必修五数学等差数列知识点精讲,经典例题真题剖析及训练

等差数列

     一、创设情景，揭示课题，研探新知

1.等差数列的定义：（1）等差数列的通项公式；（2）等差数列的求和公式。

2.等差数列的性质：

已知数列{}是等差数列，则

（1）对任意，，，；

（2）若，，，且，则

（3）等差数列前项和公式：或

注意：①等差数列前项和公式又可化成式子：，当，此式可看作二次项系数为，一次项系数为，常数项为零的二次式；②当时，有最小值；当时，有最大值；③图象：抛物线上的一群独立点。

（4）利用与的关系：

二、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 在等差数列中，，，求？

解法一：设该等差数列首项，公差，则，所以，．

解法二：在等差数列中，, －, －, ……, －, －, 成等差数列，

  ∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，10＋·D＝＝10, 解得D＝－22   ∴ －＝＋10×D＝－120, ∴ ＝－110.

拓展练习1：在等差数列中，，，则．

拓展练习2：已知数列是等差数列，是其前项和，若，，求

拓展练习3：已知等差数列前项和为，前项和为，求前项的和。（介绍依次项成等差）

例2 已知等差数列的项数为奇数，且奇数的和为，偶数项的和为，求此数列的中间项及项数。

解：设项数为，奇数项和记为_奇，偶数项和记为_偶，由题意，

_奇    ①

        _偶          ②

①②得，，解得，∴ 项数为7项，又_奇 ，∴ ，即中间项为．

说明：设数列是等差数列，且公差为，

（1）若项数为偶数，设共有项，则①奇偶；② ；

（2）若项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②．

例3在等差数列中，，，（1）该数列第几项开始为负？（2）前多少项和最大？

（3）求前项和？

解：设等差数列中，公差为，由题意得： 

（1）设第项开始为负，，， 所以从第项开始为负。

（2）（法一）设前项和为，则，

  所以，当时，前17项和最大。

（法二），则，，所以．

（3），

∴，

当时，， 当时，，

所以，．

说明：（1），时，有最大值；，时，有最小值；

    （2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；

②若已知，则最值时的值（）可如下确定或．

例4 已知数列的前项和为（1）；（2），求数列的通项公式。

例5（教材例5）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到0.1m）?

    解：卫生纸的厚度为0.1mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和。

由内向外各圈的半径分别为  

   因此各圈的周长分别为 

∵各圈半径组成首项为，公差为的等差数列，设圈数为，则

       ，     ∴

∴各圈的周长组成一个首项为，公差为，项数为40的等差数列，

        

答：满盘时卫生纸的总长度约是100米．说明：各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离。

例6（教材例6）教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象是在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为‰．

（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？

（2）零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少？（精确到1元）？

说明：教育储蓄可选择1年、3年、6年这三种存期，起存金额50元，存款总额不超过2万元。

解：（1）设每月存入元，则有‰）‰）‰）

由等差数列的求和公式，得：‰‰）  解得：（元）

（2）由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，∴3年期教育储蓄每月至多可存入（元），这样3年后的本息和为  ‰）‰）‰）

‰‰）（元）。

答：欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入535元。3年期教育储蓄每月至多存入555元，此时3年后本息合计约20756元。

四、巩固深化，反馈矫正

1.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差.（注意讨论的一般结论）

五、归纳整理，整体认识

让学生总结本节课的内容

     六、承上启下，留下悬念

补充：1．数列是首项为23，公差为整数的AP数列，且，，

     （1）求公差；（2）设前项和为，求的最大值；（3）当为正数时，求的最大值。

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1、设数列的通项公式为，则（   ）

  A、153            B、210            C、135             D、120

2、已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（  ）

 A、1              B、             C、             D、

3.若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是（   ）   

A、4005           B、4006           C、4007           D、4008

4、设是等差数列的前n项之和，且，则下列结论中错误的是（   ）

  A、         B、         C、        D、均为的最大项

5、已知数列满足，则=（   ）

    A、0   B、   C、 D、

6、△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=   （    ）

A、      B、      C、      D、

7、若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（   ）

    A、（1，2）   B、（2，+∞） C、[3，+∞   D、（3，+∞）

二、填空题：

8、在△ABC中，若三内角成等差数列，则最大内角与最小内角之和为______.

9、若在等差数列中，，则通项公式=______________

10、数列的通项公式，其前n项和时，则n等于_________

11、已知数列{a_n}，a₁=1,a₂=2,a_n+1²－a_na_n+2=(－1)ⁿ,则a₃=______,a₄=______.

12、在等差数列{a_n}中，a₅=－1,a₆=1，则a₅+a₆+…+a₁₅=______.

13、已知数列中，则数列的通项公式=______________

填空题

1．设为等差数列的前项和，若,则公差为_____________

2．在等差数列中，已知，那么等于_____________

3.等差数列前项和为，已知为______时，最大。

4.在等差数列{a_n}中，S₄=6,S₈=20,则S₁₆=            。

5.在等差数列{a_n}中，S₃=S₈,S₂=S_n,则n=            。

6.成等差数列的四个数之和为26，第一个数与第四个数积为22，则这四个数为            。

三、解答题

1．等差数列的前n项和记为.已知

（Ⅰ）求通项；（Ⅱ）若=242，求n的值。

2.已知数列{a_n}为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。

3.已知等差数列{a_n},a₁=29,S₁₀=S₂₀,问这个数列的前多少项的和最大？并求最大值。

4.已知数列{a_n}的前n项和为Sn=n²+C(C为常数)，求数列{a₀}的通项公式，并判断{a_n}是不是等差数列。

数学必修五等差数列习题

题型1  已知数列前几项求通项公式

1．数列  的通项公式=

题型2  由a_n与S_n的关系求通项公式

=

1． 已知数列的前项和，则         ．

2． 已知数列的前项和，则           ．

3.  设数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²+3n+2，求通项a_n的表达式，并指出此数列是否为等差数列.    

题型3  已知数列递推公式求通项公式

1． 已知数列的首项，且，则        ．

2. 数列中，，求的通项公式 ．

3.已知数列满足，，求．

题型4  利用等差数列的性质求值

一、若m+n=p+q，则

1.已知为等差数列，，则等于（     ）

A. -1        B. 1        C. 3     D.7    

2.在等差数列中， ,则 其前9项的和S₉等于  （   ）

A．18             B 27              C  36              D 9

3.设等差数列的前项和为，若则          

4. 设等差数列的前项和为，若,则=            

5.已知等差数列的前项和为，若，则         ．

二、若为等差数列，那么、、、……也为等差数列

1.等差数列中，那么=         

2.设等差数列的前项和为，若，，则（　　）

A．63                   B．45           C．36       D．27

1.设是等差数列的前n项和，已知，，则等于(   )

A．13            B．35               C．49                D． 63    

2.等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于

A．1           B                C.- 2                D 3

3.已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝

A.－2         B.－         C.     D.2

等差数列前n项和：

1.设函数，则.

2.等差数列中，，，则此数列前20项和等于       

3.已知等差数列前项的和为30，前项的和100，则它的前的和为        

4.在等差数列中，满足，且，是数列的前项和，若取得最大值，则的值为________.

5.设数列的通项为则____ ___.

6.等差数列、中前项和分别为与，若，则____.

7.数列满足：，，则该数列的通项公式是_     __.

二．解答题

1.设数列是公差不为零的等差数列，是数列的前项和，,,求数列的通项公式.

2.设无穷等差数列的前n项和为S_n.

(Ⅰ)若首项，公差，求满足的正整数k；

(Ⅱ)求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数k都有成立.

1、已知等差数列满足，则    （     ）

A.     B.     C.     D. 

2、在等差数列中，已知，那么它的前8项之和等于 （     ）

A. 12    B.  24   C.  36   D. 48

3、设是公差为的等差数列，若，

则的值为     （     ）

A.  78   B.  82   C.  148   D.  182

4、在等差数列中，，则等于   （     ）

A.  5或7   B.  3或5   C.  7或   D.  3或

5、设数列是递增的等差数列，前三项之和为12，前三项的积为48，则它的首项是（    ）

A.  1   B.  2   C.   4  D.  8

6、一个三角形的三个内角的度数成等差数列，则的度数为   （     ）

A.     B.     C.     D. 

7、等差数列中，，则等于    （     ）

A.  11   B.  9   C.  9或18   D.  18

8、数列是等差数列，它的前项和可以表示为    （     ）

A.                 B.     

C.          D. 

9、等差数列中，，则             。

10、在等差数列中，已知求和。

11、设等差数列的第10项为23，第25项为，求：

（1）数列的通项公式；    （2）数列前50项的绝对值之和。

等差数列前N项和（提高训练）

1、已知数列｛an｝的通项公式为an=(－1) n－1·(4n－3),则它的前100项之和为

A.200              B.－200                C.400              D.－400

2、.等差数列{an}中，a1=－5,它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第_______项.

3、设为等差数列的前n项和，＝14，S10－＝30，则S9＝　　　　.

4、在等差数列{an}中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n．

5、已知等差数列{an}中，S3=21，S6=64，求数列｛|an|｝的前n项和Tn．

6、已知{an}为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和S100=10，求前110项的和S110.

1、等差数列中，若，则公差           

2、在小于的正整数中，被除余的数的和是           

3、已知等差数列的公差是正整数，且a，则前10项的和S=      

4、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是          

5、两个等差数列和的前项和分别为和，若，则