高中数学必修5知识点

1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．

2、正弦定理的变形公式：①，，；

②，，；

③；

④．

3、三角形面积公式：．

4、余弦定理：在中，有，，

．

5、余弦定理的推论：，，．

6、设、、是的角、、的对边，则：①若，则；

②若，则；③若，则．

7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

8、数列的项：数列中的每一个数．

9、有穷数列：项数有限的数列．

10、无穷数列：项数无限的数列．

11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．

12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．

13、常数列：各项相等的数列．

14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．

15、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．

16、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．

17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

18、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．

19、若等差数列的首项是，公差是，则．

20、通项公式的变形：①；②；③；

④；⑤．

21、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．

22、等差数列的前项和的公式：①；②．

23、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．

②若项数为，则，且，

（其中，）．

24、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

25、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．注意：与的等比中项可能是

26、若等比数列的首项是，公比是，则．

27、通项公式的变形：①；②；③；④．

28、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．

29、等比数列的前项和的公式：．

30、等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．

②．③，，成等比数列．

31、；；．

32、不等式的性质： ①；②；③；

④，；⑤；

⑥；⑦；

⑧．

33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式．

34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式．

36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合．

38、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点．

①若，，则点在直线的上方．

②若，，则点在直线的下方．

39、在平面直角坐标系中，已知直线．

①若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域．

②若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域．

40、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件．

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式．

线性目标函数：目标函数为，的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．

可行解：满足线性约束条件的解．

可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

41、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数．

42、均值不等式定理： 若，，则，即．

43、常用的基本不等式：①；②；

③；④．

44、极值定理：设、都为正数，则有

⑴若（和为定值），则当时，积取得最大值．

⑵若（积为定值），则当时，和取得最小值．

第二篇：20xx年第二学期高二数学期末复习知识点

20xx年第二学期高二数学期末复习知识点

（一）直线的方程：

1、 对于任意一形如ax?by?c?0(a,b不全为零)的关于x、y的二元一次方程叫做直线l的

一般式方程。直线l上所有的点的坐标(x,y)都满足方程ax?by?c?0(a,b不全为零)，而以方程ax?by?c?0(a,b不全为零)的所有解(x,y)作为坐标的点都在直线l上，所以我们把方程ax?by?c?0(a,b不全为零)叫做直线l的方程，直线l叫做方程ax?by?c?0(a,b不全为零)的直线。

????2、非零向量d?(u,v)所在的直线与直线l平行或重合，称为非零向量d与直线l平行。与直线

??l平行的非零向量d?(u,v)叫做直线l的方向向量，直线l有无数的非零方向向量，且这些

非零方向向量互相平行。

3、当u?0,v?0（即非零向量d的坐标都不为零）时，过点P(x0,y0)的直线方程

ax?by?c?0(a,b不全为零)可化为：x?x0

u?y?y0

v，我们把此方程叫做直线l的点

方向式方程。

???4、非零向量n?(a,b)所在的直线与直线l垂直，称为非零向量d与直线l垂直。与直线l垂直

?的非零向量n?(a,b)叫做直线l的法向量，直线l有无数的非零法向量，且这些非零法向

量互相平行。

?5、当a?0,b?0（即非零向量n的坐标都不为零）时，过点P(x0,y0)的直线方程

把此方程叫做直线l的ax?by?c?0(a,b不全为零)可化为：a(x?x0)?b(y?y0)?0，

点法向式方程。

6、直线l的方程ax?by?c?0(a,b不全为零），其中向量n?(a,b)是直线l的一个法向量，

?????向量d?(b,?a)是直线l的一个方向向量。向量n与向量d垂直，即：n?d?0。

若直线l的方程ax?by?c?0(a,b不全为零），则平行直线系：ax?by?m?0(a,b不全

n?R且m?c）n?R）为零)，（m、，垂直直线系：（m、 bx?ay?n?0(a,b不全为零)，

（二）直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按

逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为?，那么?就叫做直线的倾斜角。只 １

20xx年第二学期高二数学期末复习知识点

可能是零角，锐角，直角，钝角。当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0。因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是?0,??。

2、直线的斜率：直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，用k表示。倾斜角是

?

2

的直线没

有斜率。斜率公式：经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，(x1?x2)的直线的斜率公式：k?

y2?y1x2?x1

(x1?x2)，当x1?x2,y1?y2（即直线和x轴垂直）时，没有斜率。

3、直线方程的各种形式

?

1）一般式：ax?by?c?0(a,b,c?R,a?b?0)，其中方向向量d?(b,?a)；法向量

2

2

a?

n?(a,b)；斜率当b?0时，k不存在，当b?0时k??。该形式适于平面内任意一条

b

直线的表示。

?

2）点斜式：已知斜率k和直线上一点(x0,y0)，则y?y0?k(x?x0)，其中方向向量d?(1,k)；

法向量n?(k,?1)。该形式不能表示垂直于x轴的直线。

?x?x0y?y0

?3）点方向式：已知直线的方向向量d?(u,v)和直线上一点(x0,y0)，则，其uv

?

中当u?0时，直线垂直于x轴，k不存在，其中当v?0时，直线垂直于y轴，k?0，

vu

当u?0 时k?；法向量n?(v,?u)。该形式不能表示垂直于x轴、y轴的直线。

?

?

4）点法向式：已知直线的法向量n?(a,b)和直线上一点(x0,y0)，则a(x?x0)?b(y?y0)?0，

?a

k不存在，其中方向向量d?(b,?a)；则当b?0时，直线垂直于x轴，当b?0时k??。

b

该形式适于平面内任意一条直线的表示。

?

5）斜截式：已知斜率k和直线在y轴上的截距b，则y?kx?b，其中方向向量d?(1,k)；

法向量n?(k,?1)。该形式不能表示垂直于x轴的直线。 6）截距式：已知直线在x轴上的截距a和在y轴上的截距b，则

xa?yb

?1(ab?0)[ 当b?0

?

２

20xx年第二学期高二数学期末复习知识点

且a?0时，直线x?a，当a?0且b?0时，直线y?b，当b?0且a?0时，直线过

?1111b?

原点 ]其中方向向量d?(,?)；法向量n?(,)，斜率k??。该形式不能表示垂

baaba

直于x轴、y轴的直线和过原点的直线。

7）两点式：已知直线上不同的两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则

x?x2x2?x1

y?y2y2?y1

x?x1x2?x1

?y?y1y2?y1

或

?

[ 当x1?x2且y1?y2时，直线x?x1，当x1?x2且y1?y2时，直线

??

；法向量y?y1 ]其中方向向量d?(x2?xn?(y2?y,x?x2)，斜率,y?y)11121

k?

y2?y1x2?x1

。该形式不能表示垂直于x轴、y轴的直线。

（三）两条直线的位置关系

1、在同一平面上的两条直线的位置关系为：相交、平行、重合。

2、判断同一平面上的两条直线的位置关系：l1：a1x?b1y?c1?0，l2：a2x?b2y?c2?0， a1?a1x?b1y??c1

设：二元一次方程组?，其中D?

a2

?a2x?b2y??c2

b1b2

，Dx?

?c1?c2

b1b2

，Dy?

a1a2

?c1?c2

Dx?x??DxDy?D

D?01） 当时，原方程组有惟一组解?，即直线l1与l2相交，交点坐标为( ,)；

DyDD?y???D

2） 当D?0时，有如下两种情况：a、如果Dx、Dy中至少有一个不为零，原方程组无解，

即直线l1与l2 平行；b、如果Dx?Dy?0，原方程组有无穷多组解，即直线l1与l2重合。 3、两条直线重合的一般特征：已知两条直线方程l1：a1x?b1y?c1?0，l2：a2x?b2y?c2?0，

???????????

1）若直线l1与l2重合，则两直线方向向量d1∥d2，法向量n1∥n2，斜率k1?k2或两直线斜

率都不存在； 2）若两直线

a1a2

?b1b2

?c1c2

???????????

(a1b1c1a2b2c2?0)，当方向向量d1∥d2或法向量n1∥n2或斜率

k1?k2，则两直线重合；

３

20xx年第二学期高二数学期末复习知识点

4、两条直线平行的一般特征：已知两条直线方程l1：a1x?b1y?c1?0，l2：a2x?b2y?c2?0，

???????????

1）若直线l1与l2平行，则两直线方向向量d1∥d2，法向量n1∥n2，斜率k1?k2或两直线斜

率都不存在； 2）若两直线

a1a2

?b1b2

?c1c2

???????????

(a1b1c1a2b2c2?0)，当方向向量d1∥d2或法向量n1∥n2或斜率

k1?k2，则两直线平行；

5、两条直线相交的一般特征：已知两条直线方程l1：a1x?b1y?c1?0，l2：a2x?b2y?c2?0，

???????????

1）若直线l1与l2相交，则两直线方向向量d1不平行d2，法向量n1不平行n2，斜率k1?k2或

一直线斜率不存在，另一直线斜率存在；

???????????

2）若两直线方向向量d1不平行d2，法向量n1不平行n2，斜率k1?k2 或一直线斜率不存在，

另一直线斜率存在，则两直线相交。

6、两条直线相交中的特殊情况垂直的一般特征：l1：a1x?b1y?c1?0，l2：a2x?b2y?c2?0， ???????????

1）若直线l1与l2垂直，则两直线方向向量d1?d2?0，法向量n1?n2?0，斜率k1k2??1或一

直线斜率不存在，另一直线斜率存在；

???????????

2）若两直线方向向量d1?d2?0，法向量n1?n2?0，斜率k1k2??1或一直线斜率不存在，另

一直线斜率存在，则两直线垂直。

7、两条相交直线的夹角：当直线l1与l2相交时所成的锐角或直角叫两条直线的夹角。当两条

直线平行或重合时，规定夹角为0。当直线l1⊥l2时，夹角是

?

2

。夹角的取值范围是?0,

?

?

??

2??

。

8、求两条相交直线的夹角的一般方法：l1：a1x?b1y?c1?0，l2：a2x?b2y?c2?0相交，

???????????

d1?d2n1?n2

其夹角为?，则1

）cos????

d1?d2n1?n2

；

2） 两直线的斜率k1、k2都存在时，则tan??

k2?k11?k2k1

。

（四）点到直线的距离

1、点到直线距离公式：点P(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0距离为：d?

４

Ax0?By0?C

A?B

2

2

。

20xx年第二学期高二数学期末复习知识点

2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax?By?C1?0，

l2：Ax?By?C2?0，则l1与l2的距离为d?

C1?C2A?B

2

2

。

3、点关于点的对称：点P(x,y)关于O(a,b)的点为P?(2a?x,2b?y)。

4、直线关于点的对称：直线l:Ax?By?C?0关于O(a,b)的对称直线为

l?:A(2a?x)?B(2b?y)?C?0。

5、点关于直线的对称：点P(x,y)关于直线l:Ax?By?C?0的对称点为P?(x?,y?)

B(x??x)?A(y??y)?

?从?中解出P?(x?,y?)。 x?x?y?y?

?B??C?0?A?

?22

6、直线关于直线对称：1）直线l与直线m相交，则直线l关于直线m的对称直线l?中，一方面可求得直线l与直线m相交的交点坐标，另一方面由夹角公式可求得直线l?斜率k； 2）直线l与直线m平行，则直线l关于直线m的对称直线l?为与直线m平行且到直线m的距

离等于直线l与直线m间的距离。 （五）曲线和方程

1、在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)?0 的实数解建立了如下 关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）(2)以这个方程的解为坐标的点都 是曲线上的点。（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 2、求简单的曲线方程的一般步骤：（1）建立适当坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合；（3）用坐标表示条件P(M)，列出方程（4）化方程f(x,y)?0为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的f(x,y)?0；点都是曲线上的点。

（六）圆的方程

1、圆的标准方程 ：(x?a)?(y?b)?r

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径。圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了这就是说要确定

222

圆的方程，必须具备三个独立的条件确定a,b,r，可以根据条件，利用待定系数法来解决。

222

3、过已知圆上一已知点的圆的切线方程：已知M(x0,y0)为圆O:(x?a)?(y?b)?r上一

2

点，则过点M的圆O的切线方程为(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r。

５

20xx年第二学期高二数学期末复习知识点

4、圆的一般方程：把形如x2?y2?Dx?Ey?F?0的表示圆的方程称为圆的一般方程。圆

的一般方程突出了方程形式上的特点：即：1）x2和y2的系数相同，且不等于0；2）没有

xy这样的二次项；3）D?E

2

2

22

?4F?0。方程x?y?Dx?Ey?F?0配方，得

(x?

D2

)?(y?

2

E2

)?

2

D?E

4

22

?4F

，此方程与圆的标准方程关系：

E2

12

1）当D2?E2?4F?0时，表示以(?

D2

,?)为圆心，半径为

D

2

?E

2

?4F

的圆；

D2

E2

2）当D2?E2?4F?0时，方程只有实数解x??

D2

，y??

E2

，即只表示一个点(?,? )；

3）当D2?E2?4F?0时，方程没有实数解，不表示任何图形。

22225、已知圆O1:x?y?D1x?E1y?F1?0与圆O2:x?y?D2x?E2y?F2?0相交于点A、

B，则直线AB的方程为(x?y?D1x?E1y?F1)?(x?y?D2x?E2y?F2)?0，即：

2222

(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0。

（七）椭圆的标准方程和椭圆的性质

1、椭圆定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作

椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

2、椭圆标准方程：12?2?1它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(?c,0)F2(c,0)，

ab中心在坐标原点的椭圆方程，其中a?c?b。2）

2

2

2

x

2

y

2

ya

22

?

xb

22

?1它所表示的椭圆的焦点在y

2

2

2

轴上，焦点是F1(0,?c),F2(0,c),中心在坐标原点的椭圆方程，其中a?c?b。 3、椭圆的性质：由椭圆方程

xa

22

?

yb

22

?1 (a?b?0)

1）范围: ?a?x?a,?b?y?b，椭圆落在x??a,y??b组成的矩形中； 2）对称性：原点叫椭圆的对称中心，简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴；

3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。椭圆共有四个顶点： A1(?a,0),A2(a,0)，

６

20xx年第二学期高二数学期末复习知识点

B1(0,?b),B2(0,b)，加两焦点F1(?c,0),F2(c,0)共有六个特殊点。A1A2叫椭圆的长轴，

B1B2叫椭圆的短轴，长分别为2a,2b，a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。

4、已知M(x0,y0)为椭圆

xa

22

?

yb

22

?1上一点，则过点M的椭圆的切线方程为

x0xa

2

?

y0yb

2

?1。

（八）双曲线的标准方程和双曲线的性质

1、双曲线的定义：平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的

轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 2、双曲线的标准方程：

xa

2

22

?

yb

2

22

?1(a?0,b?0)表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是

ya

22

其中c?a?bF1(?c,0),F2(c,0)，

2

?

xb

22

?1(a?0,b?0)表示的双曲线的焦点在y

轴上，焦点是F1(0,?c),F2(0,c)，其中c2?a2?b2。焦点的位置:双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。

xa

22

3、1）范围、对称性：由标准方程?

yb

22

?1可得x?a，当x?a时，y才有实数值；对

22

于y的任何值，x都有实数值。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。 2）顶点、实轴、虚轴：顶点：A1(a,0),A2??a,0? 特殊点：B1(0,b),B2?0,?b? 实轴：A1A2长为 2a，a叫做实半轴长。虚轴：B1B2长为2b，b叫做虚半轴长。 3）渐近线：过双曲线

xa

22

?

yb

22

?1的两顶点A1,A2，作y轴的平行线x??a，经过B1,B2作x

ba

轴的平行线y??b 矩形的两条对角线所在直线方程是y??

x

（

xa

?

yb

?0），这两条直线是双曲线的渐近线。令双曲线

xa

22

?

yb

22

?1的右端的1为0，即可

ya

22

解出双曲线的渐近线方程为

xa

?

yb

?0，即y??

７

ba

x。对于焦点在y轴上的双曲线?

xb

22

?1

20xx年第二学期高二数学期末复习知识点

类似可以得出渐近线。

4、等轴双曲线：a?b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线。等轴双曲线方程变成x2?y2?a2(或b2)，它的实轴和都等于2a(2b)，渐近线方程为y??x。等轴双曲线可以设为x2?y2?m(m?0)，当m?0时焦点在x轴上，当m?0时焦点在y轴上。 5．共渐近线的双曲线系：如果已知一双曲线的渐近线方程为y??

x

22

ba

22

x??

22

kbka

x(k?0)，那么

此双曲线方程就一定是：

(ka)

?

22

y

22

(kb)

??1(k?0)或写成

xa

?

yb

?m(m?0)。即以

xa

?

yb

?0为渐近线双曲线方程是

xa

?

yb

22

当m?0时焦点在x轴上，当m?0时?m(m?0)，

焦点在y轴上。

6、共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的

共轭双曲线。通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线。此即为共轭之意。 性质：共用一对渐近线，双曲线和它的共轭双曲线焦点在同一圆上； 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为?1。

（九）抛物线的标准方程和抛物线的性质

1、抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点

F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

2

1）范围：由方程y?2px?p?0?可知，这条抛物线上的点的坐标(x,y)满足不等式x?0，

８

20xx年第二学期高二数学期末复习知识点

所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

2）对称性：我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。

3）顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。

4、直线与抛物线：

1）位置关系：对于y2?2px(p?0)，当直线为y?y0，即k?0，直线平行于对称轴或是对 称轴时，与抛物线只有唯一的交点。当k?0，设l:y?kx?b代入y2?2px(p?0)，消去y， 得到关于x的二次方程ax2?bx?c?0。当a?0（二次项系数为零），唯一一个公共点（交 点）；当a?0，则若??0，两个公共点（交点）；??0，一个公共点（切点）； ??0，无公共点（相离）。

2）弦长公式：d??

a?k2，其中a和?分别是ax2?bx?c?0中二次项系数和判别式，

2k为直线l:y?kx?b的斜率。当代入消元消掉的是y时，得到ay?by?c?0，此时弦长公式相应的变为：d??

a?1

k2。

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