开题报告填表说明

1.开题报告是毕业设计（论文）过程规范管理的重要环节，是培养学生严谨务实工作作风的重要手段，是学生进行毕业设计（论文）的工作方案，是学生进行毕业设计（论文）工作的依据。

2.学生选定毕业设计（论文）题目后，与指导教师进行充分讨论协商，对题意进行较为深入的了解，基本确定工作过程思路，并根据课题要求查阅、收集文献资料，进行毕业实习（社会调查、现场考察、实验室试验等），在此基础上进行开题报告。

3.课题的目的意义，应说明对某一学科发展的意义以及某些理论研究所带来的经济、社会效益等。

4.文献综述是开题报告的重要组成部分，是在广泛查阅国内外有关文献资料后，对与本人所承担课题研究有关方面已取得的成就及尚存的问题进行简要综述，并提出自己对一些问题的看法。

5.研究的内容，要具体写出在哪些方面开展研究，要突出重点，实事求是，所规定的内容经过努力在规定的时间内可以完成。

6.在开始工作前，学生应在指导教师帮助下确定并熟悉研究方法。

7.在研究过程中如要做社会调查、实验或在计算机上进行工作，应详细说明使用的仪器设备、耗材及使用的时间及数量。

8.课题分阶段进度计划，应按研究内容分阶段落实具体时间、地点、工作内容和阶段成果等，以便于有计划地开展工作。

9.开题报告应在指导教师指导下进行填写，指导教师不能包办代替。

10.开题报告要按学生所在系规定的方式进行报告，经系主任批准后方可进行下一步的研究（或设计）工作。

第二篇：小车倒立摆系统摆起与稳定控制研究

青岛大学

硕士学位论文

小车倒立摆系统摆起与稳定控制研究

姓名：张彬

申请学位级别：硕士

专业：系统理论

指导教师：陈兵

20090613

摘要

在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。其作为一个装置，成本低廉，结构简单；作为一个被控对象，又是一个相当复杂、高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的系统，只有采取行之有效的方法才能使之稳定。

给出了倒立摆的研究历史，介绍了倒立摆系统在工程实际中的应用及研究现状，倒立摆系统的研究方法。

用牛顿力学方法建立倒立摆系统数学模型，并在平衡点附近进行线性化。应用现代控制理论中的ＬＱＲ控制和Ｂａｎｇ—Ｂａｎｇ控制设计倒立摆系统的控制器，并用ＭＡＴＬＡＢ软件对倒立摆系统作控制仿真以验证控制算法的正确性。仿真结果表明，基于Ｂａｎｇ－Ｂａｎｇ控制的倒立摆摆起控制和ＬＱＲ最优控制的稳定控制能够实现倒立摆的控制。

研究了倒立摆模糊控制系统，应用模糊逻辑工具箱对倒立摆系统进行设计，并采用ＭＡＴＬＡＢ软件对倒立摆系统进行稳定控制仿真，仿真结果验证了模糊控制方法用于倒立摆系统是有效的。

关键词：倒立摆；最优控制；ＬＱＲ控制；Ｂａｎｇ—Ｂａｎｇ控制；模糊控制

Ａｂｓｔｒａｃｔ

Ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙｃｏｎｔｒｏｌｐｒｏｇｒａｍ，ｔｈｅｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｉｓｕｎｉｖｅｒｓａｌａｎｄｉｔｓｃｏｓｔｉｓｌｏｗａｎｄｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｉｓｓｉｍｐｌｅｗｈｉｌｅｉｔｉｓ

ａｓ

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ｔｈｅ

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ａ

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ｄｅｓｉｇｎ

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ｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｓｙｓｔｅｍ．

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ｔｏｃｏｎｔｒｏｌ

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍ；Ｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌ；ＬＱＲｃｏｎｔｒｏｌ；Ｂａｎｇ－Ｂａｎｇｃｏｎｔｒｏｌ；

Ｆｕｚｚｙｃｏｎｔｒｏｌ

青岛人学高校教师硕ｔ－学位论文

学位论文独创性声明

本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文中依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意义上已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成果。

本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果。

论文作者签名：澎斩ｊ日期：炒７年妒月纠日

学位论文知识产权权属声明

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本学位论文属于：

保密口，在年解密后适用于本声明。

不保密函。

（请在以上方框内打“√”）

论文作者签名：了衫孑ｑ

指导老师签名：Ｒ期：力一７年妒月＞１日日期：冲驴月’ｆ日

５０（本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及任何个人不得擅自使用）

第一章引苦

第一章引言

倒立摆系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性，现代控制理论的研究人员将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。二十世纪九十年代以来，更加复杂多种形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点。．

倒立摆系统是一个非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统，倒立摆的稳定性控制问题是控制理论研究与应用的一个典型问题。其典型性在于：作为一个装置，成本低廉，结构简单，便于模拟和数字实现两者不同方式的控制；作为被控对象，它又是相当复杂的，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统，只有采取行之有效的控制方法才能使之稳定。倒立摆系统的控制效果既可以通过其稳定性直观地体现，也可以通过摆杆角度、小车位移和稳定时间直接度量，其实验效果直观、显著，当新的控制理论与方法出现后可以用倒立摆对其正确性和实用性加以物理验证并对各种方法进行比较。

在国外，对倒立摆系统稳定控制的研究始于６０年代，我国则从７０年代中期开始研究。控制过程中的许多关键问题，如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题、随动问题以及跟踪问题等都可以以倒立摆系统为例加以研究。根据经典控制理论与现代控制理论应用极点配置法，设计模拟控制器，国内外专家学者先后解决了单级倒立摆与二级倒立摆的稳定控制问题。随着计算机的广泛应用，又陆续实现了数控二级倒立摆的稳定控制。倒立摆系统看起来简单，实际上却是一个难以控制的不稳定结构，随着摆杆上端继续再铰链另外的摆杆，控制难度将不断增大。因此，多级倒立摆的高度非线性和不确定性，使其控制稳定成为控制界公认的难题。目前对四级倒立摆的控制的研究也已经开始研究并取得了一定的成就。本文仅对单级倒立摆做出初步研究，并能掌握关于倒立摆的基本知识。

倒立摆系统通常用来检验控制策略的效果，是控制理论研究中较为理想的实验装置。又因其与火箭飞行器及单足机器人有很大的相似之处，引起国内外学者的广泛关注。关于倒立摆的研究方法也有很多。迄今为止，人们已经利用古典控制理论、现代控制理论以及各种智能控制理论实现了多种倒立摆系统的稳定控制。多年来，人们对倒立摆的研究越来越感兴趣，倒立摆的种类也由简单的单级倒立摆发展为多种形式的倒立摆系统，这其中的原因不仅在于倒立摆系统在高科技领域的广泛应用，而且随着新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个严格的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力。因此，倒立摆系统作为控制理论研究中的一种较为理想的实验手段通常用来检验控制策略的效果。倒立摆的研究具有重要的工程背景：

青岛人学高校教师硕：ｌ二学位论文

（１）机器人的站立与行走类似双倒立摆系统。尽管第一台机器人在美国问世至今已有三十年的历史机器人的关键技术机器人的行走控制至今仍未能很好解决。

（２）在火箭等飞行器的飞行过程中为了保持其正确的姿态要不断进行实时控制。

（３）通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时要保持其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球使它的太阳能电池板一直指向太阳。

（４）侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响，为了提高摄像的质量必须能自动地保持伺服云台的稳定消除震动。

（５）为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭（多级火箭），其飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。

倒立摆装置看起来结构简单，却是一个难以控制的不稳定系统。随着摆杆级数的增加，控制难度将不断增大。多级倒立摆的高度非线性和不确定性，使其控制的稳定性成为控制界公认的难题。众所周知，被控对象越复杂，数学模型就越难精确，加上倒立摆系统本身的非线性和不稳定性，使得针对线性化模型进行控制系统设计的各种理论在解决倒立摆这类复杂系统时也无能为力。在这样复杂的控制对象面前，研究人员把人工智能的方法引入控制系统，得到新的突破。模糊控制和神经网络控制是智能控制的重要方面，它们在倒立摆系统的控制上也起到了很大的作用。１．１倒立摆系统简介

倒立摆（ＩｎｖｅｒｔｅｄＰｅｎｄｕｌｕｍ）是处于倒置不稳定状态、通过人为控制使其处于动态平衡的机电系统。它是一个复杂的快速、非线性、多变量、强耦合、自然不稳定的非最小相位系统，是重心在上、支点在下一类控制问题的抽象。对倒立摆系统的研究能反映控制中的许多典型问题，如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业领域都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射过程中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。

目前，倒立摆系统的结构形式多种多样，根据不同的标准，其分类如下：

（１）根据倒立摆系统的摆杆数目不同，有一级、二级、三级倒立摆等；

（２）根据摆杆与小车连接方式的不同，有柔性倒立摆系统和刚性倒立摆系统；（３）根据控制电机多少，有单电机倒立摆系统和多电机倒立摆系统；

（４）根据摆杆之间连接形式的不同，有并联式和串联式倒立摆两种；

（５）根据运动轨道的不同，有水平的或者倾斜轨道的倒立摆系统；（６）根据摆杆运动轨迹的不同，有直线式倒立摆、平面倒立摆、旋转式倒立摆、

第一辛…占

乘性连接倒立摆系统和Ａｃｒｏｂｏｔ、Ｐｃｎｄｕｏｔ等其他形式的倒立摆系统

≯燕毒辆ａ直线二级倒立摆ｂ柔性一级倒市摆

ｃ环形并联倒立摆ｄ平面一级倒立摆

图１ｌ倒立摆系统结构圈

目前常见的倒立摆，有直线倒立摆和旋转倒立摆。直线倒立摆的摆杆安装在与电动机传动带相联接的小车上，由传动带带动小车在一定长度的轨道上做直线运动。旋转倒立摆把摆杆固定在与电动机相连的悬壁上，通过电动机的转动带动悬臂控制摆杆的倒立。对于相同级数的倒立摆系统，直线倒立摆中的控制执行结构——小车只有水平方向的直线运动，模型的非线性因素比较少，有利于其平衡控制；旋转倒立摆，结构简单，但数学模型比较复杂，模型的非线性因素较多，对倒立摆的控制算法提出了更高的要求；平面倒立摆是倒立摆系统中最复杂的一类，摆杆可以沿平面内任意轴线运动，使系统的非线性、耦合性等特性更加突出，增加了控制难度。

各种例立摆的模型如图Ｉ２所示。

青岛人学高校教师硕．｝：学位论文

ａ直线倒立摆模型ｂ环形倒立摆模型

ｃ平面倒立摆模型

图１．２倒立摆系统模型

１．２倒立摆控制系统研究现状

倒立摆的研究始于２０世纪６０年代，随着倒立摆系统控制研究的不断深入，倒立摆的种类也发展为多种形式，常见的有直线轨道的直线倒立摆、旋转轨道的环形倒立摆、平面运动倒立摆等。而对倒立摆系统的研究也可以归结为两个问题：一是如何使得倒立摆从初始位置快速到达工作位置的摆起控制；二是在工作稳定点的稳定控制问题。随着Ｉｎｔｅｍｅｔ的发展和普及，国外有一些试验机构已将倒立摆纳入远程控制实验室，希望能让更多的人通过远程实验来验证他们的控制算法。

１．２．１倒立摆摆起控制研究现状

倒立摆的摆起问题，是控制理论中的一个经典实验，实质是倒立摆系统从一个稳定的平衡状态在外力的作用下自动转移到另一个平衡状态。在这个过程中，既要求起摆快速，但又不能过于超调。

用于倒立摆摆起的控制方法主要有滑模控制、狄色预测控制、部分状态反馈控制、时间最优控制、能量控制、监督控制、拟人控制、神经网络控制、进化控制等，但是主要集中在能量控制、最优控制、智能控制等方面。

由于输入、输出之间的非线性，许多常用的线性控制理论都不适用，基于非线４

第一章引言

性理论，目ｌｊｉｆ如下几种方法已成功实现倒立摆的起摆控制。

１９７６年，ＭｏｉｌｔＩＪ等人提出包含两个控制器的控制系统，一个控制器用来自动起摆，另一个用来稳定进入平衡状态附近的倒立摆系统。一般来说，摆起控制器通过振荡使倒立摆运动到一个指定范围，然后控制器切换到另一个负责稳定的部分。１９９６年，Ｔｏｒｒｅｓ．Ｐｏｍａｌｅｓ（２Ｊ设计了一个简单的滑模控制器来实现倒立摆的摆起。

基于能量的控制简单的来说就是控制摆杆的能量而不是控制摆杆的位置和速度。Ｙｏｓｈｉｄａ［３】采用能量实现了直线倒立摆的摆起控制，ＦａｎｔｏｎｉＥ４１也实现了能量控制，只是被控对象不同，其被控对象是平面运动一级摆。Ａｓｔｒｏｍ［５】详细讲述了能量控制理论，其控制对象是直线一级倒立摆。付莹、张广立等【６】采用能量反馈的方法完成了倒立摆的摆起控制，其方法与上述方法类似，相对来说经验较多，而且成功实现了实物的一级直线倒立摆的摆起控制。

采用最优控制的数值算法，在状态变量较少时可以实现最优控制律的计算，但对于状态变量较多，尤其是具有终点约束的问题却难以实现。侯祥林［７１基于最优化原理研究倒立摆快速摆起的实现方法，将每个时间段上的控制律向量作为设计变量，以终点约束条件作为目标函数，建立了最优控制律的优化程序计算方法，并且有效地应用到环形单级倒立摆的摆起过程控制。朱江滨等【８】提出了～种基于专家系统及变步长预测控制的实时非线性系统控制方法，用变步长一步预测避开复杂的非线性推导，结合专家系统对控制参数进行修正，从而最终实现直线二级倒立摆的摆起及稳定控制。

基于智能控制的摆起算法，有两大类：一类是直接通过对人工手动控制直线一级摆摆起倒立过程的解析，依据仿人智能控制理论如模糊控制、神经网络，设计出了适用于操作力矩受限情况下的单自由度摆起摆倒立控制的智能控制器，李祖枢阴用上述方法很好的仿真与实时试验结果以及两者之间充分的吻合证明了仿人智能控制方法的有效性，但控制器中的增益系数要通过实验分析，并且对摆起是否成功有很大的影响。另一类，将智能控制算法与其他控制算法如最优化方法、能量反馈方法相结合，如侯祥林首先由开环控制律优化算法确定理想控制律和状态变量矩阵，建立标准样本，再通过人工神经网络学习标准样本，获得表达状态变量和控制量关系神经网络的权值和阈值，建立摆起控制的神经网络，然后在闭环控制时检测状态变量，决定实施摆起控制还是稳定控制，把智能控制与最优化控制结合，实现倒立摆的摆起。

１．２．２倒立摆稳定控制研究现状

在倒立摆系统稳定控制的研究早期，主要是在线性模型的基础上实现倒立摆的控制。ＰＩＤ控制和ＬＱＲ控制方法在倒立摆稳定控制中应用较多。随着智能控制的发展

青岛人学高校教师硕．｝：学位论文

和成熟，越来越多的智能控制方法应用于倒立摆系统的稳定控制中。

国外最初对倒立摆系统的研究开始于２０世纪６０年代。１９６６年Ｓｃｈａｅｆｅｒ和Ｃａｎｎｏｎ应用Ｂａｎｇ－Ｂａｎｇ控制理论将一个曲轴稳定于倒置位置。在６０年代后期，正式提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性系统和快速性系统的处理能力，受到世界各国许多专家和学者的重视，用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为了具有挑战性的课题之一。

２０世纪７０年代初期，根据状态空间分析中的线性最优控制理论，按一定的性能指标设计最优控制器，在这一时期应用最普遍，也是一种在理论上比较成熟的方法。Ｅａｓｔｕｏｏｄ和Ｂｒｙｓｏｎ等人先后采用这种方法实现了对一级倒立摆系统的控制。而后ＫａＣ．Ｃｈｅｃｋ等人实现了对球平衡装置的控制。Ｆｕｒｕｔａ［１０］等人也运用该方法分别于１９７８年和１９８０年先后完成了对二级倒立摆和倾斜轨道的二级倒立摆的控制。

自８０年代以后，随着模糊控制理论的快速发展，用模糊控制理论控制倒立摆的研究也受到广泛重视，其研究的重点是检验模糊控制理论对快速、不稳定系统的自适应能力。模糊控制理论在处理倒立摆这样的多变量系统时，会面临一个控制规则难以制定的问题，因为可能的控制规则数是输入变量个数的指数形式，必须用适当方法处理多变量之间的关系。Ｍｏｏｎ［¨】提出的基于Ｔ－Ｓ模型的递阶模糊推理方法实现了对球棒系统的稳定控制，解决了多变量模糊控制的规则数目过多的问题。张乃尧

【２Ｉ】提出了双闭环模糊控制方法控制一级倒立摆，在控制器的结构设计上做了改变，用两个简单的控制器共同完成控制目标。虽然控制精度不是很高，但是它为模糊控制方法控制倒立摆系统打下了基础，对模糊串级控制具有一定的参考价值。另外，李明爱【１２】将两个并联模糊控制器的输出直接相加作为最终的控制器输出，也实现了对一级倒立摆的控制。以上这两种方法都是通过改变模糊控制器的结构，来简化模糊控制的设计。对于二级倒立摆系统的模糊控制，如何处理变量之间的关系尤为重要。ＳｕｎＱｉａｎｌａｉ等人二级倒立摆也采用双闭环模糊控制方法，利用两个模糊控制器分别调节上、下摆角的偏差，减少了控制规则数量，降低了控制器的设计难度，解决了二级倒立摆的多变量控制问题。Ｇｕａｎｇ－ＣｈｙａｎＨｗａｎ等人在设计模糊滑变模控制器时，将系统的多变量合成为两个复合基本变量——综合误差和综合误差变化率，而后用基本的Ｆｕｚｚｙ控制理论，实现了对一级倒立摆的控制，取得了较好的效果。应用综合误差、综合误差变化率的概念，实现了对二级倒立摆系统的模糊控制，并对综合系数的设计方法进行了论述。综合系数的初始值通过线性二次型最优控制的方法确定，然后通过寻优方法将控制效果较好的数值作为“综合系数”。这种基于状态变量合成的方法能够很好的解决模糊控制器设计中遇到的“规则爆炸”问题。

从２０世纪９０年代初丌始，神经网络控制倒立摆系统的研究得到了快速的发展。Ｂａｒｔｏ和Ａｎｄｅｒｓｏｎ先后采用两个神经网络和ＡＨＣ（Ａｄａｐｔｉｖｅ

６ｈｅｕｒｉｓｔｉｃｃｒｉｔｉｃ）学习算

第一章引占

法实现了对倒立摆稳定控制。蒋国飞【ｌ３Ｊ通过训练ＢＰ网络来逼近Ｑ值函数，并利用ＢＰ网络的泛化能力，实现了基于Ｑ学习法的状态未离散化的确定和随机倒立摆的无模型学习控制。于秀芬等采用了ＢＰ算法来对倒立摆系统进行控制，ＢＰ网络为４个输入３层结构，对模型进行学习训练，与模糊控制算法对比，具有精度高、收敛快等优点。尽管神经网络理论可以应用于倒立摆系统，但由于神经网络理论本身的缺陷，仍然存在一些需要解决的问题，例如怎样有效地获得神经网络控制器的初始结构和参数值等。

从２０世纪９０年代的中期开始，模糊神经网络控制也开始在倒立摆系统中得到应用。模糊控制与神经网络控制具有明显的互补性，两者结合，取长补短，不仅可以解决模糊控制规则的自动提取和隶属函数自动生成的问题，还可以拓宽神经网络处理信息的范围和能力。刑瑶等用ＢＰ算法完善经验知识，可以更好地选择模糊控制器的初始参数，加快训练的收敛速度，提高控制效率。模糊神经网络控制模型一般都存在系统维数太大的问题，全永兵【１２】等提出了一种新型的非线性状态空间模型，其思想是将线性系统理论、模糊控制理论和神经网络理论相结合，该模型的初始值可由专家经验确定，参数的最优值由神经网络的学习得到。杨振强等人在递阶多级模糊控制控制思想的基础上，加入了神经网络和遗传算法，提出了递阶多级模糊神经网络控制方法，既能有效地减少控制规则数目，又能充分利用专家的控制经验初始化网络参数，然后用遗传算法对网络参数进行优化，实现了对二级倒立摆的控制。

随着对控制理论的深入探索和智能控制技术的发展，国内对倒立摆的研究更多的是基于智能控制算法或者是智能控制算法与其它控制理论相结合的控制方法，并涌现出了许多新的控制方法和策略。张明廉【１４墩授等人成功地用单电机实现了对三级倒立摆的稳定控制，这一突破性成果，将为双足机器人的重心控制和多种飞行器的控制提供新的构思，也预示着对复杂系统控制理论可能产生重大变革。李洪兴【１６】教授及其团队对于直线倒立摆系统的研究在国内乃至国际上都处于领先水平。２００１年６月，李洪兴教授采用变论域自适应模糊控制实现了四级倒立摆控制的计算机仿真；同年９月，李洪兴教授采用变论域自适应模糊控制理论实现了三级倒立摆实物系统控制，并于２００２年８月在国际上首次成功实现了四级倒立摆实物控制系统。２００３年３月，李洪兴教授等将变论域自适应模糊控制理论结合最优控制理论和经典ＰＩＤ控制理论的某些特点扩展为具有高维ＰＩＤ调节功能的变论域自适应控制理论，采用这一理论成功地实现了平面运动二级倒立摆实物系统控制。２００５年７月，采用高维变论域自适应控制理论，在世界上第一个成功地实现了平面运动三级倒立摆实物系统控制。在对倾斜轨道上的倒立摆系统稳定控制方面，２００５年７月，李祖枢ｐ墩授利用拟人智能控制理论研究小车二级倒立摆起摆实时控制，取得了阶段性成果。７

青岛人学高校教师硕Ｉ：学位论文

１．３课题研究目的与意义

在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及在实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证，倒立摆就是这样一个被控对象。倒立摆是一个多变量、快速、非线性、强耦合、绝对不稳定的系统，通过对它引入一个适当的控制方法使之成为一个稳定系统，来检验控制方法对不稳定性、非线性和快速性系统的处理能力，而且在倒立摆的控制过程中，它能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪性能等许多自动控制领域中的关键问题。因此受到世界各国许多科学家的重视，从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为最具有挑战性的课题之一。

对倒立摆系统的研究不仅仅在其结构简单、原理清晰、易于实现等特点，而且作为典型的多变量系统，可采用实验来研究控制理论中许多方面的问题，诸如模型的建立、状态反馈、观测器理论、快速控制理论以及滤波理论等都可以用于这类系统。因此，倒立摆实验模型对现代控制理论的教学来说，自然成为一个相当理想的实验模型，而且也可以作为数控技术应用的典型的对象；另一方面对系统的研究也比较有实用价值，从日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆的控制有很大的相似性，故对其的稳定控制在实际中有很多应用，如海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着陆、机器人双足行走结构、化工过程控制等都属于这类问题。因此对倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义，成为控制理论中经久不衰的研究课题。

除此之外，由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合等特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它们视为研究对象，用它们来描述线性控制领域中不稳定系统的稳定性和非线性控制领域中的变结构控制、无源性控制、自由行走、非线性观测器、摩擦补偿、非线性模型降阶等控制思想，并且不断从中发掘出新的控制理论和控制方法，相关的成果在航空航天和机器入学方面获得了广阔的应用。可见，对倒立摆系统进行研究既具有意义深远的理论价值，又具有重要的工程背景和实际意义。

第二章ＭＡＴＬＡＢ／ＳＩＭＵＬＩＮＫ简介

第二章ＭＡＴＬＡＢ／Ｓｉｍｕｌｉｎｋ简介

２．１ＭＡＴＬＡＢ简介

ＭＡＴＬＡＢ语言已经成为当前世界上自动控制领域的首选计算机语言。ＭＡＴＬＡＢ语言的优越性可以概括为以下几点：

１．编程效率高

它是一种面向科学与工程计算的高级语言，允许用数学形式的语言编写程序。用ＭＡＴＬＡＢ编写程序犹如在演算纸上排列公式与求解问题。因此，ＭＡＴＬＡＢ语言也可以通俗的称为演算纸式的计算机语言，由于它编写简单，所以编程效率高，易学易懂。

２．用户使用方便

ＭＡＴＬＡＢ语言是一种解释执行的语言，它灵活、方便，其调试程序手段丰富，调试速度快，需要学习时间少。ＭＡＴＬＡＢ语言于其他语言相比，把编辑、编译、连接和执行融为一体。具体地说，ＭＡＴＬＡＢ运行时，如直接在命令行输入ＭＡＴＬＡＢ语句，包括调用Ｍ文件的语句，每输入一条语句，就立即对其进行处理，完成编译、连接和运行的全过程。

３．扩充能力强

高版本的ＭＡＴＬＡＢ语言有丰富的库函数，在进行复杂的数学运算时可以直接调用，而且ＭＡＴＬＡＢ的库函数同用户文件在形成上一样，所以用户文件也可作为ＭＡＴＬＡＢ的库函数来调用。因而，用户可以根据自己的需要方便地建立和扩充新的库函数，以便提高ＭＡＴＬＡＢ的使用效率和扩充它的功能。另外，为了充分利用ＦＯＲＴＲＡＮ、Ｃ等语言的资源，包括用户已编好的ＦｏＲＴ砒蝌、Ｃ语言程序，通过建立Ｍ回调文件的形式，混合编程，方便的调用有关的ＦＯＲＴＲＡＮ、Ｃ语言的子程序。

４．语句简单、内涵丰富

ＭＡＴＬＡＢ语言中最重要的是函数，其一般形式：［ａ，ｂ，ｃ…］＝ｆｕｎ（ｄ，ｅ’ｅ…），即一个函数由函数名、输入变量ｄ，ｅ，￡…和输出变量ａ，ｂ，ｃ…组成，同一函数名ｆ，不同数目的输入变量及不同数目的输出变量，代表了不同的含义。这不仅使ＭＡＴＬＡＢ的库函数功能更丰富，而大大减少了需要的磁盘空间，使得ＭＡＴＬＡＢ编写的Ｍ文件简单、短小而高效。

５．高效方便的矩阵和数组运算

ＭＡＴＬＡＢ语言和Ｂａｓｉｃ、Ｆｏｒｔｒａｎ和Ｃ语言一样规定了矩阵的算术运算符、关系运算符、逻辑运算符、条件运算符及赋值运算符，而且这些运算符大部分可以毫无改变的照搬到数组问的运算，有些如算术运算符只要增加“．”就可用于数组问的运算。另外，它不需要定义数组的维数，并给出矩阵函数、特殊矩阵专门的库函数，９

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使之在求解诸如信号处理、建模、系统识别、控制、优化等领域的问题时，显得更为简洁、高效、方便，这是其他高级语言所不能比拟的。在此基础上，高版本的ＭＡＴＬＡＢ已逐步扩张到科学及工程计算的其它领域。

６．方便的绘图功能

ＭＡＴＬＡＢ的绘图功能是十分方便的，它有一系列绘图函数，例如线性坐标、对数坐标、半对数坐标及极坐标，均只需调用不同的绘图函数（命令），在图上标出图题、ＸＹ轴标注，栅格绘制也只需调用相应的命令，简单易行。另外，在调用绘图函数时调整自变量可绘出不变颜色的点、线、复线或多重线。这种为科学研究着想的设计是通用的编程语言所不及的。总之，ＭＡＴＬＡＢ语言的设计思想可以说代表了当前计算机高级语言的发展方向。

作为一个复杂的智能计算机控制系统，在其正式建立投入使用前，必须首先进行仿真实验和分析。计算机仿真（ＣｏｍｐｕｔｅｒＳｉｍｕｌａｔｉｏｎ）又称计算机模拟（ＣｏｍｐｕｔｅｒＡｎａｌｏｇｙ）或计算机实验。所谓计算机仿真就是建立系统模型的仿真，进而在计算机上对该仿真模型进行模拟实验（仿真实验）的研究过程。计算机仿真方法即以计算机仿真为手段，通过仿真模型模拟实际系统的运动来认识其规律的一种研究方法。计算机仿真方法有时也称计算机仿真技术，这二者有时又简称计算机仿真。

随着ＭＡＴＬＡＢ软件的不断升级以及功能强大的Ｔｏｏｌｂｏｘ的出现，ＭＡＴＬＡＢ将成为自动控制系统计算与仿真的一个越来越强有力的工具。使控制系统的计算与仿真较传统的方法发生革命性的变化，ＭＡＴＬＡＢ正成为国内外控制领域内最流行的计算与仿真软件。

２．２Ｓｉｍｕｌｉｎｋ简介

在实际工程中，控制系统的机结构往往比较复杂，如果不借助于专用的系统建模软件，很难把一个控制系统的复杂模型输入计算机，从而难于实现对其进行进一步的分析与仿真。Ｓｉｍｕｌｉｎｋ的出现给控制系统分析与设计带来了福音。它有两个主要功能Ｓｉｍｕ（仿真）和１ｉ１１ｌ【（连接），即该软件可以利用鼠标在模型窗口绘制出所需要的系统模型，然后利用Ｓｉｍｕｌｉｎｋ提供的功能来对系统进行仿真和分析。

ＭＡＴＬＡＢ下提供的Ｓｉｍｕｌｉｎｋ环境是解决非线性系统建模、分析与仿真的理想工具。Ｓｉｍｕｌｉｎｋ是ＭＡＴＬＡＢ软件的扩展，它是实现系统动态建模和仿真的一个软件包，它与ＭＡＴＬＡＢ语言的主要区别在于，它与用户的交互接口是基于Ｗｉｎｄｏｗｓ的模型化图形输入的，从而使得用户可以把更多的精力投入到系统模型的构建而非语言的编程上。

所谓模型化图形输入是指Ｓｉｍｕｌｉｎｋ提供了一些按功能分类的基本模块，用户只需要知道这些模块的输入、输出及模块的功能，而不必考察模块内部是如何实现的，ｌＯ

第二章ＭＡＴＬＡＢ／ＳＩＭＵＬＩＮＫ简介

通过对这些基本模块的调用，再将它们连接起来就可以构成所需要的系统模型，从而进行仿真与运行。

Ｓｉｍｕｌｉｎｋ提供了各种各样的模块，允许用户用框图的形式搭建起任意复杂的系统，从而对其进行准确的仿真。它提供的模块有一般线性、非线性控制系统所需要的模块，也有更高层次的模块。Ｓｉｍｕｌｉｎｋ提供了很多子模块组，每个子模块组中还包含众多的下一级子模块及模块组。我们常用的模块组有：输入模块组（Ｓｏｕｒｃｅｓ）、输出池模块组（Ｓｉｎｋｓ）、连续系统模块组（Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ）、离散系统模块组（Ｄｉｓｃｒｅｔｅ）、非线性模块组（Ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｉｅｓ）、数学函数模块组（ＭａｔｈＯｐｅｒａｔｉｏｎｓ）、查表模块组（Ｌｏｏｋ－ｕｐＴａｂｌｅｓ）、用户自定义函数模块组（Ｕｓｅｒ－ｄｅｆｔｎｅｄＦｕｎｃｔｉｏｎｓ）、信号模块组

Ａｔｔｒｉｂｕｔｅｓ）等。（ＳｉｇｎａｌＲｏｕｔｉｎｇ）、信号属性模块组（Ｓｉｇｎａｌ

在进行仿真之前，将所需要的功能模块拖曳到Ｓｉｍｕｌｉｎｋ仿真窗口，绘制框图，并确定所需要的参数。它的最终构建是通过先将各种功能块进行连接而构成的，用鼠标可以将功能块的输入和输出端之间直接连线，并可以改变粗细、设定标签、折弯、分支等。

在控制理论研究中，有时经常需要很复杂的算法设计控制器。这些复杂的算法在不适合用普通的Ｓｉｍｕｌｉｎｋ模块进行搭建，这种情况下，Ｓｉｍｕｌｉｎｋ提供了功能强大的对模块库进行扩展的新工具Ｓ—Ｆｕｎｃｔｉｏｎ，它依然是基于Ｓｉｍｕｌｉｎｋ原来的内置控制模块，通过对那些经常使用的模块进行组合并封装而构建出可重复使用的新模块，再用Ｓｉｍｕｌｉｎｋ来实现其仿真。

近十几年来，随着ＭＡＴＬＡＢ语言和Ｓｉｍｕｌｉｎｋ仿真环境在控制系统研究与数学中日益广泛，在系统仿真、自动控制等领域中，都将ＭＡＴＬＡＢ／ＳｉｎｌｌｌｌｉＩｌｌ（语言作为首选的计算机工具。人们也逐渐认识到ＭＡＴＬＡＢ的重要性。ＭＡＴＬＡＢ语言是一种十分有效的工具，能容易地解决在系统仿真及控制系统计算机辅助设计领域中遇到的问题，而且ＭＡＴＬＡＢ拥有强大的运算能力、方便实用的绘图功能及语言的高度集成性，在其他科学与工程领域也有着广阔的应用前景和无穷的潜能。

Ｓｉｍｕｌｉｎｋ是ＭＡＴＬＡＢ下的一种针对各种物理数学系统尤其是自动控制系统进行建模、分析和仿真的环境，它为用户构造动态系统方框图提供了功能完善的图形用户界面，用户不必写任何程序代码就可建立模型并进行仿真，仿真时可以实时观察输出结果，实时修改参数并把结果存入工作区进行必要的处理。

Ｓｉｍｕｌｉｎｋ是ＭＡＴＬＡＢ中的一个用来对动态系统进行建模、仿真和分析的软件包，它为图形用户接口提供动态系统的结构方框图模型。Ｓｉｍｕｌｉｎｋ包含一个庞大的模块库，用户可以通过鼠标点击和拖拉模块既快速又方便地对系统进行建模仿真，而不必编写任何程序代码。它还能在同一屏幕上进行仿真、资料显示和输出波形。Ｓｉｍｕｌｉｎｋ环境是解决非线性系统建模、分析与仿真的理想工具。Ｓｉｍｕｌｉｎｋ是ＭＡＴＬＡＢ

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环境下的模拟工具，其文件类型为．ｍｄｌ，Ｓｉｍｕｌｉｎｋ为用户提供了方便的图形化功能模块，以便连接一个模拟系统，简化设计流程，减轻设计负担。更重要的是，Ｓｉｍｕｌｉｎｋ能够用ＭＡＴＬＡＢ自身的语言或其它语言，根据Ｓ．函数的标准格式，写成定义的功能模块。因此其扩充性很强，同时也能调用．ｄｎ文件类型的应用程序，实现与其集成应用的目的。在倒立摆系统的仿真过程中会用到Ｓｉｍｕｌｉｎｋ的基本操作和用法。

ＭＡＴＬＡＢ功能强大，可方便地进行科学与工程计算，大大减少了计算工作量，并能够与各种程序语言融合编程，大大加快了实际开发的速度。Ｓｉｍｕｌｉｎｋ是一个针对动力学系统建模、仿真和分析的软件包，可以与ＭＡＴＬＡＢ实现无缝结合，能够调用ＭＡＴＬＡＢ强大的函数库。

Ｓｉｍｕｌｉｎｋ是一种图形化工具包，可以处理线性和非线性系统，离散、连续和混合系统，以及单任务和多任务系统，并在同一系统中支持不同的变化速率。其特点如下：

?具有非常高的开放性，提倡将模型通过框图形式表示出来，或者将已有的模

型添加组合到一起，或者将自己创建的模块添加到模型当中。

●具有较高的交互性，允许随意修改模块参数，并且可以直接无缝地使用。对

最后得到的结果可进行分析，能够将结果可视化显示。

?操作简单，提供了非常方便的图形建模方式（ＧＵＩ）和大量的模块，便于用

户快速地建立动态的系统模型，只需用鼠标进行简单地拖动和模块间的连接，就能够建立非常复杂的仿真模型，对模型中的连接数量和规模没有限制。?非常实用，应用领域很广，可使用的领域包括航空航天、电子、力学、数学、

通信和控制等。

利用Ｓｉｍｕｌｉｎｋ工具包可以不受线性系统模型的限制，能够建立更加真实的非线性系统模型，如在系统中考虑摩擦力、空气阻力等。所以可以利用Ｓｉｍｕｌｉｎｋ来搭建倒立摆系统模型，对系统进行仿真分析研究。

２．３Ｓ．函数简介

几乎所有控制系统的高品质控制都首先基于系统仿真研究，一般而言，对控制系统进行计算仿真首先应建立系统模型，然后根据模型编制仿真程序。近年来国外在控制领域推出的仿真工具包括ＳＡＢＥＲ，ＭＡＴＬＡＢ等，但ＭＡＴＬＡＢ在众多仿真工具中是较为常用的，它所提供的Ｓｉｍｕｌｉｎｋ软件包可用来建模、仿真、分析动态系统。但是当被控对象为倒立摆这样严重非线性，多变量的高阶系统时，对于其中的非线性环节的建模，单单利用Ｓｉｍｕｌｉｎｋ中的标准模块来实现会使仿真框图过于庞大交错，所需仿真时间随之增长，仿真精度也会随之下降。特别地，当某些参数发生变动时，可能要修改整个模型结构图，不利于维护。而我们知道Ｓｉｍｕｌｉｎｋ运作的核１２

第－二章ＭＡＴＬＡＢ／ＳＩＭＵＬＩＮＫ简介

心是Ｓ．函数，实际上，Ｓｉｍｕｌｉｎｋ中许多模块所包含的算法均是用Ｓ．函数写的。在Ｓｉｍｕｌｉｎｋ中应用Ｓ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ，将模型和编程有机地结合，充分发挥了各自的优势，有效地避免了对倒立摆状态方程的求解与转化，结合了Ｓｉｍｕｌｉｎｋ框图简洁明快的特点和编程灵活方便的优点，所得模型简单，易于参数修改，为仿真提供了较为精确的依据。

Ｓ一函数是系统函数（ＳｙｓｔｅｍＦｕｎｃｔｉｏｎ）的简称，是指采用非图形化的方式（即计算机语言，区别于Ｓｉｍｕｌｉｎｋ的系统模块）描述的一个功能块。用户采用允许的语言，按照一定的规则编写Ｓ．函数，就可以使模块实现对连续系统、离散系统以及复合系统等动态系统的描述。?在ＭＡＴＬＡＢ的Ｓｉｍｕｌｉｎｋ模块库中有Ｓ．Ｆｕｎｃｔｉｏｎ模块，用户可以通过Ｓ．Ｆｕｎｃｔｉｏｎ模块来调用ｓ．函数，Ｓ．函数是对一个动态系统的程序描述，它支持ＭＡＴＬＡＢ、Ｃ、Ｃ＋＋、ＦＯＲＴＲＡＮ，等语言，并允许用户把自己编写的算法嵌入到自己的仿真模型中，并使用一套特殊的调用语法，使得Ｓ．函数同其它内置模块一样能够将其特有的算法与Ｓｉｍｕｌｉｎｋ的仿真算法一起交互计算。为了让Ｓｉｍｕｌｉｎｋ认识Ｍ文件形式的Ｓ．函数，必须为其非线性系统观测器设计及其在倒立摆控制中的应用研究提供有关Ｓ．函数的一些信息，如输入向量（ｕ）、输出向量（ｙ）、状态向量（ｘ）以及其它的模块特征。

Ｓ．函数具有一套固定的调用变量规则的Ｍ文件，在这类Ｍ文件中第一行程序语句如下：

ｆｕｎｃｔｉｏｎ［ｓｙｓ，ｘ０，ｓｔｒ，ｔｓ］＝ｓｆｕｎｃ．＿＿ｎａｍｅ（ｔ，Ｘ，ｕ，ｆｌａｇ）

Ｓｉｍｕｌｉｎｋ传递给Ｓ．函数的４个输入参数是变量ｔ，Ｘ，Ｕ和ｆｌａｇ，其中ｔ为仿真时间，ｘ为状态变量（必需提供），Ｕ为输入向量，ｆｌａｇ为ｓ．函数的行为标志参数，Ｓ．函数Ｍ文件在运行过程中要检验输入过程中要检验输入变量ｆｌａｇ的值，因为ｆｌａｇ标志控制Ｓｉｍｕｌｉｎｋ在每个仿真阶段应该调用的ｓ．函数子程序。表２．１列出了在各个仿真阶段，ｆｌａｇ标志值和相应的Ｓ．函数子程序。

表２．１Ｓ－函数子程序

仿真阶段

初始化

计算下一采样点

计算输出

刷新离散状态

计算微分状态

仿真结束Ｓ．Ｆｕｎｃｔｉｏｎ例程ｍｍＩＩｌｉｔｉａｌｉｚｅＳｉｚｅｓｆｌａｇｆｌａｇ＝Ｏｆｌａｇ－－４ｆｌａｇ＝３ｆｌａｇ＝２ｆｌａｇ＝ｌｆｌａｇ＝９ｍｍＧｅＩＴｉｍｅＯｆＮｅｘｔＶａｒＨｉｔｍｄｌＯｕｔｐｕｔｓｍｄｌＵｐｄａｔｅｍｄｌＤｅｒｉｖａｔｉｖｅｓｍｄｌＴｅｒｍｉｎａｔｅ

Ｓｉｍｕｌｉｎｋ要求Ｓ－函数的输出参数ｓｙｓ，ｘ０，ｓｔｒ，ｔｓ按指定的顺序给出，其中ｓｙｓ是一个一般输出参数，返回值取决于ｆｌａｇ标志值，例如，当ｆｌａｇ＝３时，ｓｙｓ包含Ｓ－函

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数的输出值，ｘｏ为初始状态值，ｓ仃对于Ｍ文件Ｓ．函数为一个空矩阵，ｔｓ为一个２列矩阵，这２列分别为与模块相关联的采样时间及其偏移量。在对倒立摆系统建模时，在初始化阶段，Ｓ．函数必须提供一些初始化信息给Ｓｉｍｕｌｉｎｋ，这些信息包括输入、输出和状态的个数及模块的其它部分属性，所有这些信息被封装在一个Ｓｉｚｅｓ结构里，并由Ｓ．函数子程序ｍｄｌｌｎｉｔｉａｌｉｚｅＳｉｚｅｓ里的Ｓ．函数返回，如表２．２所示。

表２．２ｓｉｚｅｓ结构的变量及其功能描述

变量名称

ｓｉ’ｚｅｓ．ＮｕｍＣｏｎｔＳｔａｔｅｓ

ｓｉ‘ｚｅｓ．ＮｕｍＤｉｓｃＳｔａｔｅｓ

ｓｉｚｅｓ．ＮｕｍＯｕｔｐｕｔｓ

ｓＩ。ＺｅＳ．Ｎｕｍｌｎｐｕｔｓ描述连续状态的维数离散状态的维数输出向量的维数输入向量的维数

直接馈出标志

采样时间的数目ｓｉｚｅｓ．ＮｕｍＤｉｒＦｅｅｄｔｈｒｏｕｇｈｓｉｚｅｓ．ＮｕｍＳａｍｐｌｅＴｉｍｅｓ

２．４ＧＵＩ简介

经典的用户界面定义为用户与计算机之间的交互通信联系的平台。但在最近几年内，这种概念发生了巨大的变化，出现了多种形式的人机交互方式，从命令的交互方式转变到以图形用户界面为主的交互方式。现在，图形界面已经在人机交互方式中占主导地位，这主要是由于它给用户带来了操作和控制的方便与灵活性。图形用户界面（ＧｒａｐｈｉｃａｌＵｓｅｒＩｎｔｅｒｆａｃｅｓ，ＧＵＩ）是由窗口、光标、按键、菜单、文字说明等对象（Ｏｂｊｅｃｔｓ）构成的一个用户界面。用户通过一定的方法（如鼠标或键盘）选择、激活这些图形对象，使计算机产生某种动作或变化，比如实现计算、绘图等。ＭＡＴＬＡＢ也提供了在ＭＡＴＬＡＢ应用程序中加入ＧＵＩ的功能。ＭＡＴＬＡＢ中为表现其基本功能而设计的演示程序ｄｅｍｏ是使用图形界面的最好范例。ＭＡＴＬＡＢ的用户，在指令窗口运行ｄｅｍｏ打开图形界面后，只要用鼠标进行选择和点击，就可浏览丰富多彩的内容。

２．５本章小结

本章主要介绍了ＭＡＴＬＡＢ的相关知识。首先介绍了Ｓｉｍｕｌｉｎｋ仿真环境、Ｓ．函数以及ＧＵＩ动画界面等知识，这为后面直线倒立摆系统的仿真提供了基础。１４

第三章小车倒：谚摆系统数学模型

第三章小车倒立摆系统数学模型

为一个系统选择一个合适的数学模型是控制工程中非常重要的工作。当系统不完全清楚时，建立数学模型是特别困难的。一个复杂的系统可以在十分简单的模型上用反馈控制得到成功。控制工程中的模型问题与物理学中的模型问题是完全不同的。在控制理论中，问题的关键是寻找一个健壮的、数学上精炼的数学模型，它在有效数据基础上可以用系统辨识方法求得。应当认识到，在控制系统设计中如果无法找到简单的数学模型，控制理论就不能得到成功的运用。

系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入．输出关系。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入．输出关系。这里面包括输入信号的设计选取、输出信号的精确检测以及数学算法的研究等内容。

对于倒立摆系统，由于其本身是不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过分析忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用牛顿力学方法建立倒立摆的动力学方程。

３．１微分方程推导与传递函数

在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图３．１所示。

图３．１倒立摆系统示意图假设如下：

Ｍ小车质量

ｍ摆杆质量

１５

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ｂ小车摩擦系数

，摆杆转动轴心到杆质心的长度

，

Ｆ

ｘ摆杆惯量加在小车上的力小车位置

伊摆杆与垂直向上方向的夹角

取Ｎ和Ｐ作为小车与摆相互作用力的水平和垂直方向的分量（假定摆的初始是摆杆偏离垂直向上的角度不太大）。Ｎ的方向水平向右，Ｐ的方向竖直向上。

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

＾行＝Ｆ一掀一Ｎ

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

Ｎ＝ｍ嘉（ｘ－ｌｓｉｎ９）

即：Ｎ＝ｍＸ—ｍ，≯Ｃ０ｓ缈＋ｍＺ痧２ｓｉｎ９

把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：

（Ｍ＋研）戈＋酝一朋，矽ｃｏｓ缈＋ｍｌ岳０２

以得到下面方程：

’ｓｉｎｆｏ＝Ｆ３一（１）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可Ｐ—ｍｇ＋所等（１ｃｏｓ９ａｔ

一）＝ｏ

即：Ｐ－ｍｇ＝ｍ，≯ｓｉｎ缈＋ｍ，痧２ｃｏｓ９

力矩平衡方程如下：’

ＰＩｓｉｎ●ｏ＋Ｎｌｃｏｓ伊＝Ｉ爷

合并这两个方程，约去Ｐ和Ｎ，得到第二个运动方程：

（Ｉ＋ｍ１２）（移－ｍｇｌｓｉｎ９＝ｍｌＹｉｅｏｓｑａ３－（２）

假设矽与１（单位是弧度）相比很小，即伊《ｌ，则可以进行近似处理：ｃｏｓｇ＝ｌ，ｓｉｎ血ｐ＝，（譬）２＝０。用ｕ来代表被控对象的输入力Ｆ，线性化后的两个运动方程如下：

ｊ（，＋ｍ１２）≯－删驴２舢

Ｉ（肘＋ｍ）戈＋ｂＹｃ一，，ｌ，痧＝Ｕ

对方程组３．（３）进行拉普拉斯变换，得到：３－（３）

』（，＋，卵，２）①（Ｊ）ｓ２一ｍｇｌＯ（ｓ）＝ｍｉＸ（ｓ）ｓ２

ｌ（Ｍ＋ｍ）Ｘ（ｓ）ｓ２＋ｂＸ（ｓ）ｓ—ｍｌＯ（ｓ）ｓ２＝ｕ（ｓ）３．（４）

第三章小车倒征摆系统数学模型

（注：推导假设初始条件为Ｏ）。

由于输出为角度缈，求解方程组３．（４）的第一个方程，可以得到：ｘ（ｓ）：［攀一了ｇ】①（Ｊ）ｍｔＳ

把上式代入方程组３．（４）的第二个方程，得到：（Ｍ＋ｍ）【攀一墨】①（ｓｐ２＋所攀＋导】①（ｓ砖一，，ｌ细。弦ｚ：ｕ（ｓ）ｍｌｓｍｔｓ

整理后得到传递函数：

型Ｊ：

①（ｓ）ｇ

（，（Ｊ）ｓ４＋—ｂ（Ｉ＋—ｍ１２）ｓ３一—（Ｍ＋ｍ—）ｍｇｌｓ２一——Ｓｂｍｇｌ

ｇｇｇ

其中

ｑ＝［似＋ｍ）（Ｊ＋ｍ１２）一（ｍ１）２】

３．２状态空间方程

系统的状态空间方程为：

文：Ａｘ＋Ｂｕ

Ｙ＝ＣＸ＋Ｄｕ

方程组３一（３）对戈，矽解代数方程，得到解如下：

舅：——二』三±堡ｊ＋————！！二‰缈＋———』三二！墼“ｊ＝ｊ

石＝———』—————?——＝＿工十——————＿＝—————●矽十———‘—————‘——＝“

Ｉ（Ｍ＋ｍ）＋Ｍｍｌ２Ｉ（Ｍ＋脚）＋Ｍｍｌ２’Ｉ（Ｍ＋，矩）＋Ｍｍｌ２

缈＝伊

够＝—————————＿Ｘ＋———二』————二—■９十矽：‘ｊ（Ｍ＋，竹）＋Ｍｍｌ２二竺丝一：．戈卜．型丝±堕；９＋Ｉ（Ｍ＋历）＋Ｍｍｌ２。

整理后得到系统状态空间方程：

一翼巡唑．０ＵｌＵＵ

１（朋＋Ｍ）＋Ｍｍｌ‘０一竺丝一；Ｉ（Ｍ＋，，ｚ）＋Ｍｍｌ‘面一＋赢

００Ｏ１

一竺：丝一ｊ００．二坐竺塑：｝面，一＋。旦小。型咖：赢

１７

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Ｉ－ｏ

Ｙ＝Ｉ００１０ｏｌ＋ｌＩ－ｏｌｌＵ３．（５）

ＩＬｌ０ＩＪＬｏＪ

３．３系统模型定性分析

在得到系统的数学模型之后，为了进一步了解系统性质，需要对系统的特性进行分析，最主要的是对系统的稳定性、可控性以及可观性的分析。

摆杆竖直向上是直线倒立摆系统的不稳定平衡点，需要设计控制器来镇定系统。既然需要设计控制器镇定系统，那么就要考虑系统是否可控。我们所关心的是系统在平衡点附近的性质，因而可以采用线性化模型来分析。

系统的稳定性分析一般可以应用李雅普诺夫稳定性判据。对于系统在平衡点邻域的稳定性可以根据系统的线性模型进行分析。在对时不变系统进行定性分析时，一般要用到线性控制理论中的稳定性、可控性和可观性判据。

３．３．１稳定性、可控性和可观性判据

１．系统的稳定性定义及判据

若控制系统在初始条件下和扰动作用下，其瞬态响应随时间的推移而逐渐衰减并趋于原点（原平衡工作点），则称该系统是稳定的。反之，如果控制系统受到扰动作用后，其瞬态响应随时间的推移而发散，输出呈持续振荡过程，或者输出无限制地偏离平衡状态，则称该系统是不稳定的。

李雅普诺夫稳定性判据：以阶线性时不变连续系统戈＝出＋Ｂｕ的平衡状态ｔ＝０渐近稳定的充要条件是矩阵么的所有特征值均具有负实部。

这是李雅普诺夫第一法，又称间接法，它的基本思路是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。李雅普诺夫第二法的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性作出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达到最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的。反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态是不稳定的。如果一个系统的储能既不增加，也不消耗，那么这个平衡状态是李雅普诺夫意义下的稳定。

２．系统的可控性定义及判据

线性连续定常系统ｊ＝血４－Ｂｕ如果存在一个分段连续的输入材（ｆ），能在有限的时间区间［％，ｆｒ】内，使系统由某一初始状态ｚ（气），转移到指定的任意终端状态ｚ（ｆ，），

第三章小车倒沈摆系统数学模型

则称此状态是可控的。若系统的所有状态都是可控的，则称此系统是状态完全可控的，或简称系统是可控的。

考虑线性定常系统的状态方程

ｊ＝Ａｘ＋艿比，ｘ（Ｏ）＝ｘｏ，ｔ≥０

其中，ｘ是状态向量，Ｕ是输入向量，彳，召都是常数阵。可以根据矩阵彳和召确定系统的可控性。

线性定常系统对于Ｖ，。∈［０，ｏｏ）完全可控的充要条件是下列命题中任何一个成立：

（１）矩阵ｅ枷Ｂ的行在【０，ｏＯ）上线性独立。．

（２）对于任何ｂ，ｔｏ≥０和ｔｌ＞ｔｏ，如下定义的格兰姆矩阵非奇异：

Ｖ／。（ｔｏ，ｔ１）＝ｅ‘Ｐ一（ｆｏ—ｆ）ＢＢｒｅＡｒｆｔ，－ｏｄｆ

（３）ｒａｎｋ（Ｂ，ＡＢ，…，Ａ扩１曰）＝疗。

（４）矩阵（豇一么）－１曰的行线性独立。

３．系统的可观性定义及判据

如果对于任意给定的输Ｘｕ，在有限观测时间ｔ，－＞ｔｏ，使得根据［岛，ｆ，】期间的输出ｙ（ｆ）能唯一地确定系统在初始时刻的状态Ｘ（ｔｏ），则称状态Ｘ（ｔｏ）是可观的。若系统的每一个状态都是可观的，则称系统是状态完全可观的，或简称系统是可观的。

线性定常系统可观性判别：

考虑线性定常系统嚣‰地ｈ贮。

其中，石是状态向量，），是输出向量，Ａ，Ｃ都是常数阵。可以根据矩阵Ａ和Ｃ确定系统的可观性。

线性定常系统对于Ｖｔ。∈【０，００）完全可观的充要条件是下列命题中任何一个成立：

（１）矩阵Ｑ础的列在［０，ｏＯ）上线性独立。

（２）对于任何ｔｏ，ｔｏ≥０和ｔｌ＞ｔｏ，如下定义的格兰姆矩阵非奇异：

Ｗｏ（ｔｏ，ｔＩ）＝（’Ｐ＿７（ｆ—ｆＩ，’ｃｒｅＡ＿【ｒ－ｔｏ）ｄｆ

（３）ｒａｎｋ（Ｃｒ，Ａ７’Ｃ７’，．．．，（么川）７’Ｃ７’）ｒ＝刀。

（４）矩阵ｃ（ｓｚ一彳）。１的列线性独立。１９

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３．３．２基于状态方程的系统定性分析

摆杆竖直向上是直线倒立摆系统的不稳定平衡点，需要设计控制器来镇定系统。既然需要设计控制器镇定系统，那么就要考虑系统是否可控。我们所关心的是系统在平衡点附近的性质，因而可以采用线性化模型来分析【２ｌ】。

直线一级倒立摆系统的特征方程为ｄｅｔ｛舡一Ａｌ＝０，经过计算得到系统的特征根为：『０６．２７６８－６．２８３４—０．０９０９１。系统有一个极点在右半平面上，因此直线一级倒立摆系统是不稳定的。

对直线一级倒立摆系统线性状态方程，根据可控性和可观性判据得到：

ｒａｎｋ『ＢＬＡＢ

ＣＡＡ２ＢＣＡ２Ａ３ＢＣＡ３Ｊｌ＿４ｒａｎｋ［Ｃ‘ＪＩＪ＝４

所以直线一级倒立摆系统是可控的和可观测的。

倒立摆系统的定性分析可以通过ＭＡＴＬＡＢ程序来实现，主程序如下【４３】：

Ａ芦【Ｏ

３９．４３９

０

０．７１７０７１０００Ｏ００００；－０．３６５８５；１；－０．０９７５６］；

１３＝［０；３．６５８５；０；０．９７５６１］；

Ｃ＝ｅｙｅ（４）；

Ｄ＝ｚｅｒｏｓ（４，１）；

［ｎｕｍ，ｄｅｎ］＝ｓｓ２ｔｆ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）；

ｐ－－ｒｏｏｔｓ（ｄｅｎ）

Ｐｐａｎｗｅｎ；％求系统特征根％判断系统稳定性ｍ文件．

ｓｔｒ－－ｃｏｎｔｒｏｌｓ（Ａ，Ｂ）

ｓｔｒｌ＝ｏｂｓｅｒｖｅｓ（Ａ，Ｃ）

其中，判断系统的稳定性子程序：

Ｐｐａｎｗｅｎ．ｍ％由特征根Ｐ判断系统稳定性程序

ｎ＝ｓｉｚｅ（ｐ）；ｎｌ＝ｎ（１）％特征根个数

ｆｌａｇｌ＝０；ｆｌａ９２＝０；

ｆｏｒｉ＝ｌ：ｎｌ

ｖａｒｌ＝ｐ（ｉ，１）；ｖａｒ２－－ｒｅａｌ（ｐ（ｉ，１））；

ｉｆｒｅａｌ（ｐ（ｉ，１））＞Ｏ

ｆｌａｇｌ＝ｆｌａｇｌ＋ｌ；％特征根实部＞Ｏ，系统不稳定

ｅｌｓｅｉｆａｂｓ（ｒｅａｌ（ｐ（ｉ，１））一０）＜ｅｐｓ

ｆｌａ９２＝ｆｌａ９２＋ｌ；％特征根实部＝０，系统临界稳定２０

第三章小车倒莎摆系统数学模型

ｅｎｄ

ｅｎｄ

ｉｆｆｌａｇｌ＞０

ｅｌｓｅｉｆｆｌａ９２＞０

ｅｌｓｅｄｉｓｐ（’系统不稳定’）ｄｉｓｐ（’系统临界稳定’）ｄｉｓｐ（’系统稳定’）

ｅｎｄ

判断系统可控性子程序：

ｃｏｎｔｒｏｌｓ．ｍ：

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓｔｒ＝ｃｏｎｔｒｏｌｓ（Ａ，Ｂ）．

Ｓ＝ｃｔｒｂ（Ａ，Ｂ）

ｒｌ－－ｒａｎｋ（Ｓ）；

ｌｌ＝ｌｃｎｇｔｈ（Ａ）；％系统的可控性矩阵％求秩

ｉｆｒｌ—ｌｌ

ｓｔｒ＝－系统是完全可控的’；

ｅｌｓｅ

ｓｔｒ＝?系统是不完全可控的’；

ｅｎｄ

判断系统可观性子程序：

ｏｂｓｅｒｖｅｓ．ｍ如下：

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓｔｒｌ＝ｏｂｓｅｒｖｅｓ（Ａ，Ｏ

％系统可观性矩阵

％求秩Ｖ＝ｏｂｓｖ（Ａ，Ｃ）ｒ＝ｒａｒｌｋ００；

ｌ＝ｓｉｚｅ（Ａ，１）；

ｉｆｒ＝－ｌ

ｓｔｒｌ＝＇系统是完全可观的’；

ｅｌｓｅ

ｓｔｒｌ＝?系统是不完全可观的’；

ｅｎｄ

运行上述程序可得，系统的特征根为【ｏ６．２７６８－６．２８３４—０．０９０９】，有一个根在右半平面，系统是不稳定的；可控性矩阵和可观性矩阵的秩均为４，所以系统是完全可控、完全可观的。

３．４本章小结

本章首先用牛顿力学方法建立了直线一级倒立摆的非线性数学模型，并在平衡点附近进行线性化，得到系统的状态方程。为了进一步了解倒立摆系统的特性，给出了李雅普诺夫稳定性定理和进行可控性、可观性分析的判据，并基于倒立摆系统２１

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的状态方程，用ＭＡＴＬＡＢ软件对系统进行定性分析。通过分析，我们得知，倒立摆系统是不稳定的、可控、可观的系统，必须设计相应的控制器使得系统的特征根全部位于左半平面，形成稳定系统。

第四章最优控制’ｊ模糊挣制

第四章最优控制与模糊控制

４．１ＬＱＲ最优调节器原理

考虑系统的状态方程为

ｘ（ｆ）＝么工（ｆ）＋Ｂｕ（ｔ）禾（１）

ｙ（ｆ）＝ｃｘ（ｔ）＋Ｄｕ（ｔ）４－（２）

寻找状态反馈控制律ｕ（ｔ）＝一Ｋｘ（ｔ）使得如下性能指标最小化

／＝吾ｒＰ（ｆ）跏∽＋ＵＩ∽Ｒｕ∽】出＋吾ｘｒ（ｔｙ）Ｍｘ（ｔ１）４－（３）

其中Ｑ，Ｍ是半正定矩阵，尺是正定矩阵，Ｑ，Ｒ分别是对状态变量和输入向量的加权矩阵，石（ｆ）是ｎ维状态变量，“（ｆ）是ｍ维输入变量，终端时间ｔ，固定，终端状态石（ｆ，）自由。要使性能函数／最小，则可首先构造一个Ｈａｍｉｌｔｏｎ函数

Ｈ＝一去［ｚｒ（ｆ）！弘（ｆ）＋ＵＴ（ｆ）尺甜ｏ）】＋五ｒ（ｆ）【厶ｏ）＋Ｂ“ｏ）】４－（４）

当输入信号不受约束时，则可对Ｈａｍｉｌｔｏｎ函数进行求导并令其值为０，求最小值

＿ＯＨ－＂ｍＲ“（ｆ）＋Ｂｒ兄（ｆ）：０４－（５）

从而得到最优控制信号

“‘（ｆ）＝Ｒ叫Ｂ７’旯（ｆ）４．（６）

旯（ｆ）可由下式求出

２（ｔ）＝一尸Ｏ）ｘＯ）４－（７）

Ｐ（ｆ）可由Ｒｉｃｃａｔｉ方程求出

Ｐ（ｆ）＝一Ｐ（ｔ）Ａ－Ａｒ尸Ｏ）＋Ｐ（ｔ）ＢＲ一１Ｂ７’尸Ｏ）一Ｑ４．（８）

当ｆ，专００时，Ｐ（ｆ）趋近于一个常值矩阵，且Ｐ（ｆ）＝０，因此，上式给出的

一例一彳ｒＰ＋ＰＢＲ一‘Ｂｒ尸一ｐ＝０４－（９）

上式给出的Ｒｉｃｃａｔｉ代数方程很适合于用ＭＡＴＬＡＢ来处理。ＭＡＴＬＡＢ提供了专门的函数来求它。

ＬＱＲ的实现

假设全状态反馈可以实现（四个状态量都可测），则需要确定反馈控制规律Ｒｉｃｃａｔｉ方程就简化为４．２中的向量Ｋ。在计算时运用ＭＡＴＬＡＢ中的ＬＱＲ命令函数，可以得到最优控制器对应的Ｋ值，即Ｋ＝ＬＱＲ（Ａ，Ｂ，Ｏ，Ｒ）。多输入系统的ｕ（ｔ）是一向量，因此性能

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指标，＝去ｎ，（ｆ）甄（ｆ）＋ｕｒ（ｔ）Ｒｕ（ｔ）］ｄｔ可以理解为状态衰减速度与控制过程所消Ｚ”

耗的能量之间的一种折衷。ＬＱＲ函数需要选择两个参数——尺和Ｑ，Ｑ阵各元素的大小表示相应状态分量在性能指标中所占的比重，因此，Ｑ阵称为状态加权阵。Ｑ阵的不同选择，会导致系统品质的明显差异。可以通过改变Ｑ矩阵中的非零元素来调节控制器以得到期望的响应。因此在选择时要注意其数值的大小。Ｋ确定后，即可实现由全部状态变量构成的最优线性反馈。

ＬＱＲ是ＭＡＴＬＡＢ用来求解Ｒｉｃｃａｔｉ方程和最优反馈矩阵从而实现线性二次型系统最优控制的一条指令函数。所谓最优控制理论主要是依据庞德里亚金的极小值原理，通过对性能的优化寻找可以使目标极小的控制器。其中线性二次型性能指标因为可以通过求解Ｒｉｅｅａｔｉ方程得到控制器参数。

倒立摆系统虽然是一个非线性的系统，但是它可以转化成为一个线性二次型系统。而对于其反馈系数的确定，可以采用ＬＱＲ线性二次型状态反馈调节器设计这一指令函数来获得。

命令格式为：［Ｋ，只Ｅ】＝Ｌ鲫（彳，Ｂ，Ｑ，Ｒ）

式中，Ａ，刀×ｎ维系统矩阵；Ｂ，ｌｌｘｒ维控制（或输入）矩阵；

Ｑｒ＝Ｑ，ｎ×ｒｔ维半正定的状态加权矩阵；

Ｒｒ＝Ｒ，ｒｘｒ维正定的控制加权矩阵；

Ｋ为最优反馈阵，Ｐ为Ｒｉｃｃａｔｉ方程的解，Ｅ为闭环特征值。

４．３Ｂａｎｇ．Ｂａｎｇ控制设计

Ｂａｎｇ．Ｂａｎｇ控制是应用极小值原理求解时间最优的一种简化控制方法。假设一个可控的线性定常系统的状态方程为：

ｘ（ｆ）＝Ａｘ（ｔ）＋ＢＯ），ｘ（Ｏ）＝Ｘｏ，ｘ（９）＝０

其中，ｔ，待求。为建立时间最优控制，建立性能指标为：４－（１０）

．Ｊ：ｌ’ｄｔ山４－（１１）

为确保控制量不会太大以免工程无法实现，可以对控制量进行约束，取控制约束为：

Ｉ甜（ｆ）峰ｌ４－（１２）

此问题变成了约束最优化问题，即寻求最优控制“‘（ｆ）使系统以最短时间从初态而转移到终态平衡点ｘ（ｆ，）＝０。

对以上问题建立哈密尔顿函数：

Ｈ［ｘ，”，Ａ】＝１＋２１［Ａｘ＋Ｂｕ】＝ｌ＋ｘｒＡｌ五＋“７’Ｂ７’见４．（１３）

为使Ｈ全局最小，应用极小值原理可得最优控制为２４

第四章最优控制１ｊ模糊控制

“‘（ｆ）＝一ｓ辔嚣［召７旯（ｆ）】４一（１４）

由此可见，Ｂａｎｇ－Ｂａｎｇ控制要求控制矢量各个分量都取控制量的边界值，而且不断从一个边界值切换到另一个边界值，从而构成一种最强的控制作用，称为开关控制，也是一种时间最优控制。

４．４模糊控制理论

在传统的控制领域里，控制系统动态模型的精确与否是影响控制优劣的关键因素，系统的动态信息越详细，则越能达到精确控制的目的。然而，对于复杂的系统，由于变量太多，往往难以精确地描述系统的动态模型，于是工程师们便利用各种方法来简化系统动态模型，以达到控制的目的，但效果不尽理想。换而言之，传统的控制理论对于明确的系统有强而有力的控制能力，但对于过于复杂或难以精确描述的系统，则显得无能为力了。

模糊控制是以模糊集合论、模糊语言变量及模糊逻辑推理为基础的新兴的一种计算机数字控制手段，它吸取了人的思维具有模糊性的特点，是模糊系统理论和模糊技术与自动控制技术相结合的产物。从控制器的智能性看，模糊控制属于智能控制的范畴，而且它已经成为目前实现智能控制的一种重要而又有效的形式。从广义上讲，模糊逻辑控制指的是应用模糊集合理论统筹考虑系统的一种控制方式。模糊控制不需要精确的数学模型，是解决不确定性系统控制的一条有效途径。自从这门科学诞生以来，它产生了许多探索性甚至是突破性的研究与应用成果，同时，这一方法也逐步成为了人们思考问题的重要方法论。

将模糊集合理论应用于自动控制而形成的模糊控制理论，在近年来得到了突飞猛进的发展，究其原因在于对那些时变的非线性的复杂系统，当人们无法获得其精确的数学模型的时候，利用具有智能的模糊控制器却能给出有效的控制。模糊控制理论的提出是控制思想的一次深刻的变革，它标志着人工智能发展到了一个新的阶段。

模糊控制是以模糊集合论作为它的数学基础的，它的诞生是以Ｌ．Ａ．ｚａｄａ于１９６５年提出模糊集理论为基础的，模糊控制是模糊集合理论应用的一个重要方面。１９７４年英国的Ｅ．Ｈ．Ｍａｎｄａｎｉ教授首次将模糊集合论应用于加热器的控制，运用模糊推理实现了世界上第一个实验性的蒸汽机控制，并取得了比传统直接数字控制算法更为有效的效果。他的成功标志着人们采用模糊控制进行工业控制的开始，从而宣告了模糊控制的问世，从那以后模糊控制的研究和应用一直十分活跃。模糊控制经历了３０多年的研究和发展已经逐步完善，尤其是应用领域更是成果辉煌，并扩展到其他领域。与传统控制器设计方法不同的是模糊控制器是依赖设计者的经验，具有相当的主观性，可以说没有一种控制方法是最优的，每一种控制规则都有其优缺点。模糊控制作为智能领域中最具有实际意义的一种控制方法，已经在工业控制领域，家用电器自动化领域和其他很多行业中解决了传统

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控制方法无法或者是难以解决的问题，取得了令人瞩目的成效。

模糊控制是建立在人工经验基础之上的，对于熟练的操作人员，他们并不需要了解被控对象的数学模型，而是凭其丰富的实践经验，采取适当的政策来巧妙地控制一个复杂的过程。若能把这些实践经验加以总结和描述，并用语言表达出来，它就是一种定型的、不精确的控制规则。如果用模糊数学将其定量化就转化为模糊控制算法，从而形成模糊控制理论。模糊控制在最近短短十多年来发展如此迅速主要归结于模糊控制器的一些明显的特点：

所谓的控制系统，指的是两个以上彼此联系又相互作用的对象所构成的具有某种功能的集体，而模糊系统是由那些模糊现象引起的不确定性系统。也就是说一个模糊系统的状态或输入、输出具有模糊性。一般来说，模糊系统也是复杂过程的一种近似表示方式，该过程本身不一定是模糊的。模糊系统组成核心是具有智能型的模糊控制器。模糊逻辑控制系统的基本结构如图４．１所示。

图４．１模糊逻辑控制系统的基本结构

从图４．１中可以看出，模糊控制系统的主要部件是模糊化过程、知识库（含数据库和规则库）、推理决策和精确化计算。模糊化是将输入的精确量转换成模糊化量，知识库包含了具体应用领域中的知识和要求的控制目标，模糊推理是模糊控制器的核心，它具有模拟人的基本模糊概念的推理能力，清晰化是将模糊推理得到的控制量（模糊量）变换为实际用于控制的清晰量。很显然，模糊控制系统在结构上与传统的控制系统没有太大差别。主要不同之处在于其控制采用了模糊控制器。由于模糊控制器是采用数字计算机来实现的，所以它具备以下三个重要的功能：

ｌ、把系统的偏差从数字量转化为模糊量（模糊化过程、数据库两块完成）；２、对模糊量由给定的规则进行推理（规则库、推理决策来完成）；

３、把推理结果的模糊输出量转化为实际都能接受的精确的数字量或模拟量（精确化接口）。

因此，模糊控制器的设计问题就转化为模糊化过程、知识库（含数据库和规则库）、推理决策和精确化计算四部分的设计问题。

第州苹最优控制一，模糊控制

４．５用模糊逻辑工具箱建立系统

ＭＡＴＬＡＢ模糊逻辑丁具箱是数字计算机环境卜的函数集合体，可以利用它所提供的工具在ＭＡＴＬＡＢ框架下啦计、建立以及测试模糊推理系统，结合Ｓｉｍｕｌｉｎｋ，还可以对模糊系统进行模拟仿真，也町以编写独立的语言程序束调用ＭＡＴＬＡＢ中所设计的模糊系统。对丁一些简单的应用，ＭＡＴＬＡＢ模糊逻辑工具箱提供了图彤用户界面（ＧＵＩ）帮助使用者方便、快速地完成上作。当然，这些工作也可以通过命令语句或程序米完成。但是，相比而言，使用图形化方法建立一个系统更容易。

幽４２基本Ｇｕｌ工具以及与模糊推理的关系图

在模糊逻辑工具箱巾有＾个基本工具箱ＧＵＩ工具箱用十建立、编辑和观察模糊推理系统（ｆｕｚｚｙｉｎｔ＇ｅｒｅｎｃｅｓｙｓｔｅｒｎ，ＦＩＳ）。这个ＧＵｌ工ｎ中包含二个编辑器：模糊推理系统（或ＦＩＳ）编辑器、隶属度函数编辑器：蹦个观察器Ⅱｐ规则编辑舰Ⅲ日观察器和曲面观察器。这些图形化［具之『月Ｊ是动态链接的，使川它们ｒ｛啪任意一个对ＦＩＳ的修改都将改变任何其它已打丌的ＧＵＩ?¨由显示纬粜，返极大的方便了刷广对白■的模糊推理系统进行调试。＾个基小ＧＵＩＪ其以及与模糊推理系统之『日Ｊ的关系如图４．２所示。

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图４．２中，ＦＩＳ编辑器（ＦＩＳＥｄｉｔｏｒ）为系统处理高层属性：它确定有多少输入输出变量以及它们的名字，另外，它还可以确定模糊规则中各连接词所采用的算法，显示有关模糊推理系统的一般信息。但是，输入变量的数量受到所用计算机可用内存的限制。隶属度函数编辑器（ＭｅｍｂｅｒｓｈｉｐＦｕｎｃｔｉｏｎＥｄｉｔｏｒ）用于定义对应每个变量的隶属度函数的形状，它与ＦＩＳ编辑共享某些特征。规则观察器（ＲｕｌｅＶｉｅｗｅｒ）和曲面观察器（ＳｕｒｆａｃｅＶｉｅｗｅｒ）是不同于编辑器的用于查看ＦＩＳ的工具，它们是严格的只读工具。规则观察器是一个基于ＭＡＴＬＡＢ的用于显示模糊推理方框图的工具，它可以用作一个诊断工具，可以显示哪一条规则正在使用，或者单独的隶属函数的形状是如何影响结果的。曲面观察器用于显示一个输出与一个或两个输入之间的依赖情况，即它为系统生成和绘制输出曲面映射。

五个基本ＧＵＩ可以相互作用并交换信息。对于任何的模糊推理系统，这五个ＧＵＩ工具中的任何一个或全部是开放的，对于一个单独的系统，只要有一个以上的编辑器是打开的，则各ＧＵＩ窗口都会知道其它窗口的存在，并且如果有必要，它还能更新相关的ＧＵＩ窗口。

第五章基于最优控制的倒立摆摆起．‘ｊ稳定控制

第五章基于最优控制的倒立摆摆起与稳定控制

５．１自摆起控制设计

自摆起过程是倒立摆从一个稳定的平衡状态在程序外力的作用下自动转移到另一个平衡状态。在这个过程中，要求摆起迅速，但又不能过于超调，因此，可以采用Ｂａｎｇ－Ｂａｎｇ控制（开关控制）的方法来实现。

倒立摆摆起时，设ｅ＝万一０为摆角偏差，则有当ｅ≥０并且毒≥０时和ｅ＜０并且垂≤０时，取Ｕ＝毛∥，当ｅ＜０并且垂≤０时和ｅ＞０并且垂ｓ０时，取”＝一如∥，其中∥为某一正作用，在激振摆起过程中不断增加单摆的动能。ｋｌ和‰是为了防止小车朝一个方向移动过大而设置的，在不同的位置取不同的值，起到位移补偿作用。当毒＝０且ｅ＝０时，即小车．单摆系统在初始平衡位置时，可对小车施加一恒值信号使角度产生一定偏差，来触发摆起，当偏差产生而且摆起控制产生作用后，立刻切断这个信号。为防止摆杆在接近平衡位置时速度过大，可在适当的时刻改变控制器输出增益，减小输出以避免摆起过量。一般来说，只要∥合适，控制小车完成近似的左．右．左的运动，就可以将单摆摆起并使小车定位在需要位置。

５．２摆起后稳定控制设计

倒立摆摆起到达稳定状态附近后，需要对其进行稳定。与倒立摆摆起过程要求不同，在倒立摆稳定控制阶段，一方面要使稳态精度高，一方面要使控制能量小，因此可以考虑采用线性二次型最优控制方法。

如图５．１所示，倒立摆这一状态反馈系统的反馈系数Ｋ由ＬＱＲ命令来得到。图中的缈，矽，Ｘ，ｊ分别代表摆杆位置、摆杆角速度、小车位移和小车速度。

够

●

够

Ｘ

●Ｘ

图５．１状态反馈系统的方框图

２９

青岛大学高校教师硕ｆｊ学位论文

倒立摆系统仿真的具体数据如下：

Ｍ小车质量１Ｋｇ

聊摆杆质量Ｏ．１Ｋｇ

６

，小车摩擦系数０．１Ｎ／ｍ／ｓｅｃ摆杆转动轴心到杆质心的长度０．２ｍ

角度初始值为万，角速度、位置和速度的初始数值都取为零。

５．３Ｂａｎｇ．Ｂａｎｇ控制的仿真

利用Ｓ．函数编写开关控制器，仿真框图如下：

图５．２Ｂａｎｇ－Ｂａｎｇ控制器结构图

其中ｓｅｌｅｃｔｏｒｌ为用Ｓ一函数编写的Ｂａｎｇ－Ｂａｎｇ控制器，接受的输入为摆杆角度、角速度以及当前小车的位置。其主要代码为：

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓｙｓ－－ｍｄｌＯｕｔｐｕｔｓ（ｔ，Ｘ，ｕ）

ｋｌ＝ｌ；ｋ２＝ｌ；ｆ＝－Ｉ．５；ｇ＝０．０１；

ｉｆｕ（３）＞＝ｇ

ｋｌ＝０．６；ｋ２＝１；

ｅｎｄ

ｉｆｕ（３）＜＝?ｇ

ｋｌ＝ｌ；ｋ２－－０．６；

ｅｎｄ

ｉｆｕ（３）＞ｇ＆＆ｕ（３）＜－ｇ

ｋｌ＝ｌ；

ｋ２＝ｌ；

ｅｎｄ

ｉｆｕ（１）＞０＆＆ｕ（２）＞ｏ

ｓｙｓ＝ｆ＊ｋｌ；

ｅｎｄ

ｉｆｕ（１）＜０＆＆ｕ（２）＜０３０

第五章基于最优控制的倒屯摆摆起．０稳定控制

ｓｙｒｓ＝一ｆ＇ｋ２；

ｅｎｄ

ｉｆｕ（１）＜０＆＆ｕ（２）＞Ｏ

ｓｙｓ＝ｆ＊ｋｌ；

ｅｎｄ

ｉｆｕ（１）＞０＆＆ｕ（２）＜Ｏ

ｓｙｓ＝－ｆ＇ｋ２；

ｅｎｄ

ｉｆｕ（１产Ｏ＆＆｜ｕ（２）＝－ｏ

ｓｙｓ２４；

ｅｌｓｅｉｆｕ（１）一０ｌＩｕ（２）—幻

ｓｙｓ＝Ｏ；

ｅｎｄ

ｅｎｄ

５．４最优二次型控制的仿真

ｆ霎１＝［兰９．７．４，３７９。７三１三０三０：三三ｉ！三。］［至］＋甜３

ｙ＝［？ｏｏ［至ｏ］＋［：］”ｌ．ｆ１．９７５６１Ｉ

可根据此状态空间表达式结合设定的Ｑ、Ｒ得到ＬＱＲ控制器，构成线性二次型最优全状态反馈。

取Ｑ＝ｄｉａｇ（１０，２，５０，２），Ｒ＝０．２５。运用ＭＡＴＬＡＢ语句：

Ｋ＝ＬＱＲ［Ａ，Ｂ，Ｑ，Ｒ】，求得Ｋ＝【３４．６３３

ＬＱＲ控制器结构如图５．３所示：６．１７８２－－２－３．８０３７】。

３ｌ

青岛人学高校教师硕．１：学位论文

Ｍ

图５３ＬＱＲ控制器结构图

倒立摆的角速度、位置和速度的初始值都为零。把摆杆角度移到０．２ｒａｄ的位置，相当于加了单位阶跃信号。

仿真结果如下：

图５．４给出了角度、角速度、位置和速度的响应曲线。图５．５给出了输出变量的响应曲线。

摆杆角度

０．２５

０．２Ａ一～

刁Ｏ．１５

可Ｌ０．１

逍ｏ＿０５

辞

０

．ｏ．０５＼．√

１．厂，２３４５６７８９１０＿０．１０

单位：Ｓ３２

第五章基于最优控制的倒立摆摆起‘ｊ稳定控制

摆杆角速度

２

１．５

迎刁１

日ｋ

Ｏ．５

趟

：噩｝Ｉ０厂勺

—０．５一飞，一Ｉ／

?１

４５６７８９１０单位：Ｓ

小车位置

Ｏ．２

０

－０．２

Ｅｆ１

—ｏ．４Ｊ

趟孬ｎ６１：：：：．

１０．８

－１Ｚ

?１．２

３４５６７８９

单位：Ｓ

小车速度

１．５

１

０．５：￡

０’ｆ．‘

旬．５Ｉ…一

－１

４５６７８９１０单位：Ｓ

图５．４ＬＱＲ控制的响应曲线

３３｜｜

青岛人学高校教师硕一ｌ二学位论文

作用力

父

一

Ｉ

Ｉ

Ｉ●

图５．５ＬＱＲ控制的输出响应曲线

５．５摆起控制和稳定控制结合的仿真

将摆起控制和稳定控制结合起来，以摆杆角度作为这两种控制之间的转换条件。当摆杆与垂直向上方向夹角绝对值小于一定量且角速度不太大时，由摆起控制切换到稳定控制。设系统初始状态为摆杆角度为万，角速度、小车位置和速度都为零，即摆杆处在自然下垂的稳定状态。仿真结果如下：

图５．６给出了角度、角速度、位置和速度的响应曲线。图５．７给出了输出变量的响应曲线。

摆杆角度

６

５●、＼

４

３Ⅻ

Ｖ＾１１一１㈠。１ｌ一

一ｉ…Ｉｌｌｉ…一广……！．．．．．．．．Ｉ一一一一ｒ．．．．．．．．．。一一一．．．．．．ＩＩ●’’一一ｒ一一一＋一一一ＩＩ２

刁ＢＪ¨逍辞

１

０ＩＪ｝一一ｆ

Ｏ１０１５２０１

单位：ｓ

第五章基于最优控制的倒。ｔ摆摆起‘ｊ稳定控制

摆杆角速度

’、∞

侣Ｌ可

趟

：卦

小车位置

Ｏ．３

Ｏ．２＾：：：：Ｉ０．１

Ｅ

Ｏ户

Ａ

Ｏ；掣企＼！土＾●●遥茸也１旬．２…一一一Ｔ‘一舌譬…旬．３＿０．４５１０１５２０２５３０

单位：Ｓ

协、Ｅ¨牮辞

图５．６角度、角速度、位移、速度的响应曲线

３５

青岛人学高校教师硕：ｌ：学位论文

作用力

４Ｉ

３

●

２丁

Ｚ

１：ｌ］

蓉。

－１

－２

ｏ

０‰５【●＿●Ⅳ一１０１５２０

单位：Ｓ

图５．７输出变量的响应曲线

仿真结果显示倒立摆系统经过５个来回即达到稳定平衡位置，且小车也没有偏离零位移处太多，在原点处来回运动，摆动幅度不到２５厘米，说明位移补偿起到了作用，摆杆到达平衡位置时快速稳定下来且没有出现角度剧烈变化的情况，说明在接近平衡位置时减小控制器的输出增益也起到了作用。

Ｃ

Ｓｗｉｎｇ?ｕｐＣｏｎｂｏｌｌｅｒ

图５．８直线一级倒立摆系统仿真框图３６

第ｈ帝草十衄倪拧制的侧以｛拦起１Ｊ稳定挣制

为了便于形象的演示倒立摆的控制过程，同时方便操作仿真系统的启动、暂停与终止，利用ＭＡＴＬＡＢ的ＧＵＩ建立了如Ｆ图所示的人机交互界面，源代码足在ＭＡＴＬＡＢ自带的演示程序基础｝修改后用ｓ．函数编写，实时采集小车的位置、角度、控制量等数据，并以动画的形式演示出来。

｜Ｊ

！ＩＩｌ

鞠－鞠ｋ

５ｈ＂Ｔ『女

１Ⅲ∞㈣ｊⅢ㈣１。＿“。“、｛…１｜１ｌＨ日Ｉａ＊ｅ｜｜

围５，９ＧＵＩ仿真控制界面

５．６本章小结

本章介绍了自摆起控制器的设计，依据Ｂａｎｇ－Ｂａｎｇ控制原理设计了摆起控制器，用ＬＱＲ最优控制实现了摆起之后的稳定控制，并进行了仿真，仿真结果表明Ｂａｎｇ－Ｂｍａｇ控制可以实现倒立摆的摆起控制，ＬＱＲ最优控制方法也能实现摆起后的稳定控制。为了便于形蒙的演示倒立摆的控制过程，同时方便操作仿真系统的启动、暂停与终止，利用ＭＡＴＬＡＢ的ＧＵ［建立了人机交互界面。

青岛大学高校教师硕：Ｅ学位论文

第六章基于模糊控制的倒立摆稳定控制

６．１倒立摆模糊控制系统设计

图６．１模糊控制器的设计流程

给出模糊控制器的设计流程图如上图６．１所示，设计过程中按照流程图来逐步的设计模糊控制器，仿真框图如图６．２所示。

第六章基于模糊控制的倒‘口摆稳定控制

Ｆｕｚｚ？Ｌｏｇｉｃ

Ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｆ

图６．２直线一级倒立摆模糊控制仿真框图

在设计控制器时，建立ｓｕｇｅｎｏ仿真模型，定义ｇｂｅｌｌｍｆ隶属函数，输出变量取ｌｉｎｅａｒ。取与（ａｎｄ）的方法为直积（ｐｒｏｄ）法，或（ｏｒ）的方法为最大（ｍａｘ），推理（ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ）方法为直积乘法，合成（ａｇｇｒｅｇａｔｉｏｎ）方法为最大（ｍａｘ），反模糊化（ｄｉｆｕｚｚｉｆｉｃａｔｉｏｎ）采用重心加权平均法（ｗｔａｖｅｒ）。其中操作算子、聚集方法是系统自动设定不能编辑的。

对倒立摆角度缈、角速度驴、小车的位置Ｊ和小车的速度文四个输入以及输出的变量Ｕ的模糊集及其论域定义如下：

驴的模糊集为｛ｉｎｌｍｆｌ，ｉｎｌｍｆ２｝：驴的模糊集为｛ｉｎ２ｍｆｌ，ｉｎ２ｍｆ２｝；

石的模糊集为｛ｉｎ３ｍｆｌ，ｉｎ３ｍｔ２｝；ｊ的模糊集为｛ｉｎ４ｍｆｌ，ｍ４ｍ也｝；

．Ｉｆ的论域为［．３，３】，宕的论域为［一３，３】；

９的论域为【．０．３，０．３】，矽的论域为［一１，１】；

“的论域为［．１０，１０】。

６．２隶属函数设计

模糊控制输入输出的隶属函数设计如图６．３一图６．７所示。３９

青岛人学高校教师硕｝：学位论文图６．３角度的隶属函数图６．４角加速度的隶属函数图６．５小车位置的隶属函数图６．６小车速度的隶属函数

４０

第六章基于模糊控制的倒试摆稳定控制

图６．７输出的隶属函数

所对应的输出隶属函数（ｏｕｔｒｎｆｌ～ｏｕｔｍｆｌ６）线性多项式的参数如下：［４１．３７１０．０３３．１６２４．２８８０．３３８６１

［４０．４１１０．０５３．１６２４．２８８０．２０６８１

ｆ４１．３７１０．０３３．１６２４．２８８０．３３８６１

［４０．４１１０．０５３．１６２４．２８８０．２０６８１

［３８．５６１０．１８３．１６２４．２８８—０．０４８９３１

『３７．６０１０．１５３．１６２４．２８８—０．１８０７］

［３８．５６

［３７．６０１０．１８３．１６２４．２８８．０．０４８９３１『３７．６０１０．１５３．１６２４．２８８—０．１８０７１１０．１５３．１６２４．２８８０．１８０７１

ｆ３８．５６ｌＯ．１８３．１６２４．２８８０．０４８９１］

［３７．６０１０．１５３．１６２４．２８８０．１８０７１

［３８．５６

［４１．３７

［４０．４１

【４１．３７１０．１８３．１６２４．２８８０．０４８９２１。ｆ４０．４１１０．０５３．１６２４．２８８—０．２０６８】１０．０３３．１６２４．２８８．０．３３８６１１０．０５３．１６２４．２８８—０．２０６８１１０．０３３．１６２４．２８８—０．３３８６】

６．３模糊控制规则设计

模糊控制器的控制规则可用以下１６条语句来描述：

１．Ｉｆ（ｉｎｌ

（ｏｕｔ

（ｏｕｔ

（ｏｕｔ

（ｏｕｔｉＳｉｓｉｎｌｍｆｌ）ａｎｄ（ｉｎ２ｉｎｌｍｆｌ）ａｎｄ（ｉｎ２ｉｎｌｍｆｌ）ａｎｄ（ｉｎ２ｉｓｉｎ２ｍｆｌ）ａｎｄ（ｉｎ３ｉｎ２ｍｆｌ）ａｎｄ（ｉｎ３ｉｎ２ｍｆｌ）ａｎｄ（ｉｎ３ｉｎ２ｍｆｌ）ａｎｄ（ｉｎ３ｉｓｉｎ３ｍｆｌ）ａｎｄ（ｉｎ４ｉｎ３ｍｆｌ）ａｎｄ（ｉｎ４ｉｎ３ｍｆ２）ａｎｄ（ｉｎ４ｉｎ３ｍｆ２）ａｎｄ（ｉｎ４ｉｓｉｎ４ｍｆｌ）ｔｈｅｎｉｎ４ｍｆ２）ｔｈｅｎｉｎ４ｍｆｌ）ｔｈｅｎｉｎ４ｍｆ２）ｔｈｅｎｏｕｔｍｆｌ）（１）ｉｓｉｓｉｓｉｓ２．Ｉｆ（ｉｎｌｉＳｏｕｔｍｆ２）（１）ｉＳｉｓｉｓｉｓ３．Ｉｆ（ｉｎｌｉｓｏｕｔｍｆ３）（１）ｉｓｉｎｌｍｆｌ）ａｎｄ（ｉｎ２ｉｓｉｓｉｓ４．Ｉｆ（ｉｎｌｉｓｏｕｔｍｆ４）（１）４１

青岛人学商校教师硕’ｔ：学位论文

５．Ｉｆ（ｉｎｌ（ｏｕｔ（ｏｕｔ（ｏｕｔ（ｏｕｔ（ｏｕｔ

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ｉｎｌｍｆｌ）ａｎｄ（ｉｎ２ｉｎｌｍｆｌ）ａｎｄ（ｉｎ２ｉｎｌｍｆｌ）ａｎｄ（ｉｎ２ｍｌｍｆｌ）ａｎｄ（ｉｎ２ｉｎｌｍｆ２）ａｎｄ（ｉｎ２

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１０．Ｉｆ（ｉｎｌｔｈｅｎ（ｏｕｔｔｈｅｎ（ｏｕｔｔｈｅｎ（ｏｕｔｔｈｅｎ（ｏｕｔｔｈｅｎ（ｏｕｔｔｈｅｎ（ｏｕｔｔｈｅｎ（ｏｕｔ

１１．Ｉｆ（ｉｎｌ

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６．４倒立摆系统模糊控制仿真结果

小车的质量为１．０９６ｋｇ，杆的质量为Ｏ．１０９ｋｇ，杆长度为０．２５ｍ，摆杆惯量０．００３４

ｋｇ＊ｍ＇，小车摩擦系数取为０．ＩＮ／ｒｅ／ｓｅｅ。假设小车的角度、角加速度、位置和速度的

初始数值都取为零。

选取幅值为１．０，频率为０．２８３２０ｒｅｄ／ｓｅｅ的方波来进行仿真，通过Ｓ．函数设计小

车ＧＵＩ动态演示，仿真后界面如图６．８所示，仿真结果如图６．９－－－图６．１３所示。

４２

第六章皋ｆ模耕降钳的倒Ｚ摆稳定拄制

闰６．８ＧＵＩ控制界面

摆杆角度

焉。伽

：。０２

嚣。

ｍ０２

单位：Ｓ

图６９控制的角度响应曲线

青岛大学高校教师硕Ｉ：学位论文

摆杆角速度

们

－－－

刁

佰Ｌ

趟：卧

单位：Ｓ

图６．１０模糊控制的角速度响应曲线

小车位置

０．１０

…一一ｉ一一一：；—≯，０３一一一ｊ一一一ｊ

…～Ｉ－一—广１．－～－ｌ…一．：

．一一一一Ｌ—ｌ一一：一一一一』一～一一．：’ｉ

Ｉ，

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Ｉ

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５

６

？一一一一ｉ一一一一ｒ一一一一

７

８

９

．０．６

０

１

２

３

４

单位：Ｓ

图６．１１模糊控制的小车位置

小车速度

０．５

ｌ

ｌ

ｌ

０．４

０．３

。众

●．●Ｉ－Ｉ

０．２

０．１

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一／Ｉ／

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．０．２

０

１

２

单位：Ｓ

图６．１２模糊控制的小车速度的响应曲线

第六章基于模糊控制的倒。讧摆稳定控制

作用力

１．５

１

ＺＯ?５礴…霸…舞ｉｉｌ｛

…一一＾ｈ．．０

掣舶：砰

－１

．１．５

－２

０入，１｛｛１２３４５６７８９１０

单位：Ｓ

图６．１３模糊控制的输出力响应曲线

６．５本章小结

本章介绍了倒立摆的模糊控制的设计流程、隶属度函数的选取以及模糊控制规则的设计，并确定了仿真的隶属度函数和模糊控制规则，将模糊控制用于直线一级倒立摆并进行仿真，仿真结果表明，模糊控制用于直线一级倒立摆是可行的。４５

青岛人学高校教师硕‘ｌ：学位论文

参考文献

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青岛大学高校教师硕：ｌ：学位论文

攻读学位期间的研究成果

攻读学位期间发表的学术论文

１．基于ＭＡＴＬＡＢ的倒立摆系统定性分析，第一作者，信息技术与信息化．２００９．１２．基于指纹识别技术的实验室开放管理系统，第三作者，实验技术与管理．２００６．１２

致谢

致谢

首先要感谢我的导师陈兵教授。本论文是在陈教授的悉心指导下完成的，从论文选题到完成，陈教授提出了很多宝贵建议，并且提供了很多帮助。在此，表示衷心的感谢。在研究生期间，陈教授渊博的学术知识、严谨的治学态度、实事求是的工作作风、认真负责的工作态度，在潜移默化中影响着我。这些优秀的品质必将对我今后的学习和工作产生深刻的影响。

感谢青岛大学复杂性科学研究所的高齐圣教授、张纪会教授、林崇教授、段法兵教授、赵继军教授给予的指导与帮助。

再次向帮助过我的所有老师、同学和朋友表示感谢。

特此向一直支持我的家人表示感谢。

衷心感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位专家、教授。４９

小车倒立摆系统摆起与稳定控制研究

作者：

学位授予单位：张彬青岛大学

相似文献(10条)

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基于一级倒立摆系统线性模型的不确定性,建立了灰色预测模型.提出了一种基于灰色预测模型的一级倒立摆LQR最优控制算法,通过系统仿真,与一级倒立摆LQR最优控制进行了对比,结果表明基于灰色预测模型的倒立摆LQR最优控制具有更强的鲁棒性和更好的节能效果.

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基于一级倒立摆系统线性模型的不确定性,建立了灰色预测模型.提出了一种基于灰色预测模型的一级倒立摆LQR最优控制算法,通过系统仿真,与一级倒立摆LQR最优控制进行了对比,结果表明基于灰色预测模型的倒立摆LQR最优控制具有更强的鲁棒性和更好的节能效果.

4.学位论文 段学超 平面倒立摆的建模、控制与实验研究 2006

倒立摆是典型的非线性、高阶次、强耦合、不稳定、欠驱动系统，研究倒立摆的精确控制对工业生产中复杂对象的控制有着重要的应用价值，因此倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。目前直线型倒立摆作为一种实验仪器以其结构相对简单、形象直观、构件参数易于改变和价格低廉等优点，已经广泛运用于教学。环形倒立摆和平面倒立摆尚处于实验室研究阶段。 平面倒立摆的基座可以在二维平面内运动，基础运动具有两个自由度。由于系统变量的增多、阶次的增高和基座运动、控制的耦合特性，与基座只有一个自由度的直线型或环形倒立摆相比其控制更具有挑战性。本文以固高GPIP2002型平面运动倒立摆为研究对象，采用拉格朗日方程建立了平面一级、二级倒立摆的数学模型，通过将其在平衡位置附近进行泰勒级数展开并线性化，得到了系统在两个正交方向解耦的线性化模型。 基于所建立的倒立摆线性化模型，根据最优控制理论，设计了平面一级、二级倒立摆的线性二次最优控制器，同时实现了摆杆平衡控制和基座运动的定位控制，通过仿真结果说明了线性二级最优控制在平面倒立摆控制中的有效性。 模糊滑模控制是典型的智能变结构控制方法，它综合了模糊控制不依赖于系统精确模型的优点和滑模控制的完全鲁棒性。自适应滑模模糊控制则是将自适应思想融入模糊滑模控制，通过适应性地调整滑模函数的斜率以提高控制性能。本文在平面一、二级倒立摆的X、Y方向分别设计了自适应滑模模糊控制算法，通过仿真实现了摆杆平衡情况下的小车定位控制。 根据设计的线性二次最优控制和自适应滑模模糊控制算法进行了平面一级倒立摆实验，实现了摆杆平衡控制和基座小车的定位控制，并进行了基座小车的圆轨迹跟踪实验。实验结果验证了所建立的平面倒立摆数学模型的正确性和所设计的两类控制算法在平面倒立摆控制中的有效性。

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倒立摆是自动控制理论研究的典型实验设备,由于其具有强非线性与强耦合性,一直是先进控制算法研究的热点.文章采用了一种微分几何方法--李理论,对倒立摆系统进行精确反馈线性化,此种线性化方法使模型更多地保留了原系统主要的非线性部分,更能逼近实际系统.在此线性化模型的基础上,对倒立摆系统进行最优稳定控制设计.仿真结果表明,所提出的精确反馈线性化方法对于倒立摆系统的控制器设计是有效的.

7.学位论文 赵莉 多级倒立摆的稳定控制 2003

倒立摆系统是一种多变量、非线性和自然不稳定系统.通常用以检验各种控制方法,是控制理论中较为理想的试验装置.本论在阐述了倒立摆系统的研究发展过程和现状之后,在参考文献中已有数学模型的基础上,对一、二级倒立摆的控制进行了研究.对一级倒立摆的控制本文采用了双PID、极点配置法、线性二次型最优控制法及模糊控制法分别设计了控制器,对二级倒立摆的控制本文采用了极点配置法、线性二次型最优控制法及模糊控制法分别设计了控制器,同时也设计了带状态观测器的极点配置控制和线性二次型最优控制器来观察全部参数;对导轨倾斜45度时的二级倒立摆系统也采用极点配置法和线性二次型最优控制法进行了控制,并分别用MATLAB进行了仿真,仿真结果表明控制效果良好.

8.期刊论文 陈宏钧.胡维庆.谭广军.张晓华.CHEN Hong-jun.HU Wei-qing.TAN Guang-jun.ZHANG Xiao-hua 单级倒立摆LQR最优控制及其嵌入式系统实现 -控制工程2007,14(z1)

倒立摆以其非线性特点成为控制理论分析和设计的典型实验设备.针对单级倒立摆系统,建立其数学模型,设计了线性二次型最优控制器,利用

Matlab进行了仿真验证.同时,搭建了控制系统的实物实验平台,利用Z-World公司的嵌入式系统实现了该控制算法,并进行了调试,完成了倒立摆的平衡控制.并作了一些干扰实验来验证系统性能.仿真研究和实物实验的结果,表明在嵌入式控制系统中实现的LQR最优控制算法具有很好的控制效果,使倒立摆具有良好的动态性能和稳态性能.

9.学位论文 严娟娟 倒立摆系统的控制研究 2004

倒立摆是联结在小车上的杆，通过小车的运动能保持竖立不倒的一种装置，它是一个典型的非线性、快速、多变量和自然不稳定系统，但是我们可以通过对它施加一定的控制使其稳定。对它的研究在理论上和方法上都有其重要意义。倒立摆的研究不仅要追求增加摆的级数，而且更重要的是如何发展现有的控制方法。同时, 它和火箭的姿态控制以及步行机器人的稳定控制有很多相似之处，由此研究产生的理论和方法对一般工业过程也有广泛用途

。 本文在参考大量文献的基础上，综述了倒立摆的国内外研究现状，对应用于倒立摆的各种控制理论作了简要的介绍；研究了倒立摆的控制机理，用Lagrange 方法推导了一、二级倒立摆的数学模型，这为研究多级和其它类型的倒立摆甚至更高层次的控制策略奠定了一个良好的基础。对系统进行了稳定性、可控性分析，得出倒立摆系统是一个开环不稳定但可控的系统的结论。 本文主要研究用极点配置、最优控制和模糊控制方法对倒立摆进行稳定控制。最优控制方法是基于状态反馈，但能实现输出指标最优的一种控制方法，方法和参数调节较简单，有着广泛的应用。模糊控制有不依赖于数学模型、适用于非线性系统等优点，所以本文尝试了用模糊控制对倒立摆进行控制，以将先进的控制方法用于实际中。同时，对倒立摆系统的研究也将遵循从建模到仿真到实控，软硬件结合的系统的控制流程。在这过程中，借助数学工具Matlab6.5及仿真软件Simulink，作了大量的仿真研究工作，仿真结果表明系统能跟踪输入，并具有较好的抗干扰性。最后对实验室的倒立摆装置进行了软、硬件的调试，用LQR法对二级倒立摆系统的控制进行了实验验证，获得了较好的控制效果。

10.期刊论文 黄孝平.牛秦洲.Huang Xiaoping.Niu Qinzhou 线性二次型最优控制在倒立摆系统中的实现 -计算机测量与控制2006,14(12)

线性二次型最优控制是一类以线性系统为被控对象,以二次型泛函指标为性能指标的最优控制问题,由于特殊的指标形式和系统对象的线性性质,使所讨论的带有等式约束的动态优化问题可以获得基于Riccati方程表达的线性状态反馈,文中给出了一种利用线性二次最优控制理论实现小车倒立摆平面运动的控制方法,并在此基础上建立了相应的数学模型,同时,利用MATIAB工具进行了计算机仿真,仿真结果表明,该方案可以得到较为满意的结果.

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