《平行四边形》导航
一、学习目标：
1．深刻理解平行四边形的性质；2．熟练掌握平行四边形的判定方法．
二、知识梳理：
1．性质：
按边、角、对角线三方面分类记忆．
平行四边形的性质 
此外：周长问题、面积问题
另外，由“平行四边形两组对边分别相等”的性质，可推出下面的推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．
注:平行四边形是一种特殊而又比较简单的一类四边形，但它有许多的重要性质，如，对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质等等．利用平行四边形的这些性质可以证明许多的几何结论．1、证明线段相等. 2、证明两线平行 3、证明两角相等. 4、证明面积相等 5、证明线段倍半. 6、证明线段和差.
2．判定方法：
同样按边、角、对角线三方面分类记忆．
边 
角：两组对角分别相等
对角线：对角线互相平分
注：证明一个四边形是平行四边形的思路： 1、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”． 2、当已知条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 3、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形”．
3．注意的问题：平行四边形的判定定理，有的是相应性质定理的逆定理． 学习时注意它们的联系和区别，对照记忆．类比思想
三、基本思想方法：研究平行四边形问题的基本思想方法是转化法，即把平行四边形的问题转化为三角形全等及平移、旋转和对称图形的问题来研究．
四、平行四边形知识的运用----------是证明矩形、菱形、正方形的基础
1．直接运用平行四边形的性质解决某些问题. 如求角的度数、线段的长度、证明角相等或互补、证明线段相等或倍分关系等；
2．判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；
3．先判定一个四边形是平行四边形，再利用其性质去解决某些问题．
《特殊平行四边形》之一---矩形
一、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
注：定义中矩形必须满足两个条件：1、首先是平行四边形，2、有一个角是直角.
二．矩形的性质
1.具有平行四边形的所有性质．（边、角、对角线）
2.特有性质：
（1）矩形的四个角都是直角（90度）.
（2）矩形对角线相等．
（3）矩形是轴对称图形，有2条对称轴.也是中心对称图形.
注：矩形对角线把矩形分成：4个大全等直角三角形，4个小等腰三角形。
三. 矩形的判定
矩形定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形．
(1)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．
(2)定理2：对角线相等的平行四边形是矩在.
注：判定一个四边形是不是矩形，有两种思路：一种是在平行四边形前提下判定，看它一个内角是不是直角，或看对角线是否相等。二种是在四边形基础上判定，看它有没有三个角是直角，或先证出是平行四边形在判断。
注意：
①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件，即一是有一个角是直角；二是平行四边形，也就是说有一角是直角的四边形，不是矩形.
②用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形．也就说明：两务对角线相等的四边形不是矩形.
直角三角形斜边上的中线
一、直角三角形斜边上的中线性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
注：1. 揭示了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系（倍分关系），它是研究线段倍分关系的基础，是常用辅助线．其逆命题也成立.
2.与其有联系的----含有30度角的直角三角形性质，也体现倍分关系. 其逆命题也成立.
《特殊平行四边形》之二---菱形
一. 定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
注意：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．
二．菱形的性质
1.具有平行四边形的一切性质.
2.特有性质：
(1)菱形的四条边都相等.
(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
(3)菱形是轴对称图形，有2条对称轴.也是中心对称图形.
(4)菱形面积=底×高=对角线乘积的一半.
注：菱形对角线把菱形分成：4个小全等直角三角形，4个大等腰三角形。
3．菱形的判定
(1)定义判定：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
(2)判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
(3)判定定理2：．四边都相等的四边形是菱形．
注：判定一个四边形是不是菱形，有两种思路：一种是在平行四边形前提下判定，再证一组邻边相等，或看对角线是否垂直。二种是在四边形基础上判定，看它四条边是否相等，或先证出是平行四边形再判断。
注意：对角线互相垂直的四边形不是菱形，必须加上平行四边形这个条件，它才是菱形.
最完美的平行四边形---正方形
一. 定义：
正方形的定义我们可以分成两部分来理解：
（1）有一组邻边相等的矩形叫做正方形．
（2）有一个角是直角的菱形叫做正方形．
二．正方形性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
(1)边——四边相等，邻边垂直.
(2)角——四角都是直角.
(3)对角线——①相等②互相垂直平分③每条对角线平分一组对角（45度）.
(4)是轴对称图形，有4条对称轴.
注：正方形对角线把正方形分成：8个等腰直角三角形。
三、 正方形的判定方法：（添加一个矩形、菱形不具备的性质）
①先证它是矩形，再证有一组邻边相等或对角线垂直.
②先证它是菱形，再证它有一个角为直角或对角线相等.
1.正方形与矩形、菱形、平行四边形的包含关系
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，其中正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图.
2.中点四边形与原四边形的关系
依次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；依次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；依次连接对角线相等且垂直的四边形各边中点所得四边形是正方形．
3.利用特殊平行四边形的性质和判定可以解决哪些问题?
可解决证明线段相等及倍分、角相等及倍分、直线平行、垂直、证明一个四边形是特殊平行四边形及有关计算等问题和一些开放性问题.
4.基本思想方法：
(1). 研究平行四边形、矩形、菱形、正方形问题的基本思想方法是转化法，即把平行四边形的问题转化为三角形及平移、旋转和对称图形的问题来研究．
(2) 作辅助线，构造平行四边形、矩形、菱形、正方形解决问题.
一．正确理解定义
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．定义中的“两组对边平行”是它的特征，抓住了这一特征，记忆理解也就不困难了．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．同学们要在理解的基础上熟记定义．
（2）表示方法：用“ ”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”．
2．熟练掌握性质
平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行简述的．
（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；
（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；
（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；
（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心；
（5）面积：①
=底×高=ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．
3．学会判别方法
（1）平行四边形的判别方法
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形
（2）平行四边形的判别方法的选择
二、．几种特殊四边形的有关概念
（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：（1）平行四边形；（2）一个角是直角，两者缺一不可．
（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：（1）平行四边形；（2）一组邻边相等，两者缺一不可．
（3）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．
（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：（1）一组对边平行；（2）一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．
（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．
2．几种特殊四边形的有关性质
（1）矩形：（1）边：对边平行且相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相平分且相等；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．
（2）菱形：（1）边：四条边都相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．
（3）正方形：（1）边：四条边都相等；（2）角：四角相等；（3）对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．
（4）等腰梯形：（1）边：上下底不相等，两腰相等；（2）角：对角互补；（3）对角线：对角线相等；（4）对称性：是轴对称图形不是中心对称图形．
3．几种特殊四边形的判定方法
（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形
（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）四个角都相等
（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形
（1）有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等．
（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．
（1）有一个角是直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线相等的菱形；
（4）对角线互相垂直的矩形．
（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形
（1）同一底两个底角相等的梯形；（2）对角线相等的梯形．
4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析
（1）识别矩形的常用方法
（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．
（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．
（3）说明四边形ABCD的三个角是直角．
（2）识别菱形的常用方法
（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．
（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．
（3）说明四边形ABCD的四条相等．
（3）识别正方形的常用方法
（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等．
（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等．
（3）先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．
（4）先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角．
（4）识别等腰梯形的常用方法
（1）先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等．
（2）先说明四边形ABCD为梯形，再说明同一底上的两个内角相等．
（3）先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等．
5．几种特殊四边形的面积问题
（1）设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．
（2）设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=
．
（3）设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=
；若正方形的对角线的长为a，则S正方形=
．
（4）设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=
．
三、多边形：1．多边形的定义
在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形，叫做多边形．
２．正多边形的定义
在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形．
3．探索多边形内角和公式n边形内角和公式：
任意多边形的外角和都等于360°．
4．密铺的定义：何谓密铺呢？课本上介绍：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，叫作平面图形的密铺．
5．密铺的特征：（1）边长都相等；（2）顶点公用；（3）在一个顶点处各正多边形的内角和为360
．
8、中心对称图形
1·如果一个图形绕着它的中心点旋转180°后能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心。
2·图形上对称点的连线被对称中心平分；
第二篇：第十八章平行四边形的知识点归纳
(3)平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分
14、矩形的判定方法：
矩形的判定定理4：对角线相等且互相平分的四边形是平行四边形。
④菱形是中心对称图形又是轴对称图形。
⑤面积：S菱形=底×高=两条对角线乘积的一半。
菱形常用的判定方法：
1,有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2,有四条边相等的四边形是菱形.
3,对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3,对角线互相垂直的且平分四边形是菱形.
正方形的性质
1、 正方形不仅是平行四边形，还是矩形、菱形
2、 边：对边平行，四边相等。
3、 角：四个角相等且都是直角。
4、 对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。构成4个等腰直角三角形。
5、 
正方形是中心对称图形又是轴对称图形。
6、 
正方形的面积=边长×边长=两条对角线乘积的一半=
7、 
正方形的判定：
① 
有一组邻边相等的矩形是正方形。
② 对角线互相垂直的矩形是正方形。
③ 有一个角是直角的菱形是正方形。
④ 
对角线相等的菱形是正方形。
⑤ 正方形的判定的方法：
⑥ 即是 矩形，又是菱形。
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。
中位线是两个中点的连线段，而中线是一个顶点和对边中点的连线段。
三角形的中位线①平行于第三边，并且②等于第三边的一半。
∵AE=EB，AD=DC或ED是 △ ABC的中位线
∴ DE∥BC，DE=
BC
三角形的中位线性质：三角形的三条中位线围成的新三角形的周长等于原三角形周长的一半。