一．有限元法基本思想

1.1定义

有限元是求解工程问题的一种有效的数值计算方法，根据近似分割原理，把求解区域离散为有限个单元的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过变分原理，把问题化成线性代数方程组求解。

有限元法的实质是将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体,化无限自由度问题为有限自由度问题,将连续场函数的(偏)微分方程的求解问题转化成有限个参数的代数方程组的求解问题。

1.2 有限元法分析指导思想

化整为零，集零为整，裁弯取直，以简驭繁，变难为易。即把一个结构看成由若干通过结点相连的单元组成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构进行整体分析。

1.3 有限单元法简介

节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用，即单元与单元之间设置的相互连接点

单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。

二.有限元单元法 2.1 有限元单元法的基本思路

弹性力学解法的问题弹性力学解法的问题在于：不论是应力函数解法数解法、扭转函数解法、挠曲函数解法、还是基于最小势能原还是基于最小势能原理的瑞利－李兹等方法，其困难在于如何给出一个在全求解区给出一个在全求解区域上均成立的试探函数。在有限单元法里在有限单元法里，这个问题通过定义分片插值的位移或应力函数得到了巧妙的解决。

2.2有限元单元法求解问题的的基本步骤

(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。

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(2) 区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。

(3) 确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条 件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。

(4) 单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数即单元中各节点的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。

(5) 总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。

(6) 边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件， 一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法 则对总体有限元方程进行修正满足。

(7) 解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。

2.3求解计算结果的整理和有限元法后处理

有限元方程是一个线性代数方程组，一般有两大类解法，一是直接解法，二是迭代法。直接法有高斯消元法和三角分解法，如果方程规模比较大时，可用分块解法和波前解法。迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法等。

通过选用合适的的求解法求解经过位移边界条件小处理的公式后，得到整体节点位移列阵，然后根据单元节点位移由几何矩阵和应力矩阵得到单元节点的应变和应力，对于非节点处的位移通过形函数插值得到，再由几何矩阵和应力矩阵求得相应的应变和应力。

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应变要通过位移求导得到，精度一般要比位移差一些，尤其对于一次单元，应变和应力在整个单元内是常数，应变和应力的误差会比较大，尤其单元数比较少时，误差更大，因此对于应力和应变要进行平均化处理： （1） 绕节点平均法，即依次把围绕节点所有单元的应力加起来平均，以

此平均应力作为该节点的应力。

（2） 二单元平均法，即吧相邻的两单元的应力加以平均并以此作为公共

边的节点出的应力。 三．形函数

在有限单元法中，形函数N（也称为试函数，基函数，shape function）的作用非常重要。形函数定义于单元内部的、坐标的连续函数，它满足下列条件：

1）在节点i处，Ni=1；在其他节点处，Ni=0；

2）能保证用它定义的未知量（u、v或x、y）在相邻单元之间的连续性；

3）应包含任意线性项，使用它定义的单元唯一可满足常应变条件；

4）应满足下列等式：ΣNi=1。

形函数阶次越高，单元形状就越复杂，单元适应能力也越强，求解应力问题时所需单元数量也越少，因此平衡方程组也越少，因此平衡方程组的阶次较低，求解方程组的时间较少。但是形函数的阶次提高后，建立刚度矩阵的运算较复杂，因此对于每一特定的问题，都有一个最适合的形函数阶次，它能够使总的计算时间最经济。这一般需要根据计算经验决定。

四．有限元分析基本步骤

应用此方法在对于连续介质问题分析时，首先要将求解域离散化，然后的中心工作是单元构造或者列式分析。此后的工作可以认为是程式化的工作，即组装总体方程和求解此方程。

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4.1步骤

(1) 待求解域离散化

(2) 选择插值函数

(3) 形成单元性质的矩阵方程

(4) 形成整体系统的矩阵方程

(5) 约束处理，求解系统方程

(6) 其它参数计算

4.2单元的刚度矩阵

单元刚度矩阵组集为整体刚度矩阵的方法。各单刚阵先扩展为总刚阵的大小，再叠加；或先把总刚阵元素全充零，再把各单刚阵的元素叠加到总刚阵的对应位置上。引入约束条件，并把所受外力代入整体刚度矩阵，求解线性代数方程组，可求得未知的节点位移值量和节点力。

有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不同的单元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建的位移函数的数学模型的性能、能否真实反映真实结构的位移分布规律等，直接影响计算结果的真实性、计算精度及解的收敛性。为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下列要求:

a. 单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。

b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中。

c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的位移协调性。 由单元结点位移，确定待定系数项

4.3单元的刚度矩阵的性质

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