小学数学高效课堂教学模式研究报告
摘要：小学数学高效课堂教学模的研究贯彻了国家的教育方针和新课程改革的基本理念，在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的指导下，积极吸收与借鉴国内外小学数学课程改革的经验和成果，根据本县教师的教学水平和学生的学习状态初步构建了新授课高效课堂模式的基本步骤，本文从高效课堂教学模式的理论依据和流程出发，重点阐述了计算课，解决问题课，统计课，概率课和探究课基本的教学模式。使教师的教育行为有据可依、有章可循，使学生的学习行为更加自主，更为科学。实现师生的共同发展与成长。在此基础上，我们将对小学数学高效课堂教学模式的研究作出更多地思考和探讨。 关键词：高效课堂 教学模式
导言
一、问题的提出
1.研究背景
面对新一轮的全国基础教育课程改革，根据我县教师师资队伍的现实状况，博兴县数学教研室于20xx年8月开始进行《构建小学数学高效课堂教学模式的研究》的课题研究。新一轮的课程改革下的数学教学倡导学生自主探索、合作交流与实践创新的数学学习方式，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分从事数学活动和交流的机会，促使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验，数学教学是数学活动的教学，是师生交往、互动与共同发展的过程，学生是数学学习的主人，教师是学生数学学习的组织者、引导者和合作者。在新课改的不断普及和深入下，学生的学习行为和教师的教学行为都发生了重大转变，而我县部分教师尤其是乡镇年龄较大的教师很难融入到学习新课改的氛围中，跟不上新课改的步伐，成了新课改的旁观者。主要表现在：穿新鞋，走老路。他们凭借多年的教学经验，只注重了形式上的学习而忽视了理念上的更新，课堂中所表现出来的所谓创新的教学形式和教学方法只是新课改的一层外衣。为了全县教师让自己的教学理念和新课改的精神合拍，用教学行为践行新课程理念并不断地提高课堂的教学效率，所以实施了《构建小学数学高效课堂教学模式的研究》的课题研究。
构建高效课堂教学模式也是针对传统课堂教学模式的诸多弊端提出来的。传统课堂教学模式忽视了以学生发展为本位的教育理念。传统的课堂教学普遍存在着一种现象，即把学生当成被动接受知识的容器，认为学生是无知的，什么都不懂，一切都靠老师的讲解、灌注。于是，教师便从主观愿望出发，不管学生的实际情况如何，只是一味的利用课堂向学生生硬、机械的灌注现成的知识，学生只是消极的接受。其表现为教师讲学生听，教师演学生看，教师写学生抄，教师指定考试范围，学生死记硬背。只有教师的积极性，而无学生的积极性。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（下简称《课标》）在“前言”部分指出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”；“数学教学活动必须建立在学生的认知水平和已有的知识经验基础之上，教师应向学生提供充分从事数学活动的机会……获得广泛的数学活动经验。”由此可见，构建小学数学高效课堂教学模式是实践《课标》理念、深化课堂教学改革的需要。
2．国内外研究现状与预期突破
（一）国内外的研究现状
1.英国肯特布雷大学爱伦·史博教授研究的“优秀的教与学”和我们研究的“高效课堂”从本质上看是一致的，都是在追求教学的最高效率，爱伦·史博教授对高效的理解是从高效享用学习资源，单位时间内高效学习，高效完成个性化学习目标和情感、态度、价值观的高效互动与滋养四个方面来研究的。与我们新课标中所提到的三维目标也是吻合的。艾伦·史博教授的研究对英国小班化的教学起到了积极地推进与优化的作用，而与我们国内的大班额集
体授课的现状不太适用。
2. 全国著名课改专家李炳亭先生近年来专注于“高效课堂模式”的推广实践工作，进一步深化教育教学改革,提高广大教育工作者的教育理论素养，深入推进新课程改革，特别是中小学课堂教学改革，提高了课堂教学的实效性。受到全国教育同行的高度评价。但是李炳亭先生的“高效课堂模式”适用中学生的比重较多，而适用于小学的内容占的比重较少。
（二）预期的突破
我们研究的《构建小学数学高效课堂教学模式的研究》将进一步充实、细化同类研究中的争议和遗憾，尤其是在新授课的教学流程中所存在的疑惑，使教师的教和学生的学相得益彰，师生共同提高、和谐发展。
二、小学数学高效课堂教学模式的研究的理论依据
1．建构主义教学理论
（美）冯．格拉斯菲尔德（Von Glasersfeld）。建构主义的基本观点：（1）认识是由主体主动建构的，而不是从外界被动地吸收的。（2）主体在认识过程中，不是去发现独立于他们头脑之外的知识世界，而是通过先前个人的经验世界，重新组合，且建构一个新的认知结构，认识具有建构性。
2．素质教育理论
素质教育观是20世纪末，随着教育改革的不断深化而逐渐形成的一种现代教育观，是针对“应试教育”的弊端提出来的。素质教育就是以“教育要面向现代化、面向世界、面向未来”的教育思想为指导的教育，是以提高国民素质和民族创新能力为根本宗旨的教育，是以培养适应社会发展的教育观。素质教育是根据社会发展的需要而提出的，重视学生的“全体发展、全面发展、个性发展”，注重培养学生的创新意识。
3．非指导性教学理论
（美）卡尔.罗杰斯的“非指导性教学理论”。“非指导性”教学的特征及原则：（1）极大地依赖于个体的自身成长，通过自身的努力，克服各种障碍。不是直接教授他人，而只能使他人的学习得以容易地开展。如诱导学生独立思考、澄清问题、帮助组织已被学生认可的经验。（2）情调情感因素，具有真诚、理解、接受的气氛。不掩饰，坦诚公开。（3）学生是以维持自己的构造或是强化自己的构造心理来学习的，因此注意以“同化”来影响学习过程。
（4）作为自然发展状态而互相接触。教师不是教学生怎样学，而是提供学习的手段，由学生决定怎样学。
研究的目标、内容、方法和过程
一、研究目标
具体有以下几点：
1.通过实践与研究创立一套科学民主高效的课堂教学模式，促进教师的教和学生的学，使师生和谐的共同发展。
2.以全新的课程理念和教育专家的理论为指导，逐步的探索出以学生发展为中心的高效课堂教学模式，并不断的完善。
3.小学数学高效课堂教学模式的研究将进一步展示学生的学习过程，得到成功的体验，树立学生学习的自信。
4.通过对该课题的研究，加大我县小学数学课堂教学模式改革的进程，促进全县小学数学教学发展的基本策略和管理制度。
二、研究内容
小学数学新授课课堂教学模式的研究。包括计算课教学、解决问题课教学、统计课教学、概率课教学、探究课教学等教学模式。
三、研究方法、过程与途径
基本的研究方法有：个案分析法；行动研究法； 经验总结法；反思研究法。
研究过程：
1．2007.8.10----07.9.10日：分析教学背景，研究选题方向，搜集研究信息，确定研究课题。
2．2007.9.10---07.10.10日：准备阶段，制定实验的总体方案，申报课题，定好实验学校，实验老师，筹集实验经费等。
3．2007.10.10—09.10.10日：实验阶段，课题实验，阶段总结，研讨培训，形成有效教学策略。
4．2009.10.10—09.12.10日：实验总结阶段，整理实验材料，总结和汇编研究成果。 研究途径：
1．广泛收集资料，利用各种参观访问等机会进行分析研究，撰写资料总述，提出课题研究的理论假设。
2．走进课堂，广泛听课，搜集教学案例；分析教育教学过程中的问题，找出改正措施；征求教师意见，搞好落实衔接。
3．理论学习与培训。遵循认知规律，把握学生特征。开阔视野，转变观念，汲取先进理念。
4．以班级为单位进行仔细的研究，包括学科课堂教学模式，教学方法等。
5．调查问卷。了解学生学习动态（心理方面、态度方面、学情方面），做好宣传发动工作，使学生的能力培养真正落到实处。
实验结果与分析
一、构建小学数学高效课堂教学模式
（一）高效课堂教学（新授课）的基本流程
1．创设教学情境
2．找出有价值的数学信息
3．提出有效的数学问题
4．解决数学问题
5．随堂练习（巩固新知）
6．精选作业
（二）高效课堂教学（新授课）的基本流程解析
1．创设教学情境
教学情境必须贴近学生的生活，简洁、易懂，背景丰富，但又不那么直白，与学生已经具备的那些常识性的，不那么严格的数学见解有关，学生已经习得的正规知识能派上用场，能引起思考，能提出问题，容易导向一段发现和活动的过程。如何创造性的运用教材中的教学情境，提高教学效率？以下是我们课题组的几点总结：
（1）把问题情境故事化，使学生乐于学习
根据学生的年龄特征，创设故事情境，让学生从故事中发现问题、带着问题去学习、去思考，可以激发学生的学习兴趣。例如：在教学《分数的基本性质》时，课一开头，我设计了这样一个故事：“花果山中三个小猴子吵着要猴爸爸买甘蔗给他们吃：最小的猴子嚷着要根数多，老大自认为很懂事说：?我只要一根，但要最长的。?精明的老二说：?我不要最长的，也不要根数最少的，但根数要比大哥多，比弟弟的长一些。?猴爸爸思考了一下，买来三根同样长的甘蔗，将第一根分了一半给老大，将第二根平均分成6段，取了3段给老三，将剩下的一根平均分成4段，给老二2段。三个猴子高兴极了，都认为爸爸对他最好。同学们，猴爸爸分得公平吗？……公平不公平，学了新课自分明”，学生兴趣盎然地步入了新课。
（2）把问题情境生活化，使学生乐于学习
创设生活情境，把数学问题置于学生的生活情境之中，让学生知道自己所学习的知识，所
要解决的问题就在身边，通过对生活情境的体验，从事理中明确算理。例如：在教学接近整百、整千数的简便计算一课中，我创设了生活中的购物情境：在教室的一角“开设”超市，货架上陈列着文体类商品，其中篮球标价96元/只，排球42元/只，……一位同学跑上去，营业员连忙说：“欢迎光临，我能为你做点什么？”同学说：“我想买一只篮球。”（我校是省体育传统学校，小篮球是体育传统特色）营业员：“96元。”学生拿出100元，营业员找给学生4元，学生说：“谢谢。”营业员：“欢迎再次光临。”通过“买篮球”，让学生感悟：①96元靠近100元，②多付就要找零（蕴含多减要加）。这样为学习新知扫除障碍，让学生从生活事理中明白为什么“多减要加”，同时让学生通过这一情境，学习社会交往，体验生活数学。
（3）把问题情境操作化，使学生乐于学习
动手操作让学生多种感官参与学习，充分感知，逐步在头脑中建立起表象，进而将感性认识上升到理性认识。例如：在执教《长方体体积的计算》一课时，我让学生用棱长1厘米的小正方体木块拼成一个长方体，并把操作后获取的数据填入相应的表格中，再观察每排的个数、摆的排数、层数与小正方体个数之间的关系，得出每排的个数×排数×层数=小正方体木块的个数（即长方体体积），逐步推出长方体的体积计算公式。在操作中，让学生动手、动口、动眼、动脑引导他们观察——抽象——概括——表述，架起感性认识上升为理性认识的桥梁。
（4）把问题情境多变化，使学生乐于学习
创设争辩情境，让学生在民主、平等、和谐的氛围中各抒己见，从不同角度、用不同方法去思考问题，解决问题，既锻炼学生的思维，又锻炼学生语言的表达，使他们在“风口浪尖”上磨练，在“实战”中提高。教学分数乘法应用题后，我出示了这样一道题“有两根同样长的钢管，第一根用去3/10米，第二根用去3/10，哪一根用去的多一些？”问题给出后，学生讨论比较热烈，有的说第二根用去的长，（假设钢管10米，10×3/10=3米），有的立即反驳：当钢管长一米时，1×3/10=3/10米，两根用去的一样长，……通过争论、举例验证得出，这道题答案有三种可能性，分三种情况进行思考。让学生体会到在一定范围内，数学问题的不确定性。
（5） 把问题情境具备可延性，使学生乐于学习
问题是数学的心脏，有了问题，学生思维才有方向、才有动力；有了问题，学生才能不断思考、不断创新。例如在教学百分数应用题时，让学生根据“男生人数是女生人数的125%”，进行联想，“一石激起千层浪”，学生思维立即活跃起来，有的想男生人数比女生多25%，女生人数是男生人数的80%，女生比男生少20%……有的从分数角度考虑得出，女生人数是全班的4/9，全班人数是男生的9/5……。有的与“比”联系起来得出：男生与女生人数的比为5：4，男生与全班人数的比是5：9，男生比女生多的人数与全班人数的比为1：9……，通过问题情境的创设（此处应从狭义的角度理解为简单的“问题”）给学生一个自主探索的空间，给学生一个自主创新、自我表现的机会，让学生多角度、多层次的去思考，既培养了学生求异思维的能力，又让学生感受到学习数学的乐趣。
2． 找出有关的数学信息
只有找出有关的数学信息才能提出有价值的问题，他们是相辅相成的，要想让学生能够准确、全面的找出数学信息，我们认为应做好以下几点：
（1）识图能力的培养
青岛版数学实验教材与以往教材相比，有一个显著的特点是图变多了。许多题目的呈现都以图或图文结合的形式代替了单纯的文字。特别是越往低年级越明显，这样的改动更符合学生的认知规律和年龄特点。学生的识图能力就成了掌握数学语言的前提，是正确理解题目意思的关键，是顺利进行数学学习活动的重要保证。课题组针对教材中的图例，结合教
学实践谈谈如何培养学生的识图能力。
① 调动已有知识经验，再现生活情景画面
为了激发学生的学习兴趣以及相应内容的学习策略，教材注意从学生熟悉的生活情境和童话世界出发，选择具有一定数学价值的、学生身边的、生动有趣的、有利于学生主动探索的事物作为学习素材，以一幅幅情趣盎然的画面呈现出来。例如：青岛版二年级（上册）“乘法口诀”的第一个例题，教材呈现了学生玩跷跷板的画面。学生叙述图意时，可能抓不住重点，会像讲故事一样把看到的、想到的全说出来，教师要注意点拨和引导，促进学生数学思维的发展。可以在学生充分看图、交流之后，引导学生看图上主要画的是什么——画得比较大的这个物体或人有几个？一组有几人在玩？有几组小朋友？一共有几个小朋友？通过有意识地引导引领学生走进画面。再逐步要求学生将“数”和“物”连起来说。这样处理，不仅告诉学生看图要看什么，还帮助学生感受如何运用数学语言把看到的说出来，为学生的思维提供方向。
②依据图中文字提示，寻找所需数学素材
书上很多图都配有文字提示，在一定意义上说，学生对这些图的理解能力要比前面谈到的一些主题图更高。例如：青岛版一年级（下册）第40页第3题、第46页的例题等，这类图配有文字，教师要引导学生依据文字提示，到图中寻找所需要的数学素材。例如，第46页例题的“汽车座位”图，虽然图中告诉我们大客车有45座、中巴车有30座，小汽车有3座，但第一个问题问的只是大客车和中巴车一共有多少个座位？如果学生不能根据文字的提示去寻找图中素材，就可能求出“大客车和小轿车一共多少个座位”或“中巴车和小轿车一共有多少个座位”。值得一提的是，有的教师在指导学生看图时，没有让学生充分看图，就直接从文字提示出发，根据要求问题让学生去寻找图中所需素材。这种走过场式的看图，不利于学生识图能力的培养，更不利于学生解决问题能力的提高。
③结合画面反思答案，不断提高识图能力
青岛版教材在插图的设计上不仅注意选取密切联系学生生活、生动有趣的素材作为学生学习的内容，还注意艺术的加工和生活的真实有机结合。
我们在指导学生看图的过程中，不仅要在解题之前先看，更要注意解题之后再看。例如，一年级（下册）第50页第3题： 盘子里有12个苹果，明明已经吃了4个苹果，问妈妈买了多少个苹果。盘子里的12个苹果其实是明明吃了4个后剩下的，但由于学生顺向思维占主导，有的学生在审题后，受到“吃了”两个字的影响，认为“吃了”就要减去。因此，教师可以结合学生的生活实际，在学生已经用减法解题后，引导学生进一步看图并思考：“盘子里现在还剩多少个苹果？”“妈妈买8个苹果，会吃了4个后还剩12个吗？”学生恍然大悟。这里不仅让学生感悟到数学与生活的紧密联系，同时也培养了检验和反思的意识。
教材中还有一些图，旨在提示学生学习、思考或操作的方法，帮助学生降低理解题目的难度。教师在指导学生看图的时候，要注意看、说、想、做的有机结合，并且要视学生的年龄、认知水平和教学内容灵活安排。
（2）引导学生有序观察，找出有价值的数学信息
现在的教学中，让学生观察信息窗，找出有用的数学信息，提出数学问题。信息窗中的数学信息往往比较繁多，学生的观察能力又是有限的。往往不能找出有用、有关联的数学信息。针对这种情况，我引导学生有序地观察情景图，找出有用、有关联的数学信息，引导学生提出有价值的数学问题。
3．提出有效的数学问题
“问题是数学的心脏”，小学数学教学是培养学生问题意识的重要渠道，是全面落实课程标准的重点之一。爱因斯坦强调：“发现问题和系统阐述问题可能要比得到答案更为重要。解答可能仅仅是数学或实验技能问题，而提出新问题，新的可能性，从新的角度去考虑问题，
则要求创造性想象。”课题组采用板块式结构，昭示师生，发现问题、提出问题、解决问题。 综合情境图 → 合作探索 → 自主练习
我学会了吗 → 丰收园→ 回顾整理
（1）让学生经历“问题情境--建立模型--解释、应用与拓展的过程”
教学展开时采取“问题情境--建立模型--解释、应用与拓展”的过程。这个过程的基本思路是：经比较现实的、有趣的或与学生已有知识相联系的问题引起学生的讨论，在解决问题的过程中，出现新的知识或有待于形成的运算技能，学生带着明确的解决问题的目的去了解新知识，形成新技能，反过来解决原先的问题。学生在这个过程中体会数学的整体性、体验策略的多样化，初步形成评价与反思的意识，从而提高解决问题的能力。例如：青岛版三年级下册《我家买新房子啦---长方形和正方形的面积》信息窗2“合作探索”红点问题：“厨房的面积有多大？”其实质就是求长方形的面积。在探索长方形面积计算的方法时，教师可以引导学生借助面积是1平方厘米的正方形纸片来研究，然后在计算纸片个数的过程中，发现沿着长和宽摆的1平方厘米的正方形纸片个数与长方形长和宽的厘米数的关系，从而推测出“长方形面积=长×宽”。在这个过程中，学生经历了生活问题转化为数学问题的过程，数学建模的过程。
（2）有价值问题的呈现形式
有价值的问题该以怎样的形式呈现？我们认为问题的呈现形式应多样化，可以是表格、图形、漫画、对话、文字等。新教材在问题的呈现形式上可谓生动活泼，也给我们提供了范例，就几种主要形式简单列举如下。
①表格式。例如，在教学小数加减计算时，可选取生活中学生常见的购买学习用品这一生活素材设计表格式应用题：
品名日记本钢笔圆珠笔三角板单位（元）2．505．002．001．50把12元全买完，怎样买更合算？这类是教师自行设计的，另一类表格式更多的是生活中的票据，把这类表格式的票据呈现给学生，能够让学生感受到数学学习与实际生活联系得紧密性。
②文字式。并非传统上的纯文本形式，而是带有一定的应用文格式，如通知、借条、广告等。学习了小数加、减法这部分知识后，可设计这样的题目：新华书店门口贴了一则广告：今天新到以下书籍，欢迎购买。《谈谈新的学习方式》5.35元，《童话大王》3.85元，《脑筋急转弯》11.1元，《新十万个为什么》10.9元，《我们爱科学》8.00元，《趣味数学》
6.9元。请问：① 看到这则广告，你首先想到什么？② 你最喜欢的两本书是什么？需要多少钱？③ 哪种书最贵？哪种书最便宜？比一比相差多少。④ 你还可以提出哪些数学问题？
③漫画和对话式。新教材中的问题，大多是以漫画和对话的形式呈现的，非常生动，小学生很喜欢。
④图形式。这也是新教材中呈现较多的一种形式。图形，既可以是图画，也可以是真实的图片。在教学万以内的减法中，教材就借助于云南之游的情境，一方面，为自然地从实际生活中提出数学问题提供了很好的素材，另一方面，也为学生提供了一定的学习地理知识的机会。如，昆明的标志性旅游景点石林，大理的三塔，丽江的玉龙雪山。
4．解决数学问题
解决数学问题是课堂教学的主体环节。通过解决数学问题，能够巩固学生数学知识技能，掌握解决问题的思想和方法，从而提高学生解决问题的能力，培养学生的创新精神。下面从五种课型分别介绍我们在解决数学问题这一环节的研究和探索：
（1）探究课
数学新课程标准中明确指出：“有效的数学学习不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”通过探究性的数学学习,学生在掌握数学知
识的同时，更重要的是感受和学习数学知识中凝聚的数学智慧，并形成初步的研究意识和主动学习的心态，使学生学会学习和掌握科学方法，为学生终身学习和发展奠定基础。 探究课具体是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以学生已有知识经验和生活经验为基础，以现行教材和学习生活、社会生活中的专题为基本探究内容，以类似科学研究的方法为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种形式，尝试解决问题的一种教学模式。
其基本教学流程为：猜测---验证---结论。即让学生依据自己已知的事实和数学知识、经验、方法，对未知量及其关系等数学问题大胆猜想，寻找方法，合理论证，得出结论。
数学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律和数学本质时的一种策略。它是建立在已有事实和经验上，运用非逻辑手段而得到的一种假设，是一种合理推理。数学方法理论的创造者波利亚曾说，在数学领域中，猜想是合理的、值得尊重的，是负责人的态度。高斯也曾说“如无某种大胆果断的猜想，一般是不可能有知识进展的。”课程标准指出：数学学习内容，要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。我们认为数学教学应该组织学生主动参与猜想与验证的数学探究活动，使学生在获得数学事实的同时，也增长数学活动经验。如我县第一小学的成玉丽老师在执教青岛版实验教材五年级上册《平行四边形的面积》这节课时，大胆运用了“猜测---验证---结论”这一全新的教学模式，取得了很好的效果。下面就是这节课的探究环节的课堂实录：
[积极动脑，提出猜想]
师：同学们，求平行四边形的面积有一个计算公式，如果老师直接告诉你，你就会觉得它非常简单。大家是想让老师直接告诉你呢，还是自己去探究发现呢？
生：我们自己去探究发现！
师：那就请同学们大胆地猜一猜：平行四边形面积的计算公式是什么？并且说一下为什么这么猜？
生1：我猜平行四边形面积的计算公式是“底×邻边”。长方形的面积是“长×宽”，也就是两个邻边相乘，我认为平行四边形的面积也可能是两个邻边相乘，所以我猜“底×邻边”。 师：有道理。老师把它写在黑板上。（板书：底×邻边）
生2：我猜平行四边形面积的计算公式是“（底＋邻边）×2”。
师：你能说一下理由吗？同学们对他的猜想有意见吗？
生3：这是求的平行四边形的周长，而不是求它的面积。
师：刚才那位同学还坚持你的猜想吗？其他同学还有不同的想法吗？
生4：我猜平行四边形面积的计算公式是“底×高”。我沿着平行四边形的高把它剪下来，再移到右边，正好拼成一个长方形，所以我就猜“底×高”。
师：有头脑。咱们把它记录下来。（板书：底×高）同学们还有不同的想法吗？这些猜想一定正确吗？下一步该怎么办呢？
生：验证。
师：我们先来验证第一个：底×邻边。 大家先在小组内说一说，用什么样的方法来验证？并且想一想验证的这个猜想到底对不对？如果不对，你认为是什么？为了研究方便，老师制作了几个同样大小的平行四边形卡片来代替虾池，卡片就在桌面上。
（学生讨论）
[动手操作，验证猜想]
师：经过大家的动手验证，相信有很多的研究成果，哪一个小组先来汇报一下？
1、证伪。
生1：我们小组是用长方形框架来验证的。我们一拉长方形的框架，发现面积变小，而两邻边的长度不变，即乘积不变。所以我们排除“底×邻边”。
师：小伙子，你真不简单，虽然这个猜想公式是错误的，但是你们的验证方法和得出的结论是很有价值的。
生2：我们小组是用数方格的方法来验证的。我们通过数方格的方法数出平行四边形卡片的面积是28平方厘米，而用猜想公式算出的面积是35平方厘米。所以我们的猜想“底×邻边”是错误的。
师：你们组的同学真棒，敢于否定自我，这种精神值得表扬。虽然你们的猜想是错误的，但是你们的验证方法和得出的结论却是正确的。
2、证真。
师：现在同学们都认为“底×邻边”是错误的。现在就剩下“底×高”，看来它一定正确啦！还需要我们验证吗？
生：不一定！还需要验证。
（学生活动）
师：经过再次动手验证，同学们又有了新的研究成果。哪一个小组先来汇报一下。其他同学认真听，如果有不明白的地方随时提出来，当然也可以补充他们小组的说法。 生1：我沿着平行四边形的高剪下来，把它拼成长方形，求出面积是28平方厘米。 师：你不但做得好，说得也挺棒的。
生2：我也是沿着平行四边形的高剪下来，把它拼成长方形，我还发现长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高。
师：其他同学还有补充的吗？有疑问吗？
生：没有。
师：不过老师还真有几个问题不明白?
师：第一问题：为什么要沿着高剪呢？
生：这样剪能拼成一个长方形。拼成长方形就能够求出平行四边形的面积。
师：有道理。第二个问题：平行四边形的面积为什么不是“长×宽”，而是“底×高”呢？ 生：因为我们求的是平行四边形的面积，而不是长方形的面积，平行四边形没有“长”和“宽”。 ……
这样设计，其一，满足了学生的学习需求，遵循了他们的认知规律——迁移，借助猜测这个环节，将学生原始的思维状态暴露，引导他们沟通新旧知识之间的联系，培养了推理能力。其二，通过证伪、证真这两个活动，以体验为主线，为学生的探究活动提供了广阔的时空。学生在充足的时间里提出问题、研究问题，实实在在地经历了有意义的“做数学”过程,对所学知识不仅知其然，更知其所以然。在构建数学模型、知识动态生成的思维过程中，把数学方法作为进一步学习的基础，重视数学方法的训练，使学生逐步形成良好的思维方式。在探究过程中，学生根据已有的知识和经验，借助操作和思维的碰撞，经历了数学知识的形成过程，积累了探究数学问题的经验，获得了研究数学问题的方法，获得了成功的体验，学生的学习积极性和主动性得到了充分发挥。
（2）计算课
计算是数学重要的组成部分，是学生终身发展必备的知识之一。一般来说，儿童认识数学也是由认数和计算开始的。由此可见，数与计算是人们在日常生活中应用最多的数学知识，它不仅是小学数学教学的基本内容，也是学生今后学习数学乃至其他相关学科的基础，是一个人必备的数学素养之一。同时，计算教学对于训练学生思维的敏捷性、灵活性和多变性具有十分重要的意义。但是，计算教学却得不到师生的青睐：老师不喜欢上计算教学，在公开课的教学中，很少看见计算教学的身影；学生也不喜欢上有关计算教学的课，对他们来说，计算往往就是做不完的习题，以至于到最后，计算教学就沦为“题海战”。
针对这样的现状，我们探索了计算课在解决问题这一环节的具体流程为：列算式---说意义---
试做---汇报交流---算法优化。
这里要做到四要：一、算式要学生独立列出，并要讲清列式理由。二、算法的探究要在个体独立思考的基础上，再由小组合作完成。三、交流要提倡算法多样化，要让学生讲清算理、算法。四、哪种算法更好，要通过评价进行优化。
下面是我县第一小学的孙秋生老师在执教青岛版实验教材一年级上册《9加几》一课的教学片断：
在学生提出“一共有多少个运动员参加比赛？”这一问题后，
[积极动脑 自主探究]
师：谁会解决这个问题？怎样列算式？
生：9+6
师：说说你怎么想的？
生：跑步的9人，拍球的6人，合起来就是一共多少人。
师：还有不同的列法吗？
生：6+9
师：我们先来看9+6=？呢？请小学具来帮忙，用蓝色的学具代表赛跑的9人，红色的代表拍球的6人，摆一摆，看看一共是多少。
学生动手操作
师：算出来的先同桌相互说说，看看谁说得清楚、明白。
学生同桌交流。
[全班交流，共同研讨]
师：现在谁来说说你怎么算的?
生1：我是先摆上9个，再摆上6个，然后一个个数出来是15。
师：同学们看，（板书卡片）他是先摆上9个，再摆上6个，然后数出来是15个。你们觉得这种方法怎样？
生：这样很慢，如果数比较大了，像10+90就不好数了。
师：你们觉得呢？
生都点头表示同意
师：对呀，我也觉得如果数比较多时，就有些麻烦了。谁有简单的好方法？
生2∶我从6里面拿出1个给9，这里就变成10了，再加上5个就是15。
师：你们看，他想得多巧妙呀！从6里面拿1个给9，就凑成10了，10再加上5就是15。 对这种方法，谁有问题要问他？
生：为什么拿1个给9？
师：你可真会问！平时肯定是个爱思考的好孩子！
生：因为拿1个给9，就凑成10了。这样好算。
师：说得真好！真是个爱动脑筋的好孩子！其实这种方法成老师可以用一个算式表示出来：（板书）
谁还有不一样的算法？
生3：我先想如果是10+6=16，那9+6就等于15。
师：这个想法很独特！成老师先记下来：10+6=16，16-1=15。
你们有问题要问他吗？
生：为什么要减去1？
生：因为我们要算9+6，比10+6少了1个，所以要减去1。
师：刚才你问得真好，回答得也很好。成老师想问问：为什么想到先算10+6呢？ 生：因为10+6=16，16-1=15，很好算。
师：奥，原来他借用好算的10+6帮助计算9+6，是个好方法！
同学们刚才表现得真棒！我们开动脑筋，想出了三种不同的方法，都算出了9+6=15。 在这些方法里面，你最喜欢哪一种呢？为什么？
生1：我喜欢第三种，因为先想10加几好算。
生2：我喜欢第二种，因为先凑成10，10再加几很好算。
生3：我喜欢第3种，因为我觉得一个个数很好数。
师：刚才大家都说了自己喜欢的方法了，想知道老师最喜欢哪一种吗？
生：想
师：我最喜欢第2种。像这样把它们先凑成10再计算的方法，还有一个名称呢，叫凑十法。老师觉得用凑十法计算很简便。
刚才我们每个人都选择了自己喜欢的方法，以后计算就用你喜欢的方法，比比看谁的方法能算的又对又快，好不好？
……
在学生解决问题这一环节，教师首先让学生谈谈列式的理由，加深体会加法的意义，之后让学生开展探究活动，借助学具自己想办法摆一摆、算一算，并把自己的做法同桌交流，在此基础上全班反馈交流。 由于学生知识经验、生活经验都存在个体差异，观察思考问题的角度也会不同，所以产生了多种不同的问题解决方法，此时，教师首先充分尊重学生的个性特征，允许学生采用不同的方式表达自己的想法，但并不简单的追求算法多样化，而是在多样化的基础上，提出了“你最喜欢用哪种方法来计算，为什么”的问题，这样既保护了学生的学习积极性和创新意识，又把学习的探究活动推向了新的高潮，引导学生在交流协商中优化问题解决策略，从而帮助学生逐步优化算法。这一算法探究活动，实质是一种学生积极有效的学习活动。通过算法探究，让学生把学习数学看成是一个过程，而不是简单的记忆程序和按程序操作，为学生提供了思维的空间，鼓励学生沿着更合理的途径解决问题，获得对数学良好的体验和认识。
（3）解决问题课（两步以上应用题）
“数学知识源于生活，数学教学高于生活。”在《新课程标准》中指出：数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有的知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动，使学生通过数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物、思考问题，激发对数学的兴趣以及学好数学的愿望。培养学生用数学解决问题的能力是《新课程标准》的重要目标。解决问题从广义理解是指综合的、创造性运用各种数学知识去解决各种问题，包括实际问题和源于数学内部的问题；从狭义理解是指综合的、创造性运用各种数学知识去解决联系实际的问题。它最显著的特点是工具性和应用性。解决问题的教学能够培养学生解决问题的意识和能力，培养学生的创新精神，巩固数学知识技能，并掌握解决问题的思想和方法。
解决问题的教学与以往应用题的教学是有区别的，以往的应用题教学主要是根据日常生活和生产中的实际问题，用文字、语言、图形叙述出一些已知数量和未知数量，以及它们之间的关系，运用四则运算求出未知数量的数学题。而解决问题教学是以现实生活中的实际问题为背景，教学内容的编排则采用分散式，内容丰富，信息量大，问题多样，答案不唯一，要求学生具有独立见解和创造性，以便学生发展数学思维能力，学习数学思想和方法；解决问题教学具有开放性，主要有纯图片、半文字半图片、纯文字的，信息内容关注日常生活的方方面面，更贴近学生的现实，信息趋于多样化和开放性，让学生主动通过探索和实践来解决问题，这样可以更好的激起学生的兴趣和探索热情；解决问题教学没有现成的类型和解法套用，需要学生通过个人或小组的探索和实践来解决，具有新颖性和挑战性，解决问题教学有利于培养学生的创新精神、实践能力和合作能力。
解决问题的教学与以往应用题的教学相比更有利于学生综合素质和综合能力的发展表现在：
1、更有利于学生探究性学习。探究是最能体现人的本性和人的力量的心智活动，是人类认识世界的一种基本方式。在解决问题的教学过程中，学生不是被动地接受知识，必须充分调动自己已有的知识和经验，充分发挥自己的聪明才智，敏锐的发现问题，积极寻求解决问题的方法和策略，通过自主探索、合作交流等多种形式去解决问题，去寻求答案。解决问题的过程就是“去探索、去发现，去创造”的探究过程。
2、更有利于发挥学生的主体地位。建构主义学习观认为：只有当学生积极主动的建构时，才能发生真正意义上的学习。在解决问题的教学时，才能够体现出学生是真正学习的主人，每个人都想成为探索者、发现者、创造者。在具体的教学过程中，教师为学生创设主动参与解决问题学习的条件和机会，提供现实的、有意义的和富有挑战性的解决问题内容，促进他们在解决问题的能力上得到主动发展。
3、更有利于激发学生学习的兴趣。“问题是数学的心脏”，问题是学生学习的载体，没有问题也就无从研究。在解决问题的教学中，教师从学生生活和社会生活中选择学生感兴趣的问题，创设情境，启迪学生的思维，可以让学生体会到解决问题的过程和乐趣，激发他们对解决问题的兴趣和欲望。
基于以上理论支持、教学内容的特点和学生认知发展规律，我们构建了“三环七步式”教学模式：自主探索（整理有效信息--列式--理由--试做）、合作交流（交流--汇报）、总结提升（优化）。
三个环节七个步骤自主探索整理有效信息 列式 理由 试做 合作交流交流 汇报 总结提升优化
自主探索：给学生留出充足的空间和时间，让每个学生运用已有的知识和经验，根据有关的信息自主寻找解决问题的途径、方法和策略，形成解决问题的初步方案。
①整理有效信息：根据要解决的问题从多个信息中选择必需的信息，这是解决问题的基础和关键，信息选择不准确必然导致算式的错误。选择有效信息的过程可体现出学生对于要解决的问题是否真正理解和明晰。
②列式：根据要解决的问题，结合各个有效信息的内在关系，列出算式。在分步列式的基础上逐步引导学生列出综合算式。
③理由：让学生解释自己所列的算式，每一步的意义是什么，运用了哪些信息，算式的前后有哪些联系。解释理由的过程可以进一步加深学生对于所解决问题的理解，并有效的帮助学生及时发现列式中的错误。
④试做：学生独立解答问题，并进行检验。
合作交流：在学生个体独立探究的基础上，让学生在小组内或班级范围内，充分展示自己的思维方法和过程，分享他人的想法，彼此交流、讨论、补充、提示。在合作交流中学会相互帮助，实现学习互补，增强合作意识，提高交往能力。
⑤交流：通过小组内交流，彼此分享解决问题的思路、方法、策略，在此基础上，进一步修正、完善自己解决问题的方案。
⑥汇报：小组选派代表在全班汇报交流探究的成果，分享彼此解决问题的方案。
总结提升（优化）：在交流、汇报的基础上，教师引导学生分析各种解决问题方案的特点和优点，激活学生的思维，拓宽学生的思路，进行优化组合，从而达成共识并确定解决此问题的最佳方案。
下面是我县白宏颖老师在执教青岛版实验教材三年级下册第33-34页《用乘除混合运算解决
问题》的教学片段：
在学生提出了“6张票需要多少钱？”这一问题后，
（一）自主探索
1.整理有效信息
师：请同学们开动脑筋，可以用画图、列表或者你自己喜欢的方法把条件和问题列出来，让我们一眼就能看出条件和问题之间的关系。
学生出现的情况：
①2张票30元 ② 30元
6张票？元 ？元
张数2张6张价钱30元？元③ 2张 ３０元
6张 ？元
2.解决问题
让学生根据自己对信息的分析列出算式，并说明列式的理由和根据，然后进行解答。
（二）合作交流
1.组内交流
在小组内交流自己解决问题的方法并说明理由。
2.全班汇报
师：介绍一下你们小组用什么方法整理的？是怎么想的？（本组同学进行补充，其他小组质疑、评价），学生出现的情况有：
①30÷2=15（元） 15×6=90（元）
②30÷2×6
=15×6
=90(元)
教师引导学生分析：要求6张票需要多少钱，应该先求出一张票多少钱。也就是先求1份是多少。
③6÷2=3 30×3=90（元）
④30×（6÷2）
=30×3
=90（元）
教师引导学生进一步明确：第一步求的是“６张票里面有几个２张？”，第二步求的是“买６张票需要多少钱？”。
师：同学们，你感觉别的小组的方法怎么样？有什么好的意见和建议可以提出来？
（三）总结提升（优化）
师：同学们，通过解决这一问题，你感觉哪种方法更简捷、更明白。
引导学生进行对比和讨论，使学生感受到“列表”和“摘录条件问题”这两种整理信息的方法比较简捷清晰，对于解决问题很有帮助，特别是在信息比较多的题目中，更容易帮我们理清信息，解决问题。
张数2张6张价钱30元？元2张 ３０元
6张 ？元
引导学生在体验解决问题方法多样化的基础上，进一步体会到“要求几份的，先求一份的”这一思路是利于理解并比较实用的。
在运用“三环七步式”教学模式解决问题的过程中，要注意以下几点：
A、在引导学生解决具体问题的同时，更多的是让学生在解决问题的过程中得到发展，其中重要一点是使学生体会一些解决问题的基本方法和策略，体验解决问题方法和策略的多样
性，并在此基础上学会更简便实用的解决此类问题的方法和策略。
对学生来说，学习解决问题的策略，并不是建空中楼阁。他们在日常生活中已经积累了一些关于策略的认识，在以往解决问题的过程中也已经初步积累了解决问题的经验，但并不一定关注到了解决问题时隐藏在“背后”支撑解决问题的策略，即学生对策略的认识处于潜意识阶段。在这个阶段，学生往往关注具体的问题是否得以解决，对解决问题的策略处于朦朦胧胧、似有所悟的状况，缺乏应有的思考。学生对解决问题的策略的认识要经历一个从模糊到清晰的过程。教学时，教师可先呈现问题，让学生根据他们已有的知识经验尝试解决问题，获得一定的经验；再引导学生回顾解决问题的过程，思考解决问题的策略，并通过回顾性陈述交流，将解决问题的策略“化隐为显”。在回顾性陈述时，学生可能会基于自己的经验和理解，提出不同的策略，教师应引导学生联系解决问题的过程提炼。学生对某一种解决问题的策略有了初步的感受后，教师应引导学生将策略明朗化，把解决问题的策略总结出来，由“隐形”变为“显性”。
B、培养学生合作交流
合作交流是学生学习数学的重要方式。在解决问题的过程中，教师要让学生产生合作交流的需要。教师应根据学生解决问题的实际情况，当部分学生解决问题的思路不很清晰时或者当学生提出了不同的解题方法，特别是有创新意识的方法时，可组织学生进行合作交流。而学生合作交流时，教师要关注学习有困难的学生，一方面鼓励他们主动与同伴交流，表达自己的想法；另一方面，要让其他学生主动关心他们，为他们探索解决问题的方法提供帮助。从而加深对问题本身的认识和解题方法的理解，有助于解题方法和策略的形成。
C、关注学生的评价、反思
在教学过程中，除了教师恰当的评价学生的想法、激励学生外，还要组织小组之间、学生之间、师生之间开展积极有效的评价。让学生通过评价他人解决问题的过程，形成自己对问题的明确见解。同时，教师还要引导学生对解决问题的过程进行回顾和反思。一方面，在解决问题的过程中，对自己所经历的解题活动有正确的分析。在遇到困难时，能正视困难，不轻易放弃；在顺利的情况下，能保持谨慎的态度，善于发现被自己忽略的问题。另一方面，在解决问题的过程结束之后，还应完整的回顾、分析、思考解决问题的过程，反思自己的结果是否合理，还有没有其他解决问题的方法。从而不断积累解决问题的经验，逐渐内化为成熟的解题方法和策略。
（4）统计课
新课程标准把数学内容分为四大领域，其中一个重要领域就是“统计与概率”。 “统计与概率”在生活中的应用是广泛而有意义的，大至一个国家，小至一个企业或者个人，社会的方方面面也都离不开统计。而从统计本身的发展来看，由统计而形成的许多边缘学科：统计质量管理、生物统计、医学统计、心理统计、教育统计等，也从一个侧面说明统计方法在许多科学领域的应用。在小学阶段，统计与概率的教学重在观念，重在激发孩子们对数据的兴趣，加强统计与概率的思想意识。《标准》（2001）指出，“统计观念”主要表现在：认识到统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程，做出合理的决策；能对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑。不难看出，统计意识、统计过程、统计分析是统计观念的三个方面。
基于以上的认识，我们将统计课的流程定为：产生统计欲望（为什么统计）----探索统计方法（怎样统计）----分析统计结果（统计的作用）。
即教学设计的问题情境要能使学生体会到统计的必要性，在数据的整理过程中掌握科学的统计方法，最后根据统计的结果作出决策、分析，帮助人们解决实际问题，体会统计的作用和意义。
下面是我县实验小学的高春霞老师在执教青岛版实验教材一年级上册《我换牙了》一课的教学片断：
在进行简单的谈话后，教师提出一个问题：怎样才能知道换牙的每种情况有几人呢？同学们，你们快来帮老师想想办法，如果让你来调查你打算怎么调查？
学生独立思考后进行小组交流，然后全班反馈：
生1：可以让换1颗牙的小朋友围成一圈，换2颗牙的围成一圈，……
师：就是按照种类分一分，是吗？
生2：可以问问小朋友，用举手的方法。
生3：可以让小朋友排成队。
生4：还可以让小朋友用手势表示自己换了几颗牙。
……
师：同学们刚才想到了这么多好的方法。到底哪一种方法能又快、又准、又清楚地表示出每种情况的人数呢？
生：记一记，记在黑板上。
师：好，就用你们说的这种方法。你们每人手里都有一张笑脸，它就代表你，你们用它到黑板上来排排队，好不好？
生：好。
师：那我先问问你，如果你掉了5颗牙，你知道把笑脸贴在哪里吗？
生：贴到5颗的上方。
师：下面请大家排好队，把你的笑脸贴到黑板上来吧！
学生有序活动
师：小笑脸贴得可真整齐！同学们，你们现在能清楚地看出每种换牙情况的人数了吗？ 生：能。
师：我们回想一下：开始我们对换牙的情况不了解，后来大家想到了调查的办法，又按照你们想到的办法把全班同学的换牙情况清楚的表示出来，让人一眼就能看明白。这个过程，在数学上就叫做统计。（板书：统计）
我们把统计的情况用图表示出来，这样的图就叫统计图（板书：统计图）
① 教会学生看图
师：看这个统计图，现在你能知道换4颗牙的有几人吗？
生：3人
师：你是怎么知道的？
生：1个笑脸代表一个人，3个笑脸就代表3个人。
师：说得真棒！看图，你们还能知道什么？
生：换6颗牙的有5人，……
② 体会统计图的作用
师：刚才大家用数的方法知道了每种情况的人数，现在不许数，能不能一眼就看出换几颗牙的人数最多？
生：换2颗牙的人最多
师：你怎么知道的？
生：因为2颗牙这一行最高，所以它就是最多的。
师：噢！哪一行最高，就表示最多。你们同意吗？
生：同意。
师：多聪明的孩子！不用数，就能看出哪种情况的人数最多。那你们能一眼看出哪种情况的人数最少吗？
生：换1颗牙的最少，因为它最低。
师：你们的发现可真了不起！一下子就抓住了统计图的特征：最高的一列就表示最多的，最低的一列就表示最少的。这可是统计图最大的优点！
③根据统计图提出数学问题
师：知道了每种情况的人数，你还能提出什么数学问题？
生：换2颗牙的和换1颗牙的一共有几人？
师：谁能解答？
……
这一设计，从“换了几颗牙”的谈话自然引入，通过讨论“怎样才能知道换几颗牙的有几人呢？怎样让人清楚地看到每种情况的人数呢？”，激发起学生的统计欲望，也体现了统计的必要性。接下来无论是统计方法的得出，还是选择方法、进行数据的收集与整理，都是学生亲历亲为，通过一系列活动，让学生对统计的全过程有了亲身的体验，感受到了统计产生的过程和必要性。之后教师引领学生对统计的数据进行分析、探究，学生不仅从中知道了各种情况的人数，而且体会到了统计图的特点和作用，加深了对统计的理解，体现了统计的意义。可以看出，学生的统计观念得到了很好的培养。
（5）概率课
现实世界中存在着大量的随机现象，认识它们可以帮助学生更好的认识世界，做出决策，生活已经先于数学课程将概率推到了学生的面前。概率与统计的初步知识做为一种基本数学素养引入中小学课程体系，已经成为国际数学课程改革的一个趋势。进行概率方面的教学和探索，具有以下意义：
A、概率的教学有助于提高学生科学认识客观世界的能力。
在我们生活的世界中，到处都有无法确定甚至不可预测的随机现象存在，它是多彩的现实世界的一个重要特征，而概率就是处理这种随机现象的一门科学。学会从这些随机现象中寻找出某些规律，就能更科学的认识、描述与分析客观世界。同时，在我们生活的世界中，许多现象是以不同的状态存在的，从什么样的角度、采用什么样的方法来描述现状，从而获得客观的认识，就需要采用统计科学中的知识。
B、概率的教学有助于发展学生解决问题的能力。
学习概率的过程中，常会涉及到许多计算、推理以及整数、分数、比值等知识，这有助于学生在学习新知识的同时，复习和运用旧知识，提高他们解题的综合能力。
C、概率的教学有助于培养学生对数学的积极情感体验。
概率的内容来源于生活，其设计充满了趣味性。做概率游戏本身就是对学生思维的一种挑战，这极大的调动了学生对数学的兴趣，从而激发学生浓厚的学习欲望，有助于培养学生对数学积极的情感体验、终身学习的愿望和能力。
D、概率的教学有助于学生形成科学的世界观和方法论。
日常生活中我们经常会听到“这场足球赛，巴西队赢的可能性比较大”、“今天济南地区的降水概率为60％”、“这一期福利彩票卖出多少注，中奖多少注”等语言，这实际上就是人们对客观世界某些现象的一种描述，其中涉及大量的数据。学生在学习概率的过程中，不仅整理和分析信息的能力得到增强，而且随着学习的深入，体验到有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的；知道事件发生的可能性是有大小的，对一些简单事件发生的可能性能作出描述；会求一些简单事件发生的可能性；对简单事件发生的可能性作出预测，并阐述自己的理由。从而逐步形成“随机观念”，养成尊重事实的态度。
基于以上理论支持、教学内容的特点和学生认知发展规律，我们构建了“三步式”教学模式：猜测—验证—结论。
猜测：在通过各种活动让学生亲身经历对随机现象的探索过程中，引导学生首先猜测结果
发生的概率，哪些是一定的、哪些是不可能的、哪些是可能的。在可能发生的事情中，哪种情况发生的可能性大、哪种情况发生的可能性小。同时让学生说明自己猜测的理由和根据。
验证：组织学生亲自动手进行实验，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较。
结论：根据实验结果，得出有关概率的结论，并逐步建立概率模型。
学生在此学习过程中不断将自己的最初猜测、实验结果和通过概率模型预测的结果进行比较，这将促进他们修正自己的错误经验，建立正确的概率直觉。
下面是我县成玉丽老师在执教青岛版实验教材二年级上册第八单元《统计与可能性》中信息窗2的教学片段：
引导学生初步感受事情发生的不确定性：
1.猜测
师：请同学们仔细观察，老师往盛有5个白球的盒子里放入5个黄球，现在盒子里有什么颜色的球了？
师：对，有5个白球和5个黄球。（亮出盒子上的纸条）
请同学们想一想：如果我们再从这个盒里任意摸一个球，会是什么结果呢？（多找几个学生说）
2.验证
师：是不是同学们说得这样呢？想不想亲自摸一摸验证一下？老师给每组同学都准备了一个纸盒，里面装的都是5个白球和5个黄球。摸之前，我要说明几条游戏规则：第一，摸的时候不能偷看；第二，小组长组织组内同学轮流摸，每人摸2次，摸出来之前先猜一猜，再展示给大家看一看；第三，摸出的球放回去先摇一摇，再摸第二次。 明白吗？请小组长来领盒子。我们看看哪一小组组织的好！
3.结论
师：谁来说说刚才你摸到什么颜色的球了？在摸球过程中，你能每次都猜对吗？ 师：想一想为什么不能每次都猜对呢？
小结：因为既有白球，又有黄球，任意摸一个，不能确定一定是什么颜色的，也许是黄球，也许是白球。这时我们就可以说：可能是白球，也可能是黄球。（老师板书“可能”）
4.应用
同学们看：如果这个盒子里装有3个白球，5个黄球，（亮出纸条）这时我们任意摸一个球，会摸到什么颜色的？
如果装有1个白球，5个黄球，（亮出纸条）任意摸一个，结果会怎样？
同学们说得非常好。想继续游戏吗？
……
“等可能性”是概率中的一种特殊情况，它是用“由部分推断全体”的统计推断方法从大量数据中抽象出来的，因此是无法验证的。所以“等可能性”的教学应在以上“三步式”的基础上扩展成“五步式”： 猜测—试验—分析—推断—结论。例如六年级教学“可能性”时，教学过程可以按此模式设计：
1、合作试验，引导探索
①.试验前猜想
提问：任意抛一次硬币，猜猜会抛到哪一面？正面和反面朝上的可能性会怎样呢？ ②.学生分组试验，收集并分析数据
试验一：教师抛一次硬币。
体会：事件发生的随机性和结果的客观存在性。
试验二：等分小组，在相同的试验条件下，每人试抛2次硬币。
引发学生质疑，再次体会事件发生的随机性，并引发认知冲突，我们的猜想正确吗？怎样才能推测我们的猜想正确呢？
试验三：等分小组，在相同的试验条件下，每组试抛40次硬币。
收集数据，统计数据，计算比值，制成折线统计图。
指导学生看图，初步体验比值（频率）会比 高或低，但基本在 附近摆动。
2、正确推断，理解概率
①.出示科学家的数据表，进行推断
历史上科学家抛硬币实验结果统计表
试验者总次数正面朝上次数反面朝上次数正面朝上与反面朝上的相差数布丰40402048199256费勒10xxxxxxxxxxxx罗曼80640402994034142皮尔逊120006019598138 让学生计算比值后，同样制成折线统计图，进一步体会随着试验次数的不断增多，比值（频率）就稳定在 。
②.结合意义，理解用分数表示可能性
想一想，任意抛一次硬币，正面朝上的可能性是多少？
引导学生从意义上理解：抛的结果只有两种可能，而且这两种结果的可能性相等，那么其中一种结果出现的可能性是 。
在运用“三步式”（五步式）教学模式解决有关概率方面的问题时，要注意以下几点：
A、必须为学生提供现实性的学习背景
数学即生活，现实生活是孕育数学的沃土，概率的教学内容同样也源于学生的现实生活世界，因此在教学中要捕捉生活背景与学习材料之间的内在联系，以学生喜闻乐见的贴近学生现实的生活情境来呈现，帮助学生用生活中的经验和实例学习数学，理解数学，感受数学。如：在教学“游戏的公平性”时，可以这样唤醒学生已有的常识和经验：同学们玩过飞行棋吗?一般用什么方法决定谁先走的呢？学生有回答用剪刀、石子、布的，有用掷硬币的，有猜手心手背的等。这种可以决定谁先谁后的经验在儿童中是经常用到的游戏规则，也是这节课中“公平性”的生活原型。
B、让学生经历试验的活动过程，体验“可能性”
数学教学中要充分考虑学生主体性的发挥，为学生进行数学活动提供充分的思维空间和从事数学活动的机会，让学生亲历“做数学”的过程，这在可能性的探究中表现更为明显。可能性研究的是随机事件发生偶然性中的必然规律，所以如果不经历随机的体验过程，学生是很难建立相关观念的。通过随机试验、数据分析和结论推断，可以让学生体验日常生活中存在大量不确定性现象，有些事情可能发生，有些事情不可能发生，分析这些现象可以找到规律，渗透随机和概率思想。
C、正确处理上课时的“坏”数据
随机事件的统计规律，实际上要排除“长序列连续出现正(反)面”“正(反)面出现的频率大幅度偏离”的极端情况，因为这些情况的发生在大量的试验中将是小概率事件。但学生没有系统的概率知识，这无法和他们解释。当他们面对自己手中杂乱的10次或40次的试验结果，找不到规律，思考就会遇到障碍。为了帮助学生跳出困境，充分利用已有数据，在课堂上对更多的试验结果进行探索，发现规律，教师可以引导学生将数据累积起来看：10次、20次、40次、160次……再联系历史上数学家的试验数据，并启发他们以抛掷的总次数为“参照物”，用相对的眼光来观察数据，从而发现随机事件的统计规律。这样组织学生体会可能性，更符合概率的思想。
5.随堂练习
练习是课堂教学的重要环节，是巩固知识、运用知识、训练技能技巧的必要手段，是检查教学效果的有效途径。如何让小学数学练习的设计有效，是有效教学管理理念下教师们所应该共同思考的问题。以下是我们课题组所做的几点总结：
（1）立足课本，注意基础性
新课程理念强调“人人都获得必需的数学”，这体现了数学是一门基础性学科，而小学数学中的概念、性质、法则、数量关系和内容反映出来的数学思想方法等是学生进一步学习的基础，必须使学生学好、用好，因此我们在设计练习时要力求把握基础，使练习有助于学生对基础知识的认识，理解，对基本技能的形成，对数学思想方法的巩固。如学习了《长方体和正方体的认识》后，可设计如下的练习：长方体有几个面？它们是什么形状？相对的面有何关系？正方体有几个面？ 它们是什么形状？这些面有何关系？为什么说正方体是特殊的长方体？通过这些练习，使学生能很清楚地掌握长方体和正方体的基本特征，而且形成知识体系，为进一步学习形体知识建构基础。
（2）抓住重点，注意针对性
有的放矢地设计练习，是提高练习和教学效率的重要措施。平常，我们在教学中经常会遇到这种情况，学生对老师所教学的新内容很快表示理解，并对模仿性的练习做得很好，但是，在做综合练习时，很多学生就会不同程度地出现错误，反映了学生对知识的一知半解。因此，在平时教学中，要善于总结经验，针对学生常常错的或预测学生可能会错的题，设计针对性的练习，帮助学生领会知识的实质。
（3）联系生活，注意应用性
数学源于生活，又高于生活。数学练习的设计一定要贴近学生熟悉的现实生活，不断沟通生活中的数学与教材的联系，使生活和数学融为一体。这样的数学练习才能有益于学生理解数学。联系生活实际进行练习设计，让学生体会生活中处处有数学，从自己身边的情景中可以看到数学问题，运用数学可以解决实际问题。让学生觉得学习数学是有用的，使他们对学习数学更感兴趣。
（4）动手操作，注意实践性
新课标指出：“数学课程应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程。”学习数学的重要目的也在于用数学知识去解决日常生活学习工作中的实际问题。数学教学如果脱离实际，那数学学习就成了“无本之木，无源之水”，更谈不上学生有意义地学习数学和获得有意义的数学知识的目的。为此，倡导数学练习设计的实践性，在体验中学习知识，在实践中运用知识、盘活知识，通过实践使之再学习、再探索、再提高，这不失之为一种好的练习方法。
（5）新颖有趣，注意趣味性
儿童的心理特点是好奇、好动、好玩。设计练习时要考虑到儿童的心理特点，从新的练习形式、题型出发，避免呆板、单调重复的练习模式，保持练习的形式新颖，生动有趣。也可以根据学生年龄和心理特点，从学生的生活经验出发，设计生动有趣、直观形象的数学练习，如运用猜谜语、讲故事、做游戏、模拟表演、各类小竞赛等。这种游戏性、趣味性、竞赛性的练习，既能激发学生的求知欲望，培养学生做练习的兴趣，又能取得满意的练习效果，使学生在轻松、愉快的氛围中完成练习，在生动具体的情境中理解和认识数学知识，我们何乐而不为呢？
（6）循序渐进，注意层次性
新课程的基本理念指出：“数学教育要面向全体学生……不同的人在数学上得到不同的发展。”所以我们所有的练习设计都应充分体现因材施教的原则，应该从教材和学生的实际出发，有针对性地设计练习，要充分考虑到学生的差异存在，在练习数量和质量的要求上做
一些机动，使练习具有层次性，可以满足各层次学生的需要。练习设计中的层次性，就是指练习有坡度，由易到难，从简单到复杂，使每个层次的学生都有“事”可做。
（7）训练思维，注意开放性
设计练习时，有意识地设计一些能开拓学生思路的，有利于学生自主探索不同解决问题策略的，或者设计一些条件多余的，或者答案不唯一的开放题。有利于不同水平学生展开发散思维，有利于学生大胆创新，培养学生的推理能力和创新意识。因此，在教学时，设计一些开放性的练习，给学生提供较为广阔的创造时空，激发并培养学生的求异思维。
6.精选作业
《数学课程标准》指出新的理念：“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”新课程的作业已不再完全是课堂教学的附属，更而是重建与提升课程意义及人生意义的重要内容。下面就课题组在几个试点学校搞的作业改革总结如下：
（1）变“乏味”为“趣味”
著名心理学家布鲁纳曾说：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣。”布置的作业从“写”的单一形式中走出来，将数学知识融入生动有趣的活动中，与画画、游戏、制作、参观、访问等学生喜闻乐见的形式巧妙结合，把知识、技能的训练与非智力因素的培养和智力因素的开发活动巧妙联系，使之符合小学生好动和形象思维为主的心理特点，让作业变得更“生动、有趣”。
（2）变“被动”为“主动”
《数学课程标准》指出：“学生是学习的主体，是学习的主人。教师是学生学习的合作者、引导者和参与者。”实施新课程的一个重要方面是必须充分发挥学生主体的积极性、主动性和创造性。因此，作业设计要为学生提供自主探索、主动获取知识、分析运用知识的机会。学生通过对自己的作业进行自我设计、自我控制、自我解答，变“要我做”为“我要做”，从而成为学习的主动者、探索者和成功者。
（3）变“独立”为“合作”
新课程标准明确指出，学生的合作精神与能力是重要的培养目标之一。新课程的生成性、建构性，也要求学生必须加强合作，学会合作。学生面临的作业更多的将是探究性作业，作业过程需要学生密切合作。打破传统作业“独立作战”的形式，变个体型为合作型，采用互动协作原则，让学生与学生，学生与家长，学生与教师相互切磋，共同合作完成作业。 常用的布置作业的几种类型：
（1）“超市”型作业 （2）“编导” 型作业 （3）“侦探” 型作业
（4）亲情型作业 （5）友情型作业
二、教师的变化
经过实践，我们的教师发生了很大的变化。全县教师通过对课程标准的学习从理念上得到了提升。通过教师业务基本能力的测试和基本功训练提高了教师的基本能力。通过全县“立标、学标活动”提高了教师们对教学模式的再认识。尤其对许多偏远农村的教师，他们也找到了课堂教学的路子，在这种模式下提高了课堂教学效率。具体如下：
（一）教育观念的变化
过去教师总是教学过程的控制者、教学活动的组织者、教学内容的制定者和学生学习成绩的评判者，而且是绝对的权威。但是经过实践，教师具有了教育民主与平等，以学生为本，终身学习，以学生为主体，重创新，重社会实践等与时俱进的教育理念。教师是学生学习的合作者、引导者和参与者，教学过程是师生交往、共同发展的互动过程。课堂中让学生成为教学过程的主体，学生的发展是教学活动的出发点和归宿，学习应是发展学生心智，形成健全人格的重要途径。我们意识到学生是发展的人，他们的身心发展是有规律的，学
生是具有巨大发展潜能的人。在教学工作中我们认真研究和遵循学生的成长规律，不能急于求成，拔苗助长，也不能等待观望，放任自流。要调动学生自身的学习潜能，进行自主学习，成为课堂学习的主人。
（二）教学方式的变化
1、创设情境，激发学生学习兴趣
在课堂教学中，我们合理创设情境，不仅激发学生的学习兴趣，帮助学生理解教材内容，而且能激起学生的认知系统，拓展思维，成为学习的主人。让学生在情境中学，能给枯燥的学习生活带来活力。从学生喜闻乐见的生活实际出发，以图画情境展现，使学生亲身体验数学就在生活当中，给学生提供充分动手操作，自主探索和交流的机会，让学生主动研究充满数学的实际问题，使不同学生获得对数学理解的同时，思维能力，情感态度等方面都得到进步。在创设情境中我们注意情境的生活化、故事化、现实性，要根据不同的年级不同的课型来定。
2、学生动手操作、合作交流
教育家波利亚说：学习任何知识的最佳途径是通过自己的实践活动去发现，因为这样认识最深，也最容易掌握内在的规律、性质和联系。可见动手操作、合作学习在课堂中具有多么重要的作用。
对学生来说，动手操作是一种以“动”促“思”、调动学生他们全身心投入学习中的一个好办法。在课堂上，我们给学生动手参与的机会，充分发挥学生的主体作用。这对培养学生的发散思维、动手能力、创新意识和探索精神都非常有益。
学生通过直观操作、合作交流，亲身经历了知识产生的过程。因此，数学课堂教学中我们更多的给学生创造动手操作的机会，使学生在动中学习，在动手中思维。这样既发挥了学生之间的互补作用，又培养了学生的合作精神和创新意识，使学生的思维得以开拓、观察能力、操作能力和思维能力也得到锻炼。
3、给学生创造平等参与学习的机会
首先，我们为每一个学生创造平等的参与学习的机会。 可以“先学后教”、“先做后说”，这是因为这些教学策略的实施，更可能为所有学生提供平等和有效的学习机会。其次，我们还创造人人都有自尊、都有安全感的课堂教学氛围，重要的是教师必须学会宽容和善待“后进生”。因为我们知道：一颗健康、好学、进取的心比什么都重要。
（三）评价方式的转变
我们对学生的评价注重发现和发展学生多方面的潜能，了解学生发展中的要求，帮助学生认识自我，建立自信，评价方式，全面考察学生的综合素质和创新能力。评价方式的改变对学生学习方式的影响也是显而易见的。改变评价方式，不再用考试分数评价学生，考试也不是衡量一个人的唯一标准，要重点培养学生的能力。
我们的数学课堂教学注重关注学生的个性。“先学后教”、“先做后说”，为不同的学生提供不同的习题，给予有针对评价
三、学生的变化
学生在学习方式、学习态度、情感与兴趣上有了很大改观。我们认为学生解决实际问题的能力提高了，学生的学习态度有所改进，学生的学习方式有所改进，学生更加喜欢学习了。他们可以独立自主地发现问题，研究问题、掌握解决问题的方法，获得情感体验，具有批判意识和怀疑精神。能够在学习中积极思考，在解决问题中学习。学生的学习方式发生了很大的转变，学会了评价，课堂气氛较活跃。
在我们的教学课堂中，老师不再是简单地灌输，解答疑惑，而是设计一些源于生活的素材或话题，让学生利用已有的生活经验展开争论，在碰撞中学会思考和探究，学会科学的思维能力。伴随着教学方式的转变，学生的学习方式由原来的“被动接受学习”变为“主动发现
学习”。
（一）学生的问题意识增强了
在传统的教学环境下，教学过分注重知识的传授，把学生当作装知识的“容器”，没有思维的碰撞，缺乏生气和乐趣，缺乏对智慧的挑战和对好奇心的刺激，使教学变得机械、沉闷和程式化。这种教学方式导致学生被动、依赖、丧失主动性，过于服从权威，缺乏创新意识和创新能力。而现在，我们的学生主动学习，尤其是在课堂上经常提出质疑。
问题的学习方式已成为我们学生的意识。课堂上我们的学生自觉以问题为中心，围绕问题的发现、提出、分析和解决来组织自己的学习活动，并在这样的活动中逐步形成一种强烈而又稳定的问题意识，始终保持一种怀疑、困惑、焦虑、探究的心理状态。我们在进行教学时注重学生问题意识的培养，起初学生不知道怎么提问题，可是经过一段时间的培养与指导，学生们慢慢得学会了发问，学会了质疑，使课堂上充满了智慧火花。
俗话说，学问、学问，是“学”加“问”。爱因斯坦也曾说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”如果我们不围绕问题进行教学，那么教学活动便成为表面的、盲目的行为。
（二）学生学习方式的多样化
过去学生学习途径、手段比较单一，主要是通过教师的讲解、提问传授知识，更谈不上同伴间的合作学习。学习主体获取知识和技能主要甚至唯一依靠教师直接传授，缺乏更多的学习途径和手段。学生“两耳不闻窗外事，一心只读圣贤书”。现在，我们的教学中注重学生同伴间的交流与合作，学生将自身的学习行为有机融入到小组或团队的集体学习活动之中，在完成共同的学习任务时，展开有明确责任分工的互助性学习。在合作学习的场景中，不仅学生，而且家长、老师、社区人员都可参与学生的学习，同学之间、师生之间、学生与家长之间、学生与社区人员之间可进行广泛的合作与交流，每一位学生都积极表达自己的意见，与他人共享学习资源。这样的学习方式有效转化和消除学生之间过度的学习压力，学生在学习中进行积极的沟通，形成学习的责任感、培养合作的精神和相互支持、配合的良好品质。
（三）评价方式的多样化
我们每个学生都有一个学生成长记录袋，主要是收集学生的作品、反映身体成长变化的照片、日常表现记录，还有诸如我的感受、好友的看法、家长的观点、同伴间的评价、老师的评语等等……清晰而又详细地记录了学生成长和进步过程。以往每学期末学生收到一张只有成绩和千篇一律的教师评语的成绩单，现在变成了一份充满人情味、内容丰富多彩的“个人写真集”，成绩不再是家长了解孩子的惟一途径，每一个孩子都是一个有着自己独特闪光点的可造之材。通过全面的评价，孩子们每天、每一阶段都有新的收获，每一天都有进步，在他们的脸上洋溢着成功的笑容。