有限元计算报告
题目：第一题 矩形平面梁计算分析
共（11）页
班级：xxx
姓名：xxx
学号：xxxx
xxxxxxxxx
20##年xx月xx日
目 录
摘要
1 计算题目及要求…………………………………………2
2 计算方法及解题思路……………………………………3
3 原始数据 ………………………………………………3
4 计算结果及分析…………………………………………3
4.1简支模型不同网格尺寸有限元分析…………………………3
4.2简支模型特定位置处应力及挠度分布………………………4
4.3固支模型计算及分析…………………………………………6
5 结论 ……………………………………………………8
附录1弹性力学理论解计算过程 …………………………………9
附录2报告中有关数字和字符的说明………………………………11
摘要：
有限元法是一门技术基础课，是力学与现代计算技术相结合的产物，在现代结构设计方法中具有重要的意义。
本文应用Ansys软件对矩形平面梁进行计算分析，利用不同尺寸的网格计算指定点的位移和应力，并选出最优网格求出指定面或线的应力、挠度分布。通过本次作业，加深对有限元法基本理论的理解，熟悉Ansys程序求解工程问题的一般步骤和方法。
1 .计算题目及要求
矩形平面梁尺寸如果所示，厚度t=1.6cm，两端受力偶矩M的作用，M的面力按直线分布，q=125kg/cm2，已知材料的弹性模量E和泊松比μ，γ=7.8g/cm2。
E=2.5×106kg/cm2 μ=0.25
求：
（1） 当简支时，试用3种疏密不同的网格进行计算，比较A，B两点的位移及应力，从而说明有限元法的收敛性。
（2） 按最佳结果给出梁内ＣＤ截面的应力分布以及沿Ｏｘ轴的挠度分布。
（3） 当一端固支时，以最佳网格计算Ａ，Ｂ两点的位移及应力，并给出梁内ＣＤ截面的应力分布以及沿Ｏｘ轴的挠度分布。
说明：（ａ）简支、固支如图所示；
（ｂ）上述三问均需与弹性理论解进行比较；
第一问计算结果应进行列表记录，第二三问应附有图表编号和
标题；
（ｃ）上述计算均不考虑自重。
图1.1 结构简图
2.计算方法及解题思路
本结构是一个矩形平面梁结构，由于长度和宽度远远大于其厚度，可将其视为平面应力问题，选取Plane82二维8节点实体单元。
有限元Ansys程序大致操作过程为：建立几何模型、选择单元类型、输入材料特性、网格划分、施加约束和载荷；求解；后处理。
本题求解指定点应力和位移可以通过定义hardpoint实现，即将指定点定义为结点，这样就可以查找该点处的应力和位移；查看指定面或线上的位移和应力分布，可以通过定义代表该面或线的路径实现。
3.原始数据
为计算方便，本题中都采用国际单位制
单元形式：Plane82 二维8节点实体单元
网格密度：
网格尺寸0.05、0.01、0.002
固支模型网格尺寸采用最优网格；
载荷数据：
M的面力按直线分布，端部载荷集度
化成国际单位制之后
；
边界条件：
几何边界条件
简支模型：O点水平方向和垂直方向的位移为零，F点垂直方向位移为
零；
固支模型：右端面各点水平垂直方向位移都为零
载荷边界条件
左右断面弯矩M作用，简支模型左右两边均布面力；
固支模型左端均布面力，右端固支
4.计算结果及分析
4.1简支模型不同网格尺寸有限元分析
4.1.1不同网格尺寸的有限元计算结果
表1 简支模型A（0，0.1，0）点计算结果
表2 简支模型B（0.075，0.05，0）点计算结果
4.1.2有限元解收敛性判断
（1）弹性力学理论解（计算过程见附录）
表3 简支模型弹性力学理论解
（2）通过有限元解和理论解的比较，发现三种网格密度中，网格尺寸为0.002时有限元解与理论解相同，十分精确；网格尺寸为0.01次之；网格尺寸为0.05时误差最大。
结论：网格尺寸越小、密度越大，计算结果越接近理论解，这验证了有限元解的收敛性。但同时还应注意到，网格越密，计算时间则会越长，网格也并非越密越好。
4.2简支模型特定位置处应力及挠度分布
4.2.1 CD截面应力分布及与理论解比较
（1）有限元计算结果
图1 简支模型CD截面有限元解应力分布（由D点到C点）
（2）理论解
CD截面应力分布（x、y的单位均为m）
图2 CD截面理应力分布理论解Matlab作图
由理论解表达式看出CD截面上应力按直线分布，对比图1、图2可知实际有限元解也按直线分布，且D、C两点的应力解
与理论解
，相差无几，有限元解与实际解吻合。
4.2.2 沿OX轴线挠度分布及与理论解比较
（1）有限元计算结果
图3 简支模型沿OX轴线有限元解挠度分布（由O点到F点）
（2）理论解表达式
沿OX挠度分布
图4 简支模型沿OX轴线理论解挠度分布Matlab作图
由图3,有限元解挠度分布为一下凸抛物线，端点处挠度为零，中间顶点处挠度为
；理论解表达式为抛物线，端点和顶点处挠度值与有限元解相同，有限元解和理论解相吻合。
4.3固支模型计算及分析
4.3.1有限元计算结果及理论值比较
（1）有限元解
表4 固支模型A、B两点应力位移有限元解
（2）弹性力学理论解（计算过程见附录）
表5 固支模型弹性力学理论解
通过比较表4，表5可以看出有限元解与弹性力学理论解十分接近，误差非常小。
4.3.2特定位置处应力及挠度分布
（1） CD截面应力分布及与理论解比较
有限元解
图5 固支模型CD截面有限元解应力分布（由D点到C点）
理论解表达式（与简支模型相同）
CD截面应力
由理论解表达式看出CD截面上应力按直线分布，对比图2、图5可知实际有限元解也按直线分布，且D、C两点的应力解
与理论解
，相差无几，有限元解与实际解吻合。
（2）沿OX轴线挠度分布及与理论解比较
有限元解
图6 固支模型沿OX轴有限元解线挠度分布（由O点到F点）
理论解表达式
沿OX挠度分布
图7 固支模型沿OX轴线理论解挠度分布Matlab作图（由O点到F点）
理论解表达式为抛物线，由图7，右端点挠度为零，左端点处挠度为
；由图6,有限元解挠度分布为一下凸抛物线左半部分的一段，右端点处挠度为零，左端点处挠度为
，与理论解接近，有限元解和理论解相吻合。
5结论
通过计算分析比较可以发现，选取适当的网格，有限元法求解结果与弹性理论解相差很小，误差非常小。
约束要要加在节点上，非结点上不能加约束。
通过选取多种不同尺寸的网格（0.05、0.025、0.012、0.01、0.008、0、006、0、004、0、002等）计算，得出如下结论：网格密度越高，精确度则越高，但同时计算量也会增大，计算时间变长。网格密度并非越高越好，一方面是因为由于网格过密，计算量会变大；两一方面网格密度达到一定程度之后，精确度提高并不明显。因此，实际应用中应在满足精度要求的前提下，适当选取网格网格密度。
通过比较不同类型（shell63、shell93、plane82、plane183）的单元，得出如下结论：选取单元很重要，选的单元精度高，即使网格密度不大，计算结果仍很精确；否则即使网格划分的很密，结果仍可能不太精确。
同一结构、相同载荷，选取不同单元，施加载分布载荷时，载荷数值可能不同。Shell单元加分布载荷时载荷值要乘以厚度，而plane单元加分布载荷只需加单位厚度的载荷即可，不需乘以厚度。
附录1：
弹性力学理论解计算过程
1.简支模型
简支梁弹性力学解公式[1]
其中由
可知
由端部应力边界条件
可求得
的值，进而可求出弹性力学解
(1)将A（0，0.1）、B（0.075,0.05）两点坐标代入上式，求得A、B两点应力和位移
表3 简支模型弹性力学理论解
(2)特定位置处的应力、挠度分布
CD截面应力分布
沿OX挠度分布
2.固支模型
固支模型弹性力学理论解与简支模型相同，而位移解有所不同
弹性力学位移解公式为
利用简支时求得的
可求得，固支模型弹性力学解为
（1）将A（0，0.1）、B（0.075,0.05）两点坐标代入上式，求得A、B两点应力和位移
表5 固支模型弹性力学理论解
（2）特定位置处的应力、挠度分布
CD截面应力分布
沿OX挠度分布
附录2：
报告中有关数字和字符的说明
梁厚度0.016m
梁长度0.3m
弹性模量
泊松比0.25
X方向位移
Y方向位移
注：计算中所有单位都化成了国际单位制
参考文献：
[1]徐芝纶.弹性力学简明教程[M].北京：高等教育出版社，2002.8
[2]关玉璞 陈伟 崔海涛.航空航天结构有限元法[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.11
[3]刘鸿文.材料力学I[M].北京:高等教育出版社,2004.1