等差数列的性质总结

1.等差数列的定义：an?an?1?d（d为常数）（n?2）；

2．等差数列通项公式：

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N) ， 首项:a1，公差:d，末项:an 推广： an?am?(n?m)d． 从而d?

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A

?a?b2

*

an?amn?m

；

或2A?a?b

（2）等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

4．等差数列的前n项和公式：

Sn?

n(a1?an)

2

?na1?

n(n?1)

2

d?

d2

n?(a1?

2

12

d)n?An?Bn

2

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数2n?1时，an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n?1?

?2n?1??a1?a2n?1?

2

??2n?1?an?1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列．

?

（2） 等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2． ⑶数列?an?是等差数列?an?kn?b（其中k,b是常数）。 （4）数列?an?是等差数列?Sn?An?Bn,（其中A、B是常数）。

2

6．等差数列的证明方法

定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列．

?

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项an?a1?(n?1)d

②奇数个数成等差，可设为?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差为2d）

8..等差数列的性质： （1）当公差d?0时，

等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

前n和Sn?na1?

n(n?1)

2

d?

d2

n?(a1?

2

d2

)n是关于n的二次函数且常数项为0.

（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。

（3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?2ap.

注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????，

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（4）若?an?、?bn?为等差数列，则??an?b?，??1an??2bn?都为等差数列

(5) 若{an}是等差数列，则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也成等差数列

（6）数列{an}为等差数列,每隔k(k?N)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等差数列

（7）设数列?an?是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

1.当项数为偶数2n时，

S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?S偶?a2?a4?a6?????a2n?

n?a1?a2n?1?

2

n?a2?a2n?

2

?nan

*

?nan?1

S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?=nd S奇S偶

?nannan?1

?anan?1

2、当项数为奇数2n?1时，则

??S奇?(n?1)an+1S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1?

??? ??

S?S?aS?naS偶nn+1n+1?奇偶偶???

（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）?an?、{bn}的前n和分别为An、Bn，且

则

（9）等差数列{an}的前n项和Sm?n，前m项和Sn?m，则前m+n项和Sm?n???m?n?

(10)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性

n?N。

*

AnBn

?f(n)，

anbn

?

(2n?1)an(2n?1)bn

?

A2n?1B2n?1

?f(2n?1).

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和 即当a1?0，d?0， 由?

?an?0?an?1?0

可得Sn达到最大值时的n值．

（2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

?an?0即 当a1?0，d?0， 由?可得Sn达到最小值时的n值．

a?0?n?1

或求?an?中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n?

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

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p?q2

第二篇：等差数列的性质总结

等差数列

1.等差数列的定义：（d为常数）（）；

2．等差数列通项公式：

        ，  首项:，公差:d，末项:

   推广： ．      从而；

3．等差中项

（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或

（2）等差中项：数列是等差数列

4．等差数列的前n项和公式：

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，S_n是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项

（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若或(常数) 是等差数列．

（2） 等差中项：数列是等差数列．

⑶数列是等差数列（其中是常数）。

（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若或(常数) 是等差数列．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项

②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；

③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）

8..等差数列的性质：

（1）当公差时，

等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；

前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

注：，

（4）若、为等差数列，则都为等差数列

(5) 若{}是等差数列，则 ，…也成等差数列

（6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列

（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和

1.当项数为偶数时，

2、当项数为奇数时，则

（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）、的前和分别为、，且，

则.

（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和

(10)求的最值

法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和

即当 由可得达到最大值时的值．

  （2） “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

即 当 由可得达到最小值时的值．

或求中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S _p = S _q则其对称轴为

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．