中国地质大学

研究生课程论文封面

课程名称      现代设计方法         

教师姓名                 

研究生姓名                       

研究生学号                

研究生专业        机械工程           

所在院系        机电学院           

日      期:    2013 年  1 月  8 日   

评    语

注：1、无评阅人签名成绩无效；

2、必须用钢笔或圆珠笔批阅，用铅笔阅卷无效；

3、如有平时成绩，必须在上面评分表中标出，并计算入总成绩。

有限元分析简介

摘 要: ANSYS 软件具有建模简单、快速、方便的特点, 因而成为大型通用有限元程序的代表。对有限元作了一个总体的介绍, 并着重介绍了ANSYS 软件, 简要地叙述了ANSYS 软件的主要技术特点和各部分构成以及其主要的分析功能,从其构成及功能中可以看到,ANSYS 软件的确是工程应用分析的有效工具。

1、有限元分析的基本概念和计算步骤

1.1、有限元分析的基本概念

有人将CAE技术称为当今“科学与技术的完美结合”。这句话说得比较夸张，但不可否认，CAE技术的确是现代产品研发的重要基础技术，其理论性和需要的学科知识厚重而宽广。有限元软件是目前CAE的主流分析软件之一，在全球拥有最大的用户群。有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。

1.2、有限元求解问题的基本步骤

有限元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤：网格划分，单元分析，整体分析。

1.2.1网格划分

有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。

通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。

图1 四面体四节点单元

图2 六面体8节点单元

图3三维实体的四面体单元划分

图4 三维实体的六面体单元划分

图5 三角形3节点单元

图6 四边形4节点单元

图7平面问题的三角形单元划分

图8 平面问题的四边形单元划分

1.2.2单元分析

对于弹性力学问题，单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。

由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。

以平面问题的三角形3结点单元为例。如图1-15所示，单元有三个结点I、J、M，每个结点有两个位移u、v和两个结点力U、V。

图1-15 三角形3结点单元

单元的所有结点位移、结点力，可以表示为结点位移向量（vector）：

结点位移              结点力

单元的结点位移和结点力之间的关系用张量（tensor）来表示，

                                                                                      （1-12）

1.2.3整体分析

对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的关系，以解出结点位移，这个过程为整体分析。再以弹性力学的平面问题为例，如图1-16所示，在边界结点i上受到集中力作用。结点i是三个单元的结合点，因此要把这三个单元在同一结点上的结点力汇集在一起建立平衡方程。

图9 整体分析

i结点的结点力：

      

      

i结点的平衡方程：

                                                                                          （1-13）

2、有限元理论基础

有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

加权余量法是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。（Weighted residual method WRM）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。

设问题的控制微分方程为:

在V域内    

在S边界上      

式中 :

 L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；

 f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值；

u——为问题待求的未知函数

混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。

3、有限元法的收敛性

有限元法是一种数值分析方法，因此应考虑收敛性问题。有限元法的收敛性是指：当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于精确解。

有限元的收敛条件包括如下四个方面：

（1）单元内，位移函数必须连续。多项式是单值连续函数，因此选择多项式作为位移函数，在单元内的连续性能够保证。

（2）在单元内，位移函数必须包括常应变项。每个单元的应变状态总可以分解为不依赖于单元内各点位置的常应变和由各点位置决定的变量应变。当单元的尺寸足够小时，单元中各点的应变趋于相等，单元的变形比较均匀，因而常应变就成为应变的主要部分。为反映单元的应变状态，单元位移函数必须包括常应变项。

（3）在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。一般情况下，单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。形变位移与物体形状及体积的改变相联系，因而产生应变；刚体位移只改变物体位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移是不产生变形的位移。空间一个物体包括三个平动位移和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。

由于一个单元牵连在另一些单元上，其他单元发生变形时必将带动单元做刚体位移，由此可见，为模拟一个单元的真实位移，假定的单元位移函数必须包括刚体位移项。

（4）位移函数在相邻单元的公共边界上必须协调。对一般单元而言，协调性是指相邻单元在公共节点处有相同的位移，而且沿单元边界也有相同的位移，也就是说，要保证不发生单元的相互脱离开裂和相互侵入重叠。要做到这一点，就要求函数在公共边界上能由公共节点的函数值唯一确定。对一般单元，协调性保证了相邻单元边界位移的连续性。

4、有限元分析软件ANSYS 及其模块Workbench简介

ANSYS有限元软件包是一个多用途的有限元法计算机设计程序，可以用来求解结构、流体、电力、电磁场及碰撞等问题。因此它可应用于以下工业领域： 航空航天、汽车工业、生物医学、桥梁、建筑、电子产品、重型机械、微机电系统、运动器械等。

Workbench是ANSYS公司提出的协同仿真环境，解决企业产品研发过程中CAE软件的异构问题。面对制造业信息化大潮、仿真软件的百家争鸣双刃剑、企业智力资产的保留等各种工业需求，ANSYS公司提出的观点是：保持核心技术多样化的同时，建立协同仿真环境。

　  软件主要包括三个部分：前处理模块，分析计算模块和后处理模块。

　　前处理模块提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，用户可以方便地构造有限元模型； 分析计算模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力；后处理模块可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示（可看到结构内部）等图形方式显示出来，也可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。

ANSYS12.0 Workbench有限元数值模拟分析软件用来模拟复杂的多物理场环境的实际工程问题，它在工程页面引入了工程流程图的概念，通过各个分析系统间的连接，将数值模拟过程结合在一起，每个分析系统的数值模拟过程一般是采用简化假定或者真实的物理模型，将CAD模型构造成有限元网格模型，再通过施加载荷和边界条件后运行求解得到分析结果，分析系统之间通过共同变量建立关联。

ANSYS12.0 Workbench提供的耦合场分析是通过直接耦合或载荷传递顺序耦合求解不同场的交互作用，用于分析诸如流体-结构耦合、结构-热耦合、热电耦合等问题。

物理场耦合分析可以采用直接法和载荷传递耦合法，

1、 直接法

直接耦合方法所有物理场采用单一代码求解，耦合场单元包括所有必要自由度，通过计算所需物理量的单元矩阵或载荷向量的方式进行耦合。如采用SOLID226、PLANE223或SOLID227单元进行压电分析。

2、载荷传递法

载荷传递法涉及到多场分析，不同场之间的耦合通过将一个场的分析结果作为另一个场的载荷施加。载荷传递分析法有不同的类型，解释如下：

（a) 载荷传递耦合分析-ANSYS多场求解器

ANSYS多场求解器用于多数耦合分析，是一个自动化的工具，每个物理场具有独立的实体模型和网格，载荷传递通过表面或体，多场求解器定义求解顺序，耦合载荷在不同的网格间自动传递，该求解用于静态、谐响应和瞬态分析。对于不同的应用，ANSYS多场求解器提供2个版本，MFS-Single Code及MFX-Multiple code，MFS-Single Code是基本的多场求解器，用于包含所有场的ANSYS单个产品（如ansys多物理场产品）处理小的模型。

（b) 载荷传递耦合分析-物理场文件

该方法必须使用多物理场环境传递载荷，如顺序热应力分析，热分析的节点温度作为随后的结构应力分析中的体载荷施加，该分析基于单一的有限元网格，通过定义物理场环境生成物理场文件，这些文件设置数据库和准备单一网格，常用方法是读入第一个物理场文件并求解。然后读入到第二个物理场，定义要传递的载荷，并求解第二个物理场。

（c) 载荷传递耦合分析-单向载荷传递

流固耦合分析可以使用该方法，需要知道流体分析结果对结构载荷影响不大，反之亦然，ANSYS Multiphysics 载荷可以单向传递到CFX流体分析，或反之。

3、何时运用直接法或载荷传递法

直接耦合法不同场的求解同步进行，在解决强耦合场相互作用或具有高度非线性时更具优势，并且可利用耦合公式一次性得到最好的计算结果。直接耦合法的例子包括压电分析，伴随流体流动的共轭传热问题，以及电路-电磁场耦合分析。求解这类耦合场相互作用问题都有专门的单元供直接选用。

4.1、温度场分析概述

热的传递是由于物体内部或物体之间的温度不同而引起的。当无外功输入时，根据热力学第二定律，热总是自动地从温度较高的部分传给温度较低的部分，根据传热机理的不同，传热的基本方式有热传导、对流和辐射三种。

热传导遵循傅里叶定律，

式中：Q为热流量，表示单位时间内通过某一给定面积的热量，单位w；dt/dn为温度梯度，单位℃/m；A为导热面积，单位；λ为材料的导热系数，单位w/（m ℃）

导热系数是物质的一种物理性质，表示物质的导热能力的大小，导热系数值越大，物质的导热性能越好。导热系数只能实际测定。一般，金属的导热系数最大，非金属的固体次之，液体的较小，而气体的最小

傅立叶定律表示：在单位时间热传导的方式传递的热量与垂直于热流的截面积成正比，与温度梯度成正比。负号表示导热方向与温度梯度方向相反。

热对流遵循牛顿冷却公式，

其中ts及tf分别为表面温度和流体温度；h为对流换热系数，表示单位温差作用下通过单位面积的热流量，对流换热系数越大，传热越剧烈，单位。

对流换热系数的大小与传热过程中的许多因素有关。它不仅取决于物体的物性、换热表面的形状、大小相对位置，而且与流体的流速有关。一般地，就介质而言：水的对流换热比空气强烈；就换热方式而言：有相变的强于无相变的；强制对流强于自然对流。对流换热研

    热辐射遵循斯忒潘——玻耳兹曼定律，

其中T为黑体的热力学温度K（开尔文Kelvin，0°C=绝对温度273.16 K）；为斯忒潘—玻耳兹曼常数（黑体辐射常数），；A为辐射表面积。其中Q为物体自身向外辐射的热流量，而不是辐射换热量；为物体的发射率（黑度），其大小与物体的种类及表面状态有关。

物体温度越高，单位时间辐射的热量越多。热传导和热对流都需要有传热介质，而热辐射无须任何介质。实质上，在真空中的热辐射效率最高。

4.2应力场概述

应力场主要进行结构分析，现代结构设计方法中，有如下四种不同水平的分析方法：

1. 静力分析

静力分析用于对低速结构，运动中产生的惯性力可以忽略，对结构运动过程中的各个位置，采用静力平衡方程分析结构承载能力。

2. 动态静力分析

随着结构速度的提高，惯性力不能被忽略，假设结构遵循理想运动规律，根据达朗贝尔原理，将惯性力计入静力平衡方程，这种方法称为动态静力分析。由于该方法中需要计入惯性力，因此动态静力分析之前需要进行运动分析，获得结构的加速度。

3. 刚体动力分析

实际运动中需要考虑结构的真实运动，但结构假设为刚性的分析方法。

4. 柔体动力分析

随着结构柔度增加，结构固有频率降低，速度增加，结构激振频率上升，随着激振频率靠近固有频率，引发共振，从而破坏结构运动精度，降低结构疲劳强度，并引发噪声。因此结构运动中的变形不能忽略，需要采用柔体动力分析方法。

结构静力分析（Static Structural (ANSYS)）用于完成结构线性和非线性的静力分析和动态静力分析。

静力分析方程为：[K]{u}={F}

其中[K] 为刚度矩阵，{u}为位移矢量，{F} 为静力载荷。静力分析中不考虑随时间变化的载荷，忽略惯性力和阻尼。如果假设材料为线弹性，结构小变形，则[K]是常量，求解的是线性静力问题；如果[K]为变量，则求解的是静力非线性问题。

6有限元的发展及其应用

有限单元法作为一种力学分析方法, 是五十年代中期由结构力学工作者为解决复杂的飞机强度计算而提出来的。“ 有限单元法”作为一种高度有效的结构分析方法和工程数值分析的有力工具, 有限元法在机械工程、土木工程及其他工程设计领域已经得到十分广泛的应用。此外, 在机械振动、传热学、流体力学、电磁学、声学和医学等诸多领域中也得到迅速发展, 特别在固体力学和结构学分析方面得到了巨大进展, 成功地解决了一大批有重大意义的工程问题。

近年来, 随着计算机及其应用科学的发展, 有限元分析已成为计算机辅助设计CAD的一个重要组成部分。同时, 有限元也从一个单纯的分析工具转变成为一种设计手段了, 成为仍在快速发展的一个相对独立的科学领域, 在理论和应用方面都具有学科的特色。利用有限元方法解决工程实际问题、特别是比较复杂比较大型的工程问题。

例如对于桁架桥梁结构的分析。背景素材选自位于密执安的"Old North Park Bridge" (1904 - 1988)，见图10。该桁架桥由型钢组成，顶梁及侧梁， 桥身弦杆，底梁分别采用3 种不同型号的型钢，结构参数见表1。桥长L=32m,桥高H=5.5m。桥身由8 段桁架组成，每段长4m。该桥梁可以通行卡车，若这里仅考虑卡车位于桥梁中间位置，假设卡车的质量为4000kg，若取一半的模型，可以将卡车对桥梁的作用力简化为P1 ， P2 和P3 ，其中P1= P3=5000 N, P2=10000N，见图11。

图10 位于密执安的"Old North Park Bridge" (1904 - 1988)

图11 桥梁的简化平面模型(取桥梁的一半)

表1 桥梁结构中各种构件的几何性能参数

以下为基于ANSYS 图形界面(Graphic User Interface , GUI)的菜单操作流程。

(1) 进入ANSYS（设定工作目录和工作文件）

程序 → ANSYS → ANSYS Interactive → Working directory（设置工作目录）→ Initial jobname （设置工作文件名）:TrussBridge → Run → OK

(2) 设置计算类型

ANSYS Main Menu：Preferences… → Structural → OK

(3) 定义单元类型

ANSYS Main Menu：Preprocessor → Element Type → Add/Edit/Delete... → Add…→ Beam: 2d elastic 3 → OK（返回到Element Types窗口）→ Close

(4) 定义实常数以确定梁单元的截面参数

ANSYS Main Menu: Preprocessor → Real Constants…→ Add/Edit/Delete → Add…→ select Type 1 Beam 3 → OK → input Real Constants Set No. : 1 , AREA: 2.19E-3，Izz: 3.83e-6(1号实常数用于顶梁和侧梁) → Apply → input Real Constants Set No. : 2 , AREA: 1.185E-3，Izz: 1.87E-6 (2号实常数用于弦杆) → Apply → input Real Constants Set No. : 3, AREA: 3.031E-3，Izz: 8.47E-6 (3号实常数用于底梁) → OK (back to Real Constants window) → Close (the Real Constants window)

(5) 定义材料参数

ANSYS Main Menu: Preprocessor → Material Props → Material Models → Structural → Linear → Elastic → Isotropic → input EX: 2.1e11, PRXY: 0.3(定义泊松比及弹性模量) → OK → Density (定义材料密度) → input DENS: 7800, → OK → Close（关闭材料定义窗口）

(6) 构造桁架桥模型

生成桥体几何模型

ANSYS Main Menu：Preprocessor → Modeling → Create → Keypoints → In Active CS → NPT

Keypoint number：1，X，Y，Z Location in active CS：0，0 → Apply → 同样输入其余15个特征点坐标（最左端为起始点，坐标分别为 (4,0), (8,0), (12,0), (16,0), (20,0), (24,0), (28,0), (32,0), (4,5.5), (8,5.5), (12,5.5), (16.5.5), (20,5.5), (24,5.5), (28,5.5)）→ Lines → Lines → Straight Line → 依次分别连接特征点 → OK

网格划分

ANSYS Main Menu: Preprocessor → Meshing → Mesh Attributes → Picked Lines → 选择桥顶梁及侧梁 → OK → select REAL: 1, TYPE: 1 → Apply → 选择桥体弦杆 → OK → select REAL: 2, TYPE: 1 → Apply → 选择桥底梁 → OK → select REAL: 3, TYPE:1 → OK → ANSYS Main Menu：Preprocessor → Meshing → MeshTool → 位于Size Controls下的Lines：Set → Element Size on Picked → Pick all → Apply → NDIV：1 → OK → Mesh → Lines → Pick all → OK (划分网格)

(7) 模型加约束

ANSYS Main Menu: Solution → Define Loads → Apply → Structural→ Displacement → On Nodes → 选取桥身左端节点 → OK → select Lab2: All DOF(施加全部约束) → Apply → 选取桥身右端节点 → OK → select Lab2: UY(施加Y方向约束) → OK

(8) 施加载荷

ANSYS Main Menu: Solution → Define Loads → Apply → Structural → Force/Moment → On Keypoints → 选取底梁上卡车两侧关键点（X坐标为12及20） → OK → select Lab: FY，Value: -5000 → Apply → 选取底梁上卡车中部关键点（X坐标为16）→ OK → select Lab: FY，Value: -10000 → OK

→ ANSYS Utility Menu：→ Select → Everything

(9) 计算分析

ANSYS Main Menu：Solution → Solve → Current LS → OK

(10) 结果显示

ANSYS Main Menu：General Postproc → Plot Results → Deformed shape → Def shape only → OK（返回到Plot Results） → Contour Plot → Nodal Solu → DOF Solution, Y-Component of Displacement → OK（显示Y方向位移UY）(见图3-24(a))

定义线性单元I节点的轴力

ANSYS Main Menu → General Postproc → Element Table → Define Table → Add → Lab: [bar_I], By sequence num: [SMISC,1] → OK → Close

定义线性单元J节点的轴力

ANSYS Main Menu → General Postproc → Element Table → Define Table → Add → Lab: [bar_J], By sequence num: [SMISC,1] → OK → Close

画出线性单元的受力图(见图3-24(b))

ANSYS Main Menu → General Postproc → Plot Results → Contour Plot → Line Elem Res → LabI: [ bar_I], LabJ: [ bar_J], Fact: [1] → OK

(11) 退出系统

ANSYS Utility Menu：File → Exit → Save Everything → OK

(a)桥梁中部最大挠度值为0.003 374m

(b)桥梁中部轴力最大值为25 380N

参考文献

[1] ZHAO Xian- qiong( 赵先琼) , YANG Xiao- hong( 杨晓红) . ANSYS and 20 no de brick solid element( ANSYS 有限元分析与20 节点块单元) [ J] . Journal of Yueyang normal univ ersity( 岳阳师范学院学报) , 2001, 14( 3) : 29- 31.

[2] LAN Yu( 蓝宇) , ZHANG Lian- jie( 张连杰) . Large finite element analyse software ANSYS( 大型有限元分析软件ANSYS)[J] . Applicat ion of science and technology ( 应用科技) , 2000, ( 6) : 11- 15.

[3] LIU Guo- qing ( 刘国庆) , YANG Qing- dong( 杨庆东) . ANSYS 工程应用教程机械篇[M] . 北京: 中国铁道出版社, 2003.

[ 4] ZHANG Sheng- min( 张胜民) . 基于有限元软件ANSYS7. 0 的结构分析[M] . 北京: 清华大学出版社, 2003.

[5] YE Xian- lei( 叶先磊) , SHI Ya- jie( 史亚杰) . ANSYS 工程分析软件应用实例[M] . 北京: 清华大学出版社, 2003.

[6] LUO Gao- zuo( 罗高作) , WANG Ping( 王平) . Application of ANSYS and its structure analysis( ANSYS 及结构分析应用)[ J] . Journal of Huangshi polytechnic college( 黄石高等专科学校学报) , 2002, 18( 3) : 26- 28.

[7] GUO Hai- ying( 郭海鹰) . Abstr act of large finite element analyse software ANSYS and application ( 大型通用有限元分析软件ANSYS 简介及应用体会) [ J] .Wireless communication technique( 无线电通信技术) , 1996, 22( 5) : 51- 55.

[8]　博嘉科技. 有限元分析软件—— ANSYS 融汇与贯通 [M] . 北京: 中国水利水电出版社, 2002.

[9]　吴波, 黎明发. 机械零件与系统可靠性模型[ M] . 北京: 化学工业出版社, 2003.

[10]　高社生, 张玲霞. 可靠性理论与工程应用[M] . 北京: 国防工业出版社, 2002.