点线面位置关系复习

? 知识梳理

一、直线与平面平行

1.判定方法

（1）定义法：直线与平面无公共点。

a??（2）判定定理： b??a//? a//b

（3）其他方法：?//?

a//?a??

a//?2.性质定理：a?? a//b

????b二、平面与平面平行

1.判定方法

（1）定义法：两平面无公共点。

a//?

b//?

（2）判定定理：a?? ?//?

b??

a?b?P

（3）其他方法：a??

a?? ?//?; a//?

?//? ?//?

?//?

2.性质定理：????a a//b

????b

三、直线与平面垂直

（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。

（2）判定方法

① 用定义.

a?b

a?c

② 判定定理:b?c?Aa??

b??

c??

③ 推论:a??

a//b b??

1

（3）性质

①a??

b?? a?b

②a??

b?? a//b

四、平面与平面垂直

（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。

（2）判定定理

（3）性质 a??a?? ???

???

????l①性质定理 ??? a??

a?l

???

????l② A?l P??

PA??垂足为A

???

????④ PA?? P??

PA??

? “转化思想”

面面平行 线面平行 线线平行

面面垂直 线面垂直 线线垂直

练习巩固：

一、选择题

1．设 ?，?为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l??，m??，有如下的两个命题：①若??∥?，则l∥m；②若l⊥m，则??⊥?．那么( )．

A．①是真命题，②是假命题

C．①②都是真命题 B．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题

2．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )． ．．

A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1角为60°

3．关于直线m，n与平面??，?，有下列四个命题：

①m∥?，n∥??且??∥?，则m∥n；

③m⊥?，n∥??且??∥?，则m⊥n； (第2题) ②m⊥?，n⊥??且??⊥?，则m⊥n； ④m∥?，n⊥??且??⊥?，则m∥n．

2

其中真命题的序号是( )．

A．①② B．③④ C．①④ D．②③

4．给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行

②垂直于同一平面的两个平面互相平行

③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行

④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线

其中假命题的个数是( )． ．

A．1 B．2 C．3 D．4

5．下列命题中正确的个数是( )．

①若直线l上有无数个点不在平面???内，则l∥?

②若直线l与平面???平行，则l与平面???内的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行

④若直线l与平面???平行，则l与平面???内的任意一条直线都没有公共点

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6． 两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面( )．

A．不存在 B．有唯一的一个 C．有无数个 D．只有两个

7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )．

A．90° B．60° C．45° D．30°

8．下列说法中不正确的是( )． ．．．．

A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形

B．同一平面的两条垂线一定共面

C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内

D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

9．给出以下四个命题：

①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直

3

其中真命题的个数是( )．

A．4 B．3 C．2 D．1

10．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为( )．

A．[30°，90°] B．[60°，90°]

二、填空题

11．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为 ．

12．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为 ．

13．直线l与平面 ??所成角为30°，l∩?＝A，直线m∈?，则m与l所成角的取

值范围是 ．

14．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为 ．

三、解答题

15．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．

(1)求证：BC⊥AD；

(2)若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－BC－D的正弦值；

(3)设二面角A－BC－D的大小为 ?，猜想 ??为何值时，四面体A－BCD的体积最大．(不要求证明)

16． 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．

(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；

(2)求二面角E－DB－C的正切值.

(第12题)

C．[30°，60°] D．[30°，120°] J

4

答案：

一、选择题

1．D 解析：命题②有反例，如图中平面??∩平面??＝直线n，

l??，m??，且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面???不垂直平面 ?，??????????????????(第1题)

故②是假命题；命题①显然也是假命题，

2．D解析：异面直线AD与CB1角为45°．

3．D解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．

4．D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．

5．B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，

但AA1与平面ABCD相交，①不正确；A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于

BD，②不正确；A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，但AB?平面ABCD内，③不正

确；l与平面α平行，则l与???无公共点，l与平面???内的所有直线都没有公共

点，④正确，应选B． (第5题)

6．B解析：设平面 ??过l1，且 l2∥?，则 l1上一定点 P 与 l2 确定一平面 ??，??与 ??的交线l3∥l2，且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的直线只有一条，即 l3 有唯一性，所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的，即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的.

7．C解析：当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°．

8．D解析：A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．

9．B解析：因为①②④正确，故选B．

10．A解析：异面直线a，b所成的角为60°，直线c⊥a，过空间任一点 P，作直线 a’∥a， b’∥b， c’∥c. 若a’，b’，c’ 共面则 b’ 与 c’ 成 30° 角，否则 b’ 与

所成角的范围为[30°，90°] ．

二、填空题

11．

∴ c’ 所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b与c132S1S2S3．解析：设三条侧棱长为 a，b，c．则 111ab＝S1，bc＝S2，ca＝S3 三式相乘： 2221122211a b c＝S1S2S3，∴ abc＝22S1S2S3．∵ 三侧棱两两垂直，∴ V＝abc·＝23382S1S2S3． 12．60°．解析：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为60°．

13．[30°，90°]．解析：直线l与平面???所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在???内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的的最大值为90°．

5

14．61316．解析：作等积变换：?×(d1＋d2＋d3＋d4)＝?·h，而h＝． 334343

三、解答题

15．证明：(1)取BC中点O，连结AO，DO．

∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形，

∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O，

∴BC⊥平面AOD．又AD?平面AOD，

∴BC⊥AD． (第17题)

解：(2)由(1)知∠AOD为二面角A－BC－D的平面角，设∠AOD＝?，则过点D作DE⊥AD，垂足为E． ∵BC⊥平面ADO，且BC?平面ABC，

∴平面ADO⊥平面ABC．又平面ADO∩平面ABC＝AO，

∴DE⊥平面ABC．

∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE＝3．

又DO＝BD＝23， 2

DE＝， 2DO

3． 2在Rt△DEO中，sin?＝故二面角A－BC－D的正弦值为

(3)当 ?＝90°时，四面体ABCD的体积最大．

16．证明：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴?DEC?90?，即DE⊥EC．

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE?平面D1DCC1，

∴BC⊥DE．又EC?BC?C，∴DE⊥平面EBC．∵平面DEB过DE，∴平面DEB⊥平面EBC．

(2)解：如图，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∵面ABCD⊥面D1DCC1，∴EO⊥面ABCD．过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF，∴EF⊥BD．∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝1， 又OE＝1，所以，tan?EFO＝5．

6

第二篇：点线面知识总结

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1

（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，且横边画成邻边的2倍长（如图）

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为

A∈L

B∈

α

A∈α

B∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 0 L · C · · A B 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1 空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b

c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

4 注意点：

① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；

② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； =>a∥c ?

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：

a α

b β

∥

α a∥

b 2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示： a β

b β

a∩β∥α

a∥α

b∥α

2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：

a∥α

a β∥b

α∩β= b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：

α∥β

α∩γ∥b

β∩γ= b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

L

α

2、判定定理：

注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭

B

2α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

1．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）

A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B． l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D． l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面

2．（2012?上海）已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（ ）

A．m与n异面 B． m与n相交 C． m与n平行 D． m与n异面、相交、平行均有可能

3．（2011?浙江）若直线l不平行于平面α，且l?α，则（ ）

A．α内存在直线与l异面 B． α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交

4．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A．若l⊥m，m?α，则l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C． 若l∥α，m?α，则l∥m D． 若l∥α，m∥α，则l∥m

5．（2010?福建）如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（ ）

A． EH∥FG B． 四边形EFGH是矩形 C． Ω是棱柱 D． Ω是棱台

6．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（ ）

A．3 B．4 C．5 D． 6

7．垂直于同一平面的两条直线（ ） A． 平行 B． 垂直 C． 相交 D． 异面

8．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是（ ） A． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D． ②和④

9．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）

A． 存在一条直线a，a∥α，a∥β B． 存在一条直线a，a?α，a∥β

C． 存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α D． 存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α

10．过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（ ）

A． 4条 B． 6条 C． 8条 D． 12条

11．（2005?重庆）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：

①存在平面γ，使得α，β都平行于γ②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；

③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．

其中，可以判定α与β平行的条件有（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

12．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（ ）

A． α⊥β，α∩β=l，m⊥l B． α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ C． α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D． n⊥α，n⊥β，m⊥α

13．（2005?辽宁）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：

①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥α，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；

④若m、n是异面直线，m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，则α⊥β

其中真命题是（ ） A． ①和② B． ①和③ C． ③和④ D． ①和④

14．如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 _________ ；

15．已知平面α，β和直线，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α⊥β；⑤α∥β．

（i）当满足条件 _________ 时，有m∥β；（ii）当满足条件 _________ 时，有m⊥β．（填所选条件的序号）

16．（2012?盐城三模）已知α、β是两个不同的平面，下列四个条件：

①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；

③存在两条平行直线a、b，a?α，b?

β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a、b，a?α，b?β，a∥β，b∥α．

其中是平面α∥平面β的充分条件的为 _________ ．（填上所有符合要求的序号）

17．（2011?南京模拟）设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：

①若b?α，c∥α，则b∥c； ②若b?α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β； ④若c∥α，c⊥β，则α⊥β．

其中正确的命题是 _________ ．（写出所有正确命题的序号）

18．（2010?安徽模拟）已知直线a、b和平面α、β，下列命题正确的是 _________ ． （写出所有正确命题的编号）

①若α∥β，a∥α，则a∥β；②若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β；

③若α⊥β，a⊥β，则a∥α；④若a∥α，a⊥β，则α⊥β．

19．（2008?长宁区二模）已知直线a，b及平面α，下列命题中：①

④；②；③；．正确命题的序号为 _________ （注：把你认为正确的序号都填上）．

20．（2007?湖南模拟）对于不同的直线m，n和不同的平面α，β，给出下列命题：

①n∥α ②n∥m③m与n异面 ④

其中正确 的命题序号是 _________ ．

21．对于平面 α，β和直线 m，试用“⊥”和“∥”构造条件使之能推出 m⊥β

22．下列命题正确的序号是 _________ ；（其中l，m表示直线，α，β，γ表示平面）

（1）若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β；（2）若l⊥m，l?α，m?β，则α⊥β；

（3）若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β； （4）若l∥m，l⊥α，m?β则α⊥β

23．已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β其中正确命题的序号是 _________ ．

24．已知直线a，b，c，平面α，β，γ，并给出以下命题：

①若a?α，b∥α，则a∥b；②若a?α，b?β，且α∥β；则a∥b；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊥b，b∥c，则a⊥c；

其中正确的命题有 _________ ．

25．对直线m，n和平面α，β，有下列四个命题：

①若m∥n，m?α，n?β，则α∥β②若m⊥α，m⊥n，n?β，则α∥β③若m∥α，m⊥β，则 α⊥β ④若m∥n，m⊥α，则n⊥α．

其中正确的命题的序号为 _________ ．

26．对于直线m，n，和平面α，β，γ，有如下四个命题：

（1）若m∥α，m⊥n，，则n⊥α（2）若m⊥α，m⊥n，则n∥α（3）若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ（4）若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β 其中正确命题的序号是．

27．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β．给出下列命题：

①若a∥α，b∥β，且a∥β，则a∥b ②若a⊥α，b⊥β，且α⊥β，则a⊥b

③若a∥α，b∥β，且a∥b，则a∥β ④若a⊥α，b⊥β，且a⊥b，则α⊥β其中正确的题号是 _________ ．

28．关于直线m，n和平面α，β，有以下四个命题：

①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；②若m∥n，m?α，n⊥β，则α⊥β；

③若α∩β=m，m∥n，则n∥α且n∥β；④若m⊥n，α∩β=m，则n⊥α或n⊥β．

其中正确的命题序号是 _________ ．

29．设a，b，c为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列四个命题中的真命题是 ①．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a⊥c

③若a?α，b、c?β，a⊥b，a⊥c，则α⊥β ④若a⊥α，b?β，a∥b，则α⊥β

30．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，若过AC作平面α∥D1B，则截面三角形的面积为