高中数学知识框架总结

 





 

第二篇：(全)高中数学知识总结5

三、选择题解答策略

近几年来高考数学试题中选择题稳定在14～15道题，分值65分，占总分的43.3%。高考选择题注重多个知识点的小型综合，渗逶各种数学思想和方法，体现基础知识求深度的考基础考能力的导向;使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型。因此能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大。解答选择题的基本策略是准确、迅速。

准确是解答选择题的先决条件。选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分。所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。

迅速是赢得时间获取高分的必要条件。高考中考生不适应能力型的考试，致使“超时失分”是造成低分的一大因素。对于选择题的答题时间，应该控制在不超过50分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完。

选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，是否达到《考试说明》中的“了解、理解、掌握”三个层次的要求。历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的。它包括两个部分：题干，由一个不完整的陈述句或疑问句构成；备选答案，通常由四个选项A、B、C、D组成。

选择题的特殊结构决定了它具有相应的特殊作用与特点：由于选择题不需写出运算、推理等解答过程，在试卷上配有选择题时，可以增加试卷容量，扩大考查知识的覆盖面；阅卷简捷，评分客观，在一定程度上提高了试卷的效度与信度；侧重于考查学生是否能迅速选出正确答案，解题手段不拘常规，有利于考查学生的选择、判断能力；选择支中往往包括学生常犯的概念错误或运算、推理错误，所有具有较大的“迷惑性”。

一般地，解答选择题的策略是：① 熟练掌握各种基本题型的一般解法。② 结合高考单项选择题的结构（由“四选一”的指令、题干和选择项所构成）和不要求书写解题过程的特点，灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧。③ 挖掘题目“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择。

Ⅰ、示范性题组：

一、 直接法：

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则等知识，通过推理运算，得出结论，再对照选择项，从中选正确答案的方法叫直接法。

【例1】（96年高考题）若sinx>cosx,则x的取值范围是______。

    A．{x|2k－<x<2k＋,kZ}    B. {x|2k＋<x<2k＋,kZ}

    C. {x|k－<x<k＋,kZ}       D. {x|k＋<x<k＋,kZ}

【解】直接解三角不等式：由sinx>cosx得cosx－sinx<0,即cos2x<0，所以：      ＋2kπ<2x<＋2kπ，选D；

【另解】数形结合法：由已知得|sinx|>|cosx|，画出单位圆：

利用三角函数线，可知选D。

【例2】（96年高考题）设f(x)是(－∞，∞)是的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于______。

      A. 0.5      B. －0.5     C. 1.5      D. －1.5

【解】由f(x＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函数得f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以选B。

也可由f(x＋2)＝－f(x)，得到周期T＝4，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5。

【例3】（87年高考题）七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是_____。

      A. 1440     B. 3600      C. 4320     D. 4800

【解一】用排除法：七人并排站成一行，总的排法有P种，其中甲、乙两人相邻的排法有2×P种。因此，甲、乙两人必需不相邻的排法种数有：P－2×P＝3600,对照后应选B；

【解二】用插空法：P×P＝3600。

直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解。直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案。提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题目的“个性”，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“三基”的基础上，否则一味求快则会快中出错。

二、 特例法：

用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确判断的方法叫特例法。常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。

【例4】(97年高考题)定义在区间(-∞，∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0,+∞）的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式①f(b)－f(-a)>g(a)－g(-b);②f(b)－f(-a)<g(a)－g(-b);③f(a)－f(-b)>g(b)－g(-a);④f(a)－f(-b)<g(b)－g(-a).其中成立的是（   ）

  A. ①与④         B. ②与③     C. ①与③        D. ②与④

【解】令f(x)＝x，g(x)＝|x|，a＝2，b＝1,则：f(b)－f(-a)＝1－(－2)＝3, g(a)－g(-b)＝2－1=1,得到①式正确；f(a)－f(-b)＝2－（－1）＝3, g(b)－g(-a)＝1－2＝－1，得到③式正确。所以选C。

【另解】直接法：f(b)－f(-a)＝f(b)＋f(a)，g(a)－g(-b)＝g(a)－g(b)＝f(a)－f(b)，从而①式正确；f(a)－f(-b)＝f(a)＋f(b)，g(b)－g(-a)＝g(b)－g(a)＝f(b)－f(a)，从而③式正确。所以选C。

【例5】（85年高考题）如果n是正偶数，则C＋C＋…＋C＋C＝______。

     A. 2      B. 2       C. 2       D. (n－1)2

【解】用特值法：当n＝2时，代入得C＋C＝2,排除答案A、C；当n＝4时，代入得C＋C＋C＝8,排除答案D。所以选B。

【另解】直接法：由二项展开式系数的性质有C＋C＋…＋C＋C＝2，选B。

当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得愈简单愈好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略。近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30％左右。

三、 筛选法:

从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确判断的方法叫筛选法或剔除法。

【例6】（95年高考题）已知y＝log(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是_____。

      A. [0,1]    B. (1,2]    C. (0,2)    D. [2,+∞)

【解】∵ 2－ax是在[0,1]上是减函数，所以a>1，排除答案A、C；若a＝2，由2－ax>0得x<1，这与[0,1]不符合，排除答案C。所以选B。

【例7】（88年高考题）过抛物线y＝4x的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P和Q，那么线段PQ中点的轨迹方程是______。

     A. y＝2x－1      B. y＝2x－2       C. y＝－2x＋1     D. y＝－2x＋2

【解】筛选法：由已知可知轨迹曲线的顶点为(1,0)，开口向右，由此排除答案A、C、D，所以选B；

【另解】直接法：设过焦点的直线y＝k(x－1)，则，消y得：

kx－2(k＋2)x＋k＝0,中点坐标有，消k得y＝2x－2，选B。

筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题。当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择。它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中约占40％。

四、 代入法：

将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确判断的方法叫代入法，又称为验证法，即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案。

【例8】（97年高考题）函数y=sin(－2x)＋sin2x的最小正周期是_____。

   A．      B.       C. 2     D. 4

【解】代入法：f(x＋)＝sin[－2(x＋)]＋sin[2(x＋)]＝－f(x)，而

f(x＋π)＝sin[－2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x)。所以应选B；

【另解】直接法：y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin(2x＋)，T＝π，选B。

【例9】（96年高考题）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图的圆心角等于_____。

    A.           B.        C.           D.

【解】代入法：四个选项依次代入求得r分别为：、、、，再求得h分别为：、、、，最后计算体积取最大者，选D。

【另解】直接法：设底面半径r，则V＝πr＝π≤…

其中＝，得到r＝，所以＝2π／1＝，选D。

代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题。若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。

五、 图解法：

据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确判断的方法叫图解法或数形结合法。

【例10】（97年高考题）椭图C与椭圆＋＝1关于直线x＋y＝0对称，椭圆C的方程是_____。

     A．＋＝1      B. ＋＝1

     C. ＋＝1       D. ＋＝1

【解】图解法：作出椭圆及对称的椭圆C，由中心及焦点位置，容易得到选A。

【另解】直接法：设椭圆C上动点(x,y)，则对称点(－y，－x)，代入已知椭圆方程得＋＝1，整理即得所求曲线C方程，所以选A。

【例11】（87年高考题）在圆x＋y＝4上与直线4x＋3y－12=0距离最小的点的坐标是_____。

      A.  （，）     B. (,－)      C. (－,)     D. (－,－)

【解】图解法：在同一直角坐标系中作出圆x＋y＝4和直线4x＋3y－12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内，所以选A。

【直接法】先求得过原点的垂线，再与已知直线相交而得。

【例12】已知复数z的模为2，则 |z－ｉ| 的最大值为_______。

      A. 1      B. 2      C.       D. 3

【解】图解法：由复数模的几何意义，画出右图，可知当圆上的点到M的距离最大时即为|z－ｉ|最大。所以选D；

【另解】不等式法或代数法或三角法：

|z－ｉ|≤|z|＋|ｉ|＝3,所以选D。

数形结合，借助几何图形的直观性，迅速作正确的判断是高考考查的重点之一；97年高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占50％左右。

从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，不管是什么方法，甚至可以猜测。但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确理由与错误的原因，这样，才会在高考时充分利用题目自身的提供的信息，化常规为特殊，避免小题作，真正做到熟练、准确、快速、顺利完成三个层次的目标任务。

Ⅱ、巩固性题组：

1.（86年高考题）函数y＝（）＋1的反函数是______。

   A. y＝logx＋1 （x>0）       B. y＝log5＋1 （x>0且x≠1）

   C. y＝log(x－1)   (x>1)     D. y＝logx－1  (x>1)

2.（90年高考题）已知f(x)＝x＋ax＋bx－8,且f(－2)＝10，那么f(2)等于_____。

   A. －26     B. －18     C. －10     D. 10

3.一个凸多边形的最小内角为,各内角成等差数列，公差为,则此多边形的边数为_____。

   A. 9       B. 16      C. 9或16      D. 16或25

4.设a、b、c为实数，且cos2x＝acosx＋bcosx＋c恒成立，则a＋b＋c＝______。

   A. 2       B. 3        C. 4        D. 5

5.若a、b是任意实数，且a>b，则______。

   A. a>b      B. <1      C. lg(a－b)>0      D. （）<()

6.如果方程x＋ky＝2表示焦点在y轴上椭圆，那么实数k的取值范围是_____。

   A. (0,+∞)      B. (0,2)       C. (1,+∞)      D. (0,1)

7.中心在原点，准线方程为x＝±4，离心率为的椭圆方程是______。

   A. ＋＝1     B. ＋＝1     C. ＋y＝1     D. x＋＝1

8.已知正三棱台上、下底面边长分别为2和4,高为2，它被中截面截得的较大部分体积是_____。

   A.        B.       C.        D.

9.若α＝arg(2＋ｉ)，β＝arg(－3＋ｉ)，则β－α等于______。

   A.       B.       C. －      D. －

10. (95年高考题)等差数列{a}、{b}前n项和分别是S和T，若＝，则等于______。

   A.  1      B.       C.        D.

四、填空题解答策略

填空题是一种传统的题型，也是高考试卷中又一常见题型。近几年高考，都有一定数量的填空题，且稳定了4个小题左右，每题4分，共16分，越占全卷总分的11％。

填空题又叫填充题，是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚、准确。它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等。

根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：

一是定量型，要求学生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。

二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。

填空题不要求学生书写推理或者演算的过程，只要求直接填写结果，它和选择题一样，能够在短时间内作答，因而可加大高考试卷卷面的知识容量，同时也可以考查学生对数学概念的理解、数量问题的计算解决能力和推理论证能力。在解答填空题时，基本要求就是：正确、迅速、合理、简捷。一般来讲，每道题都应力争在1～3分钟内完成。填空题只要求填写结果，每道题填对了得满分，填错了得零分，所以，考生在填空题上失分一般比选择题和解答题严重。我们很有必要探讨填空题的解答策略和方法。

Ⅰ、示范性题组：

一、直接推演法：

直接法就是根据数学概念，或者运用数学的定义、定理、法则、公式等，从已知条件出发，进行推理或者计算得出结果后，将所得结论填入空位处，它是解填空题最基本、最常用的方法。

【例1】（94年高考题）已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0,π)，则ctgθ的值是       。

【解】已知等式两边平方得sinθcosθ＝－，解方程组得sinθ＝，cosθ＝，故答案为：－。

【另解】设tg＝t，再利用万能公式求解。

【例2】（95年高考题）方程log(x＋1)＋log(x＋1)＝5的解是        。

【解】由换底公式得4log(x＋1)＋log(x＋1)＝5，即log(x＋1)＝1,解得x＝3。

二、特值代入法：

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但题目暗示答案可能是一个定值时，可以将变量取一些特殊数值、特殊位置、或者一种特殊情况来求出这个定值，这样，简化了推理、论证的过程。

【例3】（89年高考题）已知(1－2x)＝a＋ax＋ax＋…＋ax，那么a＋a＋…＋a＝        。

【解】令x＝1，则有（－1）＝a＋a＋a＋…＋a＝－1；令x＝0,则有a＝1。所以a＋a＋…＋a＝－1－1=－2。

【例4】（90年高考题）在三棱柱ABC—A’B’C’中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB’C’F将三棱柱分成体积为V、V的两部分，那么V:V＝        。

【解】由题意分析，结论与三棱柱的具体形状无关，因此，可取一个特殊的直三棱柱，其底面积为4，高为1，则体积V＝4，而V＝（1＋＋4）=，V＝V－V＝，则V:V＝7:5。

三、图解法：

一些计算过程复杂的代数、三角、解析几何问题，可以作出有关函数的图像或者构造适当的几何图形，利用图示辅助进行直观分析，从而得出结论。这也就是数形结合的解题方法。

【例5】不等式>x＋1的解集是       。

【解】如图，在同一坐标系中画出函数y＝与y＝x＋1的图像，由图中可以直观地得到：－≤x<2，所以所求解集是[－,2)。

【例6】（93年高考题）若双曲线－＝1与圆x＋y＝1没有公共点，则实数k的取值范围是         。

【解】在同一坐标系中作出双曲线－＝1与圆x＋y＝1，由双曲线的顶点位置的坐标，可以得到|3k|>1,故求得实数k的取值范围是k>或k<－。