第六章 数列
一、考试要求
1．会根据数列前
项写出一个通项公式，会运用通项讨论其性质（如单调性），能用函数观点认识数列。
2．了解递推公式的意义，会根据递推公式写出数列的前几项，会求形如
型数列的通项公式。
3．理解等差数列的概念，会用其概念导出通项公式，了解等差中项的概念，能通过公式研究它的单调性。
4．会用倒序相加法推导前项和公式，掌握并能运用公式解决一些问题。
5．理解等比数列的概念并能运用它导出其通项公式，了解等比中项的概念，会通过通项公式研究它的单调性。
6．会用错位相减法推导等比数列前项和公式（分清
=1和≠1的情形），并运用公式解决一些问题。
7.理解和运用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等求数列的前项和。
二、重难点击
本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。
本章难点：对数列概念的理解，对公式理解和掌握对性质的运用，求和方法的运用，求通项的方法的运用，以及思想方法的运用，是本章的难点。
三、命题展望
数列任然会以客观题考察等差数列与等比数列的通项公式和前项和公式及性质，在解答题中，会保持以前的风格，理科注重数列与其它分支的综合能力的考察，文科则注重数列内部综合能力考察，在高考中，数列常考常新，其主要原因是它作为一个特殊函数。使它可以与函数、不等式、解析几何、三角等综合起来，这更体现了知识交叉命题原则得以贯彻；另一方面，因为数列研究的一些特殊方法（归纳—探索—验证）和数学思想（函数与方程，分类与整合），会命判开放性、探索性强的问题，又因为数列与生产、生活的联系，使数列应用题也倍受欢迎。
知识网络
第一课时 数列
知识要点
一、 数列的概念
1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作
简记
.
2．数列的第项
与项数的关系若用一个公式
给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。
3．数列可以看做定义域为
（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。
二、数列的表示方法
数列的表示方法有：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。
三、 数列的分类
1． 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。
2． 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。
3． 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。
四、数列通项与前项和
的关系
1．
2．
课前热身
1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式为 ( C )
Ａ．
B．
C．
D．
2.在数列
中，
的值为（ Ｄ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．数列的通项公式为 
,则数列各项中最小项是( B )
A．第４项 B．第５项 C．第６项 D．第７项
4．已知数列是递增数列，其通项公式为
,则实数
的取值范围是
5．数列的前项和
,，则
典例精析
题型一 归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式
⑴7，77，777，7777，…
⑵
⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9…
解析：⑴将数列变形为
，
⑵分开观察，正负号由
确定，分子是偶数2，分母是
，
，
， 
，故数列的通项公式可写成
⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得数列的通项公式为
点拨：联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。
题型二 应用
求数列通项
例2．已知数列的前项和，分别求其通项公式.
⑴
⑵
解析：⑴当
，
当
又
不适合上式，故
(2)
所以
所以
又
，可知为等差数列，公差为4
所以
也适合上式，故 
点拨：本例的关键是应用
求数列的通项，特别要注意验证
的值是否满足
的一般性通项公式。
三、利用递推关系求数列的通项
【例3】根据下列各个数列的首项和递推关系，求其通项公式
⑴
(2)
，
⑶
解析：⑴因为
，所以
所以
…，…，
以上
个式相加得
即：
⑵
⑶方法一、
又
可化为
方法二：∵
=…
方法三：
点拨：在递推关系中若
求用累加法，若
求用累乘法，若
，求用待定系数法或迭代法。
数学门诊
已知是数列的前项和，且满足
，其中
，又，求数列的通项公式。
错解：当
时，由已知得
又
，所以
于是
两式相减得，
，即 
于是
所以两式相减得 
所以
成等差数列，公差为6， 
也成等差数列，公差为6，从而
成等差数列，公差为6，
所以，
正解：当时，由已知得 又，
所以
于是
，两式相减得：，即
于是，所以，又
又
，所以
则
时
总结提高
1． 给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一
2． 由求时，要分=1和两种情况
3． 数列是一种特殊函数，因此通过研究数列的函数性质（单调性）来解决数列中的“最大项”与“和最小”等问题十分有效。
4． 给出与的递推关系，要求，常用思路是：一是利用
（）转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求。
课堂演练
1． 若数列的前项的
，那么这个数列的通项公式为（ D ）
A．
B．
Ｃ．
Ｄ．
解：=1时，
=6
时，
2．已知数列满足
，
（
），则
（ B ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
解：，
，
，
，
，…， 所以
3.定义一种运算“﹡”，对于满足以下运算性质：
=1，
，则，
用含的代数式表示为：
4.设
从
这三个整数中取值的数列，若
且
则中有0的个数为11
解：设有个0，则由有
+2(
+…+ 
+50=107,
.
所以在中有39个1或-1，
所以在有
个。
5.已知数列满足
，
⑴
⑵证明：
解：(1)∵ ∴
.
⑵证明：由已知
有
6.已知数列中，
试问 取何值时，取最大值？并求此最大值．
解：因为
当且仅当
时，
所以当
时 
，即
即
当
时， 
即
故当或8时，最大，
课外练习
一、选择题
１.数列3，-5，7，-9，11，…的一个通项公式是（ D ）
２.已知数列中，
则
的值为（ A ）
A．67 B．22 C．202 D．201
3设
，()，则
的大小关系是( C )
A． B．
C．
D．不能确定
解：因为
所以，选Ｃ．
1． 若数列满足：
，
，则
的值为（ Ｂ ）
解：，
由此猜想：
所以
，选Ｂ
二、填空题
5．已知数列的前项和
则
6．已知数列中，
，
,
65
解:
7．已知数列的通项
（），则数列的前30项中最大项和最小项分别是
解：构造函数
由函数性质可知，函数在
上递减，且
函数在
上递增且
三、解答题
8．已知中，
，前项和与
的关系是
，求
解：由得
9．在数列中，
（ ）为前项和.⑴求证：是以3为周期的周期函数
⑵求
10．设数列的前项和为，点
，
（）均在函数
的图像上，⑴求数列的通项公式
⑵设
是数列
的前前项和，求使得
对所有都成立的最小正整数
。
解：⑴依题意得：
⑵由⑴得：
成立，
当且仅当
故满足要求的
6.2
等差数列
知识要点
1． 等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差，用
表示。
2．递推关系与通项公式
由此联想到点
所在直线的斜率。
是数列成等差数列的充要条件。
３．等差中项：
若
成等差数列，则
称
的等差中项，且
；成等差数列是
的充要条件。
４．前项和公式
； 
变式：
是数列成等差数列的充要条件。
5．等差数列的基本性质
⑴
反之，不成立。
⑵
⑶
⑷
仍成等差数列。
６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
是等差数列
②中项法：
是等差数列
③通项公式法：
是等差数列
④前项和公式法：
是等差数列
课前热身：
1．等差数列中，
（ B ）
A．30 B．27 C．24 D．21
2．等差数列中，
A．14 B．15 C．16 D．17
3．等差数列的前项和为，当
变化时，若 
是一个定值，那么下列各数中也是定值的是（ A ）
解：
为定值，∴
为定值，
，选A
4．计算机执行以下程序：
⑴初始值
⑵
⑶
⑷
，则进行⑸，否则从⑵继续进行
⑸打印
⑹停止
那么，语句⑸打印出的数值为89
解：由题意知，程序每执行一次所得的值形成一个数列
是等差数列，且首项为5，公差为2，相应
的值恰为该数列的前项和，根据题意得：
解得 
所以
5．设，分别为等差数列与的前 项和
解：
典例精析
一、等差数列的判定与基本运算
例1：⑴已知数列前项和
①求证：为等差数列；②记数列 的前项和为，求 的表达式。
⑵数列中，是前项和，当时，
①求证：
是等差数列，
②设
，求的前项和
解：⑴：①证明：=1时，
，
当时，
也适合该式，∴
（）
②的表达式为：
⑵： ①证明：当时，
所以是以
为首项，2为公差的等差数列。
②：由①得
所以
所以
点拨：根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式。
二、公式的应用
例2：设等差数列的首项
及公差都为整数，前项和为
①若
，求数列的通项公式
②若
，求所有可能的数列的通项公式
解：①
所以数列的通项公式是：
②
由①+②得
所以
=11或=12
故所有可能的数
的通项公式是：
（
）
点拨：准确灵活运用等差数列的通项公式及前
项和公式，提高运算能力。
三、性质的应用
例3：已知等差数列中，公差
>0前项和为
，且满足：
，
①求数列的通项公式；
②设
，一个新数列
，若也是等差数列，求非零常数
；
③求
（）的最大值
解：为等差数列，
=14
∴数列的通项公式为
②由①知：
因为为等差数列，所以
成等差数列，所以
故所求非零常数
③的最大值：
点拨：①利用等差数列的“等和性”求出
，
，从而求出
及通项公式；
②先求出
的表达式，再由是等差数列列出关于的方程，解出
③可利用函数思想，求出
的最大值。
数学门诊
若数列是等差数列，数列满足
（），的前项和为，已知
，试问为何值时，取得最大值？并证明你的结论。
错解：因为，
可知是首项为正数的递减数列。
正解：
总结提高
1．在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公 式，如在等差数列中，
２．在五个量
中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的。
33．已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设
外，还可设
；四个数成等差数列时，可设为
4．在求解数列问题时，要注意函数思想，方程思想，消元及整体消元的方法的应用。
课堂演练
1．设是等差数列的前项和，若
（ A ）
A．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
解：
２．在等差数列中
， 则
等于（ B ）
A．40 Ｂ．42 Ｃ．43 Ｄ．45
解：
3．等差数列中，
，则前10或11项的和最大。
解：
∴为递减等差数列∴
为最大。
4．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110
解：∵
成等差数列，公差为D其首项为
，前10项的和为
５．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元，问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
解：设捕捞年后的总盈利为万元，则
答：捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元。
６．设等差数列的前项和为，已知
①求出公差的范围，
②指出
中哪一个值最大，并说明理由。
解：①
②
课外练习
一、 选择题
1． 已知数列是等差数列，
，其前10项的和
，则其公差等于( D )
2． 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为
，且
，则使
为整数的所有的值的个数有（ C ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：=
要使为整数只需12能被+2整除，
故=1，2，4，10，选C
3． 设等差数列的前项和为，若
等于( B )
A．63 B．45 C．36 D．27
解：
成等差数列
4． 已知等差数列中，
等于（ A ）
A．15 B．30 C．31 D．64
二、填空题
5． 设为等差数列的前项和，
=54
6． 已知等差数列的前项和为，若
7． 设F是椭圆
的右焦点，且椭圆上至少有21个不同点
组成公差为的等差数列，则的取值范围为
解：椭圆的焦点F到椭圆上的点最大、最小距离分别为
，由题意得：
三、解答题
8． 等差数列的前项和记为，已知
①求通项；②若=242，求
解：
由
，=242
9． 甲、乙两物体分别从相距70
的两处同时相向运动，甲第一分钟走2，以后每分钟比前一分钟多走1，乙每分钟走5，①甲、乙开始运动后几分钟相遇？②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1，乙继续每分钟走5，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？
解：①设分钟后第一次相遇，依题意有：
故第一次相遇是在开始运动后7分钟。
②设分钟后第二次相遇，则：
故第二次相遇是在开始运动后15分钟
10．已知数列中，
前和
①求证：数列是等差数列
②求数列的通项公式
③设数列
的前项和为，是否存在实数
，使得
对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。
解：①∵
∴数列为等差数列。
②
③
要使得对一切正整数恒成立，只要≥
，所以存在实数使得对一切正整数
都成立，的最小值为。
6.3等比数列
知识要点
1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为
。
2． 递推关系与通项公式
3． 等比中项：若三个数
成等比数列，则称
为
的等比中项，且为
是成等比数列的必要而不充分条件。
4． 前项和公式
5． 等比数列的基本性质，
①
反之不真！
②
③为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。
④
仍成等比数列。
6． 等比数列与等比数列的转化
①是等差数列
是等比数列；
②是正项等比数列
是等差数列；
③既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。
7． 等比数列的判定法
①定义法：
为等比数列；
②中项法：
为等比数列；
③通项公式法：
为等比数列；④前项和法：
为等比数列。
课前热身
1． 如果-1，，-9成等比数列，那么（ B ）
Ａ．=3，
=9 B．=-3，=-9 Ｃ． =3，=-9 D．=-3，=-9
2． 在等比数列中，若
，则此数列的前10项之积等于（ C ）
3． 
4． 已知数列是等比数列，且
70
5． 在数列中，若
，则通项=
典例精析
一、 等比数列的基本运算与判定
例1：⑴设首项为
，公比为
的等比数列的前项和为80，前2项的和为6560，求此数列的首项与公比。
⑵设数列的首项
，且
①求
②判断数列
是否为等比数列，并证明你的结论。
解：⑴∵显然≠1∴
①
②
①②两式相除，得
③
将
代入①得
=－1 ④
由③④得=2，=3
⑵①
②∵
猜想：是等比数列，公比为
。
证明如下：∵
即：
，∴是首项为
，公比为的等比数列。
点拨：①运用等比数列的基本公式，将已知条件转化为关于等比数列的特征量
，的方程是求解等比数列问题的常用方法之一，同时应注意在使用等比数列前项和公式时，应充分讨论公比是否等于1；
②应用定义判断数列是否是等比数列是最直接，最有依据的方法，也是通法，若判断一个数列是等比数列可用
恒成立，也可用
恒成立，若判定一个数不是等比数列则只需举出反例即可，也可以用反证法。
二、性质运用
例2：⑴在等比数列中，
①求，
②若
⑵在等比数列中，若
，则有等式
成立，类比上述性质，相应的在等比数列中，若
则有等式 成立。
解：⑴①由等比数列的性质可知：
②由等比数列的性质可知，
是等差数列，因为
⑵由题设可知，如果
在等差数列中有
成立，我们知道，如果
，而对于等比数列，则有
所以可以得出结论，若
成立，在本题中
点拨：历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握。
三、综合运用
例3：已知
在函数
的图像上，
①证明数列
是等比数列，
②设
，求 及数列的题项公式，
③记
，求数列的前 项和，并证明：
解：①由已知
，
所以，数列是公比为2的等比数列。
②:由①知
③因为，
点拨：本例复习了数列中的有关知识，以函数为起点，得到数列的递推关系，构造新数列进行解答，求和过程中体现了裂项求和法，这是数列中的经典方法，属于应掌握好的知识。
数学门诊：
已知等差数列的首项=1，公差>0，且第2项，第5项，第14项分别是等比数列的第2项，第3项，第4项。
①求数列与的通项公式；
②设数列对均有
解：①由已知有：
②错解：
②正解：
点拨：本题易出现求得通项为
的错误结论，也导致求和出现问题，因此条件≥2千万不能忽视。
总结提高：
1. 方程思想，即等比数列中5个量，，，，，一般可“知三求二”，通过求和与通项两公式列方程组求解。
2. “错位相减法”求和是解决由等差数列和等比数列的对应项的积组成的数列
求和的常用方法。
3. 对于已知数列递推公式与的混合关系式，利用公式
，再引入辅助数列，转化为等比数列问题求解。
4. 分类讨论思想：当>0，>1或<0，0<<1时，等比数列为递增数列；当>0，0<<1或<0，>1时，为递减数列；<0时，为摆动数列；=1时，为常数列。
课堂演练
1． 在等比数列中，=2，前项和为，若数列
也是等比数列，则等于（ C ）
2． 在各项均为正数的等比数列中，若
等于（ B ）
A．12 B．10 C．８ D．
3． 等比数列的前项和为，已知
成等差数列，则的公比为
。
4． 设为公比为>1的等比数列，若
的两根，则
= 162
解：因为
分别为
5． 数列的前项和=2－1，数列满足：
（）。
①求证：为等比数列；
②求数列的前项和。
解：①由=2－1，有
②因为
6． 设为等比数列，
，①求最小的自然数，使≥2007，②求和： 
解：①由已知条件得
故使≥2007成立的最小自然数=8
②因为:
①
②
①+②得：
课外练习
一、 选择题
1． 在正数等比数列中，
是方程
的两个根，则
的值为（ B ）
Ａ．32 Ｂ．64 Ｃ．
Ｄ．256
2． 已知等比数列的公比为（为实数），前项和为，且
成等差数列，则
等于（ B ）
3． 设等差数列的公差不为零，=9，若
的等比中项，则
等于（ B ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：由条件知，
4． 已知等比数列的前项和
（ D ）
A．3 B．1 C．0 D．－１
5． 三角形三边成等比数列，则公比
的取值范围是
解：设三角形三边为
则有
6． 在等比数列
中，
解：
7．一种专门占据计算机内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后 45 分钟，该病毒占据内存64KB（1MB=
KB）
解：设病毒自身复制了
次，即有：
从而复制的时间
三、解答题
8．有四个数成等比数列，它们的积为16，且第4个数与第2个数的比也是16，求这四个数。
解：设这四个数分别为
注意：如果将四个数设为
将会漏解。
9．数列的前项的和为
(
)，点（
，）在直线
上，
①若数列
成等比数列，求常数
的值；
②求数列的通项公式；
③求数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出适合条件的项，若不存在，请说明理由。
解：①由题意知，=2-3
②
由①知，
③假设存在
，因为为递增数
列，故设：
所以这样的三项不存在。
10． 若公比为的等比数列的首项
=1，且满
①求的值，②求数列
的前项和。
解：①由题设，当≥3时，
②：由①需要分两种情况讨论
当=1时，数列是一个常数列，即=1，（）这时，数列的前项和
。
当=
时，数列是一个公比为的等比数列。即
这时，数列的前项和
①
①式两边同乘以，得
6.4 数列求和
知识要点
１． 求数列前项和的基本方法
⑴直接用等差、等比数列的求和公式求和；
公比含字母时一定要讨论。
为无穷递缩等比数列时，
⑵错位相减法求和：如为等差数列，
为等比数列，求
的和。
⑶分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
⑷合并求和：如求
的和。
⑸裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项：
⑹公式法求和：
⑺倒序相加法求和
⑻其它求和法：如归纳猜想法、奇偶法等。
2．⑴直接用公式求和时，要注意公式的应用范围和公式的推导过程。
⑵求一般数列的前项和，无通法可循，为此平时要注意掌握某些特殊数列前项和的求法。
⑶数列求和时，要注意观察它的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
课前热身
1．设数列
2．已知数列的前项和
３．
等于（ D ）
4．数列是等差数列， 
100
５．已知数列中，=1，
2+3，
=4+5+6，
。
典例精析
一、 错位相减法求和
例1：求和：
解：⑴
⑵
①
②
由①－②得：
点拨：①若数列是等差数列，是等比数列，则求数列
的前项和时，可采用错位相减法；
②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；
③当将与相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。
二、裂项相消法求和
例2：数列满足=8，
（）
①求数列的通项公式；
②设
（）若对任意非零自然数，
恒成立，求最大的整数
的值。
解：①由
知
，
从而可知数列为等差数列，设其公比为
，则
所以，=8＋（－1）×（－2）＝―10－2
②
对一切恒成立。
故的最大整数值为5。
点拨：①若数列的通项能转化为
的形式，常采用裂项相消法求和。
②使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。
三、 奇偶分析法求和
例3：设二次函数
（）时，
的函数值的所有整数值的个数记为
。①求的表达式；②设
求
解：①（）时，
函数
是增函数，则的值域为
②
点拨：先从偶数入手，求得，而当为奇数时，则－1为偶数，利用
求解。
数学门诊
已知为数列的前项和，且
①求证：数列
为等比数列；
②设
，求数列的前项和
。
解：①令=1，则
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列。
②错解：由①知，
由于在解题过程中出现
的情况，导致此种错误原因，是忽略了对的奇偶情况的讨论。
正解：由①知，
总结提高
1．常用基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，分析数列通项公式的特征联想相应的求和方法既是根本，也是关键。
2． 数列求和实质就是求数列
的通项公式，它几乎含盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练。
课堂演练
1．数列
的前项和为（ ）
2．2×3＋3×4＋4×5＋…＋（＋1）（＋2）等于（ C ）
4． 数列满足：=1，
，其前项和为，则
5． 数列满足：=1，
，①求通项公式
②求数列前项和
解：①因为
由此可知，的ji奇数项和偶数项分别构成等差数列
②当为偶数时，
当为奇数时
6． 在等差数列中，=1，前项和满足
①求数列的通项公式
②记
，求数列的前项和
。
解：①设数列的公差为，由
所以=
②由，有
所以
①
②
①－②得
课外练习
１． 数列的前项和为，若
等于（ B ）
２．化简：
的结果是( D )
２． 已知等差数列的前项和是，
已知奇函数
４．的定义域为
，且是以2为周期的周期函数，数列是首项为
，公差为1的等差数列，那么
的值为（ C ）
A．－1 B．1 C．0 D．10
解：因为函数的定义域为，且是以2为周期的周期函数，
所以
又数列是首项为，公差为1的等差数列
故原式=0，选C。
二、填空题
５．设等比数列的公比与前项和分别为和，且≠1，
6．数列满足
，则数列的前项和为
= 
）
７．数列
的前100项的和为
。
解:∵
∴
三、解答题
8．设数列满足
（）
①求数列的通项公式；
②设
，求数列的前项和
解：①因为
①
当≥2时，
②
①－②得：
②因为
9．已知数列满足
①求数列的通项公式；
②求
的值。
解：①因为
②因为
（≥2）
10.已知函数
是函数图像上的两点，且线段
。
①求证：点P的纵坐标是定值；
②若数列的通项公式为
，求数列前
；
③若
（>0）恒成立，求实数的取值范围。
解：①因为
②因为
由①知，当
③由
6．5数列的综合应用
知识要点
一、数列综合问题中应用的数学思想
1．用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在自然数集上的函数；
2．用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程；
3．用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列的研究；
4．数列综合问题常常应用分类讨论思想，特殊与一般思想，类比联想思想，归纳猜想思想等。
二、解决问题的主要思路有
1．把综合问题分解成几个简单的问题
2．把综合问题转化为熟悉的数学问题
3．通过观察，探索问题的一般规律性
4．建立数列模型，使用模型解决问题
三、实际问题的数列模型
依据实际问题的递推、等差、等比情境，将问题转换为递推数列、等差数列和等比数列，建立数列模型探究和解决实际应用问题。
课前热身
１． 某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，6小时后细胞成活的个数是（ B ）
A．63 B．65 C．67 D．71
２． 根据市场调查结果、预测某种家用商品从年初开始的几个月内积累的需求量（万件）近似的满足：
按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ C ）
A．5月，6月 B．6月，7月
C．7月，8月 D．8月，9月
解：
，
，所以=7或8，选C
３． 过圆
内一点(5，3)有
条弦,其长度组成等差数列,且最小弦长为数列的首项，最大弦长为m末项
，若公差
，则最大值为（ B ）
A．5 B．6 C．7 D．8
解：因为圆内过点（5，3）的最小的弦长为以（5，3）为中点的弦长为8，即=8，又最大的弦为直径，所以=10
４． 已知一个运算程序如下：
５． 某工厂20##年至20##年的产量和为100吨，20##年至20##年的产量和为121吨，则该工厂从20##年到20##年平均增长率为10﹪
解：设年平均增长率为
，则各年的年产量依次成等比数列，公比为1+，
典例精析
一、 函数与数列的综合问题
①设是常数，求证：成等差数列；
②若
，的前项和是，当
时，求
解：①
，
②
点拨：本例是数列与函数综合的基本题型之一，特 征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解。
二、数列模型实际应用问题
例2：某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到20##年底全县的绿化率已达30﹪，从20##年开始，每年将出现这样的局面：即原有沙漠面积的16﹪将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4﹪又被沙化。
①设全县面积为1，20##年底绿化面积为
，经过年绿化面积为
，求证：
②至少需要多少年（取整数）的努力，才能使全县的绿化率达到60﹪？
解：①证明：由已知可得确定后，表示如下：
=(1－4﹪)＋(1－)16﹪
即
②由
∴最小整数为5，故至少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60﹪.
点拨：解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题。
三、数列中的探索性问题
例3：已知点
（）顺次为直线上的点，点
顺次在
轴上的点，其中
，对于任意正整数，点
为顶点的等腰三角形，
①求数列
的通项公式，并证明它为等差数列；
②求证：
的通项公式；
③上述等腰三角形
中是否可能存在直角三角形，若可能求此时的值，若不可能，请说明理由。
解：①
为定值，所以为等差数列。
②由题意得：
③当为奇数时，
当为偶数时
点拨：本题关键依据几何性质及题设获取题目信息，找出数列的递推关系式或变化规律，转化为比较直接的数列问题来解。
数学门诊
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少
，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加
。
①设第年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为
，写出、的表达式。
②至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
错解：①第一年投入=800
②
所以 ≥3
正解: ①第一年投入800万元，
同理，第一年收入400万元，
②所以
故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入。
总结提高
1. 数列模型应用问题的求解策略
①认真审题，准确理解题意；
②依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式，前项和公式以及性质求解，或通过探索、归纳构造递推数列求解。
③验证、反思结果与实际是否相符。
2. 数列综合问题的求解策略
①数列与函数综合问题或应用数学思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列的知识求解；
②数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征建立数列的递推关系式，然后求解问题。
课堂演练
１． 一张报纸，其厚度为，面积为
，现将
纸对折7次，这时报纸的厚度和面积分别为（ C ）
２． 东北农场年初有森林木材存量
，木材以每 年25%的增长率增长，而每年末要砍伐固定的木材量，为实现经过2次砍伐后木材的存量增加50%，则的值是（ C ）
３． 设
，则
４． 光线通过一块玻璃板，其强度要失掉10%，若使光强度减弱为原来的
，则重叠以上相同的玻璃板的块数是 11 。
５． 某市20##年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于20##年投入128辆电力型辆公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：⑴该市在20##年应该投入多少辆电力型公交车？⑵到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车的总量？
解：⑴该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列，其中=128，=1.5，则在20##年应该投入的电力型公交车为
⑵记
，
因此≥8，所以到20##年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的。
６． 已知数列的等差数列，且
①求数列的通项公式；
②若数列满足
，记数列的前项和为，试证明：
对恒成立。
解：①设等差数列的公差为，
②
对恒成立。
课外练习
１． 等差数列共有2+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则等于（ B ）
A．9 B．10 C．11 D．12
２． 设是等差数列的前项和，若 
A．1 B．－1 C．2 D．
３． 在等比数列中，是前项和，若
，则公比等于（ C ）
A．1 B．－1 C．3 D．－3
４． 一正项等比数列前11项的几何平均值为32，从这11项中抽出一项后余下的10项的几何平均值为32，那么，抽出的这一项是（ A ）
A．第6项 B．第7项
C．第9项 D．第11项
５． 已知整数对的数列如下：（1，1）（1，2）
（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3）
（3，2）（4，1）（1，5）（2，4）…，则第60个
数对是（5，7）
６． 已知数列是等比数列，且 
７． △ABC内有任意不公线的2010个点，加上A.B.C三个点,共2013个点,把这2013个点连线形成互不重叠的小三角形,则一共可形成小三角形的个数为 4021
８． 已知正项数列的前项和为，
的等比中项，
①求证：数列是等差数列；
②若
，数列的前项和为，求
③在②的条件下，是否存在常数
，使得数列
为等比数列？若存在，试求出；若不存在，说明理由。
解：①的等比中项，
所以数列是等差数列。
②
所以当且仅当3+=0，即=－3时，数列 为等比数列。
９． 已知在正项数列中，=2，且
在双曲线
上，
数列中，
点（，）在直线
上，其中是数列的前项和，①求数列的通项公式；②求证：数列是等比数列。③若
。
解：①由已知带点在上知，
－＝１，所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列。
所以
②因为点（,）在直线上，
③
10．在数列中
，
①证明数列
是等比数列。
②求数列的前项和
③证明不等式
≤4对任意都成立。
解：①由
有
所以数列
是首项为1，且公比为4的等比数列。
②由①知
③对任意的，
所以不等式≤4对任意都成立。
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