点线面之间的位置关系

基本性质1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.

基本性质2 经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

基本性质3 如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.

推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.

基本性质4 平行于同一直线的两条直线互相平行.

等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.

定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

直线和平面的位置关系有且只有三种

直线与平面平行的判定定理：

如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平

行，那么这条直线与这个平面平行。

直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。

判断两平面平行的方法有三种：

（1）定义法（没有公共点）；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

平面与平面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

定义：如果一条直线L和一个平面α相交于点O，并且和这个平面内过交点的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线L与这个平面α互相垂直。因此，如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直。

判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。

推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直。

两个平面互相垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

第二篇：高一,点线面之间的位置关系

授课对象：高一

授课内容：点线面之间的位置关系

一、知识回顾

一、直线与平面平行

1.判定方法

（1）定义法：直线与平面无公共点。

a??（2）判定定理： b??a//? a//b

（3）其他方法：?//?

a//?a??

a//?2.性质定理：a?? a//b

????b

二、平面与平面平行

1.判定方法

（1）定义法：两平面无公共点。

a//?

b//?

（2）判定定理：a?? ?//?

b??

a?b?P

（3）其他方法：a??

a?? ?//?; a//?

?//? ?//?

?//?

2.性质定理：????a a//b

????b

三、直线与平面垂直

（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。

（2）判定方法

① 用定义.

a?b

a?c

② 判定定理:b?c?Aa??

b??c??③ 推论:a??

a//b b??

（3）性质

①

四、平面与平面垂直

（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。

（2）判定定理

（3）性质 a??b?? a?b ②a??b?? a//ba??a?? ???

???

????l①性质定理 ??? a??

a?l

???

????l② A?l P??

PA??垂足为A

???

????④ PA?? P??

PA??

? “转化思想”

面面平行 线面平行 线线平行

面面垂直 线面垂直 线线垂直

? 求二面角

1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.

2.在二面角

叫做二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB的平面角

? 求线面夹角

定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角） 方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

①BC1与平面AB1所成的角的大小是___________；

②BD1与平面AB1所成的角的大小是___________；

③CC1与平面BC1D所成的角的大小是___________；

⑤ BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是___________；

⑥ BD1与平面BC1D所成的角的大小是___________；

? 求线线距离

说明：求异面直线距离的方法有：

(1)（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求．此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键．

(2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a、b距离，先作出过a且平行于b的平面?，则b与?距离就是a、b距离．（线面转化法）．

也可以转化为过a平行b的平面和过b平行于a的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离．（面面转化法）．

(3)（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求．

(4)（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解． 两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求．

1.若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）

A．若?//?,l??,n??，则l//n B．若???,l??，则l??

C. 若l??,l//?，则??? D．若l?n,m?n，则l//m

2.平面?与平面?平行的条件可以是（ ）

A.?内有无穷多条直线与?平行； B.直线a//?,a//?

C.直线a??,直线b??,且a//?,b//? D.?内的任何直线都与?平行

3.设m,n是两条不同的直线，?,?,?是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m??，n//?，则m?n ②若?//?，?//?，m??，则m??

③若m//?，n//?，则m//n ④若???，???，则?//? 其中正确命题的序号是 ( )

A．①和② B．②和③ C．③和④

4.下面推理过程，错误的是（ ）

（A） l//?,A?l?A?? D．①和④

（B） A?l,A??,B???l??

（C） A??,A??,B??,B???????AB

（D） A,B,C??,A,B,C??,并且A,B,C不共线????

5.已知棱长为a的正方体

求证：四边形是梯形。

中，M、N分别为CD、AD中点。 9.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD//平面CB1D1

D1C1

A1

D1C

A

10.在正方形

与DB上，若AM=BN=x。 中，已知正方体的棱长为，M、N分别在其对角线AD1

（1）求证：MN//平面CDD1C1；

（2）设MN=y，求y=f(x)的表达式；

（3）求MN的最小值，并求此时x的值；

（4）求AD1与BD所成的角。

11.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

AC＝3，BC＝4，AB=5,AA1＝4，点D是AB的中点，

（I）求证：AC⊥BC1；

（II）求证：AC 1//平面CDB1；

（III）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值．

12.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面ABC中，

。CA=CB=1,∠BCA=90,棱AA1=2,M,N分别是

A1B1,A1A的中点。

（1）求BN的长；

（2）求BA1 ，B1C夹角的余弦值；

（3）求证A1B⊥C1M

13.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，A1 M BN A B

?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA=AD=DC=1AB=1，M2

是PB的中点。

证明：面PAD⊥面PCD

14.已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，

?DAB?60?,PD?平面ABCD，PD=AD，点E为

AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB； （2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值.

15.如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N。

（1）求证：BC⊥面PAC；

（2）求证：PB⊥面AMN；

（3）若PA=AB=4，设∠BPC=θ，试用tanθ表示△AMN的面积，当tanθ取何值时，△AMN的面积最大？最大面积是多少？

P

16.如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC 求证：AB⊥BC

A