有限元法在工程领域的发展现状和应用
有限元法(Finite Element Method,FEM),是计算力学中的一种重要的方法,它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。有限元法最初应用在工程科学技术中,用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题,有限元法则是一种有效的分析方法。
近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器，国防军工，船舶，铁道，石化，能源，科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃，主要表现在以下几个方面：
（1）增加产品和工程的可靠性
（2）在产品的设计阶段发现潜在的问题
（3）经过分析计算，采用优化设计方案，降低原材料成本
（4）模拟试验方案，减少试验次数，从而减少试验经费
一、有限元法的基本思想
有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合,且单元本身又可以有不同形状,因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域;然后对单元(小区域)进行力学分析,最后再整体分析。这种化整为零,集零为整的方法就是有限元的基本思路。
有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下：
1物体离散化
将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。
2单元特性分析
（1）选择位移模式
在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。
当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元中的一些物理量如位移，应变和应力等由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，有限元法我们就将位移表示为坐标变量的简单函数。这种函数称为位移模式或位移函数。
（2）分析单元的力学性质
根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。
（3）计算等效节点力
物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。
3单元组集
利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程1-1：
式中 
—整体结构的刚度矩阵
—节点位移列阵
—载荷列阵
4求解未知节点位移
求解有限元方程式（1-1）得出位移。这里，可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。
通过上述分析，可以看出，有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是为了进行单元分析，合则是为了对整体结构进行综合分析。
二、有限元法的发展现状
有限元法是R.Courant于1943年首先提出的。自从提出有限元概念以来,有限元理论及其应用得到了迅速发展。过去不能解决或能解决但求解精度不高的问题,都得到了新的解决方案。传统的FEM假设:分析域是无限的;材料是同质的,甚至在大部分的分析中认为材料是各向同性的;对边界条件简化处理。但实际问题往往是分析域有限、材料各向异性或边界条件难以确定等。为解决这类问题,美国学者提出用GFEM (Gener-alized Finite Element Method)解决分析域内含有大量孔洞特征的问题;比利时学者提出用HSM(the Hybrid metis Singular element of Membraneplate)解决实际开裂问题。
FEM理论研究成果为其应用奠定了基础,计算机技术的发展为其提供了条件。20世纪70年代以来,相继出现了一些通用的有限元分析(FEA: Finite Element Analysis)系统,如SAP、ASKA、NASTRAN等,这些FEA系统可进行航空航天领域的结构强度、刚度分析,从而推动了FEM在工程中的实际应用。
20世纪80年代以来,随着工程工作站的出现和广泛应用,原来运行于大中型机上的FEA系统得以在其上运行,同时也出现了一批通用的FEA系统,如ANSYS-PC、NISA,SUPERSAP等。20世纪90年代以来,随着微机性能的显著提高,大批FEA系统纷纷向微机移植,出现了基于Windows的微机版FEA系统。
在FEM应用领域不断扩展、求解精度不断提高的同时,FEM也从分析比较向优化设计方向发展。印度Mahanty博士用ANSYS对拖拉机前桥进行优化设计,结果不但降低了约40%的前桥自重,还避免了在制造过程中的大量焊接工艺,降低了生产成本。
FEM在国内的应用也十分广泛。自从我国成功开发了国内第一个通用有限元程序系统JIGFEX后,有限元法渗透到工程分析的各个领域中,从大型的三峡工程到微米级器件都采用FEM进行分析,在我国经济发展中拥有广阔的发展前景。
目前在进行大型复杂工程结构中的物理场分析时,为了估计并控制误差,常用基于后验误差估计的自适应有限元法。基于后处理法计算误差,与传统算法不同,将网格自适应过程分成均匀化和变密度化2个迭代过程。在均匀化迭代过程中,采用均匀网格尺寸对整体区域进行网格划分,以便得到一个合适的起始均匀网格;在变密度化迭代过程中只进行网格的细化操作,并充分利用上一次迭代的结果,在单元所在的曲边三角形区域内部进行局部网格细化,保证了全局网格尺寸分布的合理性,使得不同尺寸的网格能光滑衔接,从而提高网格质量。整个方案简单易行,稳定可靠,数次迭代即可快速收敛,生成的网格布局合理,质量高。
经过半个多世纪的发展,FEM已从弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题;从静力问题扩展到动力问题、稳定问题和波动问题;从线性问题扩展到非线性问题;从固体力学领域扩展到流体力学、传热学、电磁学等其他连续介质领域;从单一物理场计算扩展到多物理场的耦合计算。它经历了从低级到高级、从简单到复杂的发展过程,目前已成为工程计算最有效的方法之一。
三、有限元应用的有关问题
1 FEM的应用过程
FEM应用于实际问题须经历以下过程,如图1所示。
（1）问题的数学描述。
对问题客观规律的数学描述(通常是微分方程及边界条件)是建立有限元方程的前提。单元特性矩阵和整体有限元方程都是基于数学模型建立的。常见的弹性力学基本方程、运动方程、热传导方程等都是对客观现象的数学描述。
（2）有限元方程的建立。
利用变分原理,通过离散、单元分析、整体分析等过程,建立数学模型的有限元方程,它通常是一组易于用数值方法求解的代数方程。
（3）算法研究。
有限元方程的计算量庞大,须有有效的算法来保证计算效率和精度,同时考虑对计算条件的要求。如求解大型线性方程组的带宽法、波前法,求解大型特征值问题的分块Lanczos法等。
（4）程序开发。
数值计算依赖于计算机,因此求解算法需用相应的计算程序来实现。
（5）有限元建模。
对应于FEA系统的前处理(Pre-pro-cessing)。它为数值计算提供所有原始输入数据(节点数据、单元数据和边界条件数据)。因为模型形式直接决定计算精度和规模,且建模所需时间约占整个FEA的70%左右,所以建模质量和效率是FEA的关键。图2列出了有限元建模中的关键技术。
图1 FEM的应用过程
图2 有限元建模的关键技术
（6）数值计算。
对应于FEA系统的计算(Solving)。它由一系列计算程序组成,计算程序又称求解器(solver)。每个求解器完成特定类型的计算。因此求解器越多,系统功能越强。
（7）结果处理。
对应于FEA系统的后处理(Post-pro-cessing)。它对计算结果进行处理、显示、运算和列表等。
若按照(1)~(7)过程,问题得以解决,则FEM应用结束;反之,则需根据求解结果提出改进方案,循环执行(5)~(7)过程,直至问题解决或得到最佳设计。
对于一个全新的问题,必须从第一步开始。而对已知的问题,可从第(5)步开始,即直接利用已有的FEA系统,建立有限元模型。在实际应用中,绝大多数问题都属于第二类问题。
2 FEM的应用领域
有限元法最初应用在求解结构的平面问题上,发展至今,已由二维问题扩展到三维问题、板壳问题,由静力学问题扩展到动力学问题、稳定性问题,由结构力学扩展到流体力学、电磁学、传热学等学科,由线性问题扩展到非线性问题,由弹性材料扩展到弹塑性、塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料,从航空技术领域扩展到航天、土木建筑、机械制造、水利工程、造船、电子技术及原子能等,由单一物理场的求解扩展到多物理场的耦合,其应用的深度和广度都得到了极大的拓展。
2.1 静力分析
包括线性非线性静力分析。线性静力分析研究线弹性结构的变形和应力,它是工程结构分析和设计中最基本的方法。非线性结构静力分析主要研究外载作用下引起的非线性响应，其中非线性来源主要是材料非线性、几何非线性和边界条件非线性3大类。
2.2 动力分析
主要包括以下分析类型：
（1）模态分析。用于求解多自由度系统的模态参数。图3为计算得到的计算机主板的前三阶振型。
（2）瞬态响应分析。求解在时域内结构承受随时间变化的载荷和速度作用时的动力响应。
（3）简谐响应分析。对简谐激励结构在其平衡位置的振动进行分析。
（4）频谱响应分析和随机振动分析。用于分析结构受已知频率激励时的最大响应。
（5）屈曲和失稳分析。分析考察结构的极限承载能力,研究结构总体或局部的稳定性,获得结构失稳形态和失稳路径。
（6）自动接触分析。用于接触边界定义和摩擦分析。
2.3 失效和破坏分析
包括断裂分析(线弹性断裂分析和弹塑性断裂分析)、裂纹萌生与扩展分析、跌落分析和疲劳失效分析。图4是对电视机进行的跌落分析。
2.4 热传导分析
包括稳态热传导分析、瞬态热传导分析、热辐射、强迫对流及温度的耦合分析。图5是一个铸造过程中的热传导分析,目的是追踪固化过程中铸件和模具的温度分布。
2.5 电磁场分析
它用于对电磁场中电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线分布、能量损失等物理量进行分析。图6为E型电机的磁场分布和吸力特性图。
2.6 声场分析
它用来研究在含有流体介质中声波的传播问题,或分析浸在流体中的固体结构的动态特性。
2.7 流体分析
研究流体速度、压强、密度变化规律和粘滞流体的运动规律及粘滞流体中运动物体所受阻力及其它热力学性质。图7是离心泵叶轮叶片表面相对速度和压力变化曲线。
2.8 耦合场分析
考虑两种或两种以上物理场的交叉作用和相互影响(耦合)。图8是双压电晶片梁在结构场和电场共同作用下的变形。
四、有限元的发展趋势和研究热点
4.1 有限元的发展趋势
（1）与CAD软件的无缝集合
当今有限元分析软件的一个发展趋势是与通用CAD软件的集成使用，即在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，能直接将模型传送到CAE软件中进行有限元网格划分并进行分析计算，如果分析的结果不满足设计要求则重新进行设计和分析，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。为了满足工程师快捷地解决复杂工程问题的要求，许多商业化有限元分析软件都开发了和著名的CAD软件(例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、 SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等)的接口。有些CAE软件为了实现和CAD软件的无缝集成而采用了CAD的建模技术，如ADINA软件由于采用了基于Parasolid内核的实体建模技术，能和以Parasolid为核心的CAD软件(如 Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks)实现真正无缝的双向数据交换。
（2）更强大的网格处理能力
有限元法求解问题的基本过程主要包括：分析对象的离散化、有限元求解、计算结果的后处理三部分。由于结构离散后的网格质量直接影响到求解时间及求解结果的正确性与否，近年来各软件开发商都加大了其在网格处理方面的投入，使网格生成的质量和效率都有了很大的提高，但在有些方面却一直没有得到改进，如对三维实体模型进行自动六面体网格划分和根据求解结果对模型进行自适应网格划分，除了个别商业软件做得较好外，大多数分析软件仍然没有此功能。自动六面体网格划分是指对三维实体模型程序能自动的划分出六面体网格单元，现在大多数软件都能采用映射、拖拉、扫略等功能生成六面体单元，但这些功能都只能对简单规则模型适用，对于复杂的三维模型则只能采用自动四面体网格划分技术生成四面体单元。对于四面体单元，如果不使用中间节点，在很多问题中将会产生不正确的结果，如果使用中间节点将会引起求解时间、收敛速度等方面的一系列问题，因此人们迫切的希望自动六面体网格功能的出现。自适应性网格划分是指在现有网格基础上，根据有限元计算结果估计计算误差、重新划分网格和再计算的一个循环过程。对于许多工程实际问题，在整个求解过程中，模型的某些区域将会产生很大的应变，引起单元畸变，从而导致求解不能进行下去或求解结果不正确，因此必须进行网格自动重划分。自适应网格往往是许多工程问题如裂纹扩展、薄板成形等大应变分析的必要条件。
（3）由求解线性问题发展到求解非线性问题
随着科学技术的发展，线性理论已经远远不能满足设计的要求，许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能解决，必须进行非线性分析求解，例如薄板成形就要求同时考虑结构的大位移、大应变(几何非线性)和塑性(材料非线性);而对塑料、橡胶、陶瓷、混凝土及岩土等材料进行分析或需考虑材料的塑性、蠕变效应时则必须考虑材料非线性。众所周知，非线性问题的求解是很复杂的，它不仅涉及到很多专门的数学问题，还必须掌握一定的理论知识和求解技巧，学习起来也较为困难。为此国外一些公司花费了大量的人力和物力开发非线性求解分析软件，如ADINA、ABAQUS等。它们的共同特点是具有高效的非线性求解器、丰富而实用的非线性材料库，ADINA还同时具有隐式和显式两种时间积分方法。
（4）由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解
有限元分析方法最早应用于航空航天领域，主要用来求解线性结构问题，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从理论上也已经证明，只要用于离散求解对象的单元足够小，所得的解就可足够逼近于精确值。现在用于求解结构线性问题的有限元方法和软件已经比较成熟，发展方向是结构非线性、流体动力学和耦合场问题的求解。例如由于摩擦接触而产生的热问题，金属成形时由于塑性功而产生的热问题,需要结构场和温度场的有限元分析结果交叉迭代求解，即"热力耦合"的问题。当流体在弯管中流动时，流体压力会使弯管产生变形，而管的变形又反过来影响到流体的流动……这就需要对结构场和流场的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓"流固耦合"的问题。由于有限元的应用越来越深入，人们关注的问题越来越复杂，耦合场的求解必定成为CAE软件的发展方向。
（5）程序面向用户的开放性
随着商业化的提高，各软件开发商为了扩大自己的市场份额，满足用户的需求，在软件的功能、易用性等方面花费了大量的投资，但由于用户的要求千差万别，不管他们怎样努力也不可能满足所有用户的要求，因此必须给用户一个开放的环境，允许用户根据自己的实际情况对软件进行扩充，包括用户自定义单元特性、用户自定义材料本构(结构本构、热本构、流体本构)、用户自定义流场边界条件、用户自定义结构断裂判据和裂纹扩展规律等等。
4.2 有限元的研究热点
（1）超收敛应力计算
在超收敛应力计算方面,陈传淼教授是中国学派的代表,他的“有限元超收敛构造理论”成果属于国际领先水平。超收敛应力(及位移)计算是以FEM为代表的各种数值方法争相追求的目标,所以它一直是FEM研究的难点与热点问题。
（2）有限元模型修正技术
有限元模型修正技术(或试验/分析模型相关)是要充分利用结构试验和FEA两者的优点,用少量的结构试验数据对有限元模型进行修正,获得比较准确的有限元模型。
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