椭圆的几何性质

山西省运城中学  赵彦明

教学背景：

椭圆是生活中常见的曲线，是学生学习第二章所接触到的第一个重要的圆锥曲线，研究它的几何性质，对于后续学习圆锥曲线有着重要的指导作用，也为研究双曲线和抛物线奠定了基础。

现在教育的发展，对学生全面素质与职业能力要求越来越高，但高中学生的知识水平、接受能力参差不齐、心理素质各异，一些传统的教育教学方法已不能适应现代教育的新要求。那么，如何面对全体学生，大面积有效地提高知识和能力水平，注重开发学生的潜能，从而提高学生素质和学习能力，保证教学质量，是摆在我们面前不能回避、必须面对的问题。于是，如何更有效的提高学生的学习兴趣和学生们的课堂参与度，进而使每个学生都学有所得成了学校文化课教学改革的热点，也受到教师和学生的欢迎，为学生“扬长避短”地发展提供了人性化的服务。在实施策略上，在如火如荼的新课改的影响下，从实际中来——到实际中去，能激发学生学习兴趣的的模式被广泛采用，我们不断试验与研究、积极探索，取得了一些成效，教学秩序稳定，教学效果良好，初步满足了学生的多样化需求。

美国教育学家、目标教学理论创始人布鲁姆认为：学生是具有独立人格巨大潜能和个性差异的人，特别是由于众所周知的原因，高中招收的初中毕业生生源复杂，数学基础知识，学习水平参差不齐。实施新的教学模式充分调动学生的学习兴趣，可以让学生产生学习动力，创造个性化学习的新形式。

教学目标

1．掌握椭圆的简单的几何性质，学会由已知椭圆的标准方程求椭圆的几何性质的一般方法与步骤。

2．通过实际活动培养学生发现、观察、归纳的能力；培养分析、抽象、概括的能力，加强数形结合等数学能力的培养。

　3．通过有关椭圆几何性质的实际应用的介绍，激发学生研究椭圆的几何性质的积极性。

教学重点：椭圆的几何性质；

教学难点：学生的发现、观察、归纳能力的培养。

教学用具：

电脑，课件（媒体资料），投影仪，幻灯片，学生每人一个椭圆形纸板（同桌相同），直尺

教学方法：讲授法、启发法、讨论法、情境教学法、小组合作交流

教学过程

1．  创设情境，欣赏倾听

这节课我们继续研究有关椭圆的相关知识，在进入本节课的知识之前，我们先看一段视频短片：

    播放中央电视台新闻中关于国家大剧院外部景观介绍的视频短片

提出问题：

教师：为什么国家大剧院最终会选择了椭球形设计呢？

其根本原因是椭球形非常美观，这源于椭圆的美！那么椭圆到底美在何处？它又具有哪些特性？让我们一起来研究一下——椭圆的几何性质，以方程为研究对象。

（板书）12.1.2 椭圆的几何性质

2．探究问题，观察发现

为培养学生观察、分析、归纳问题的能力。活跃的课堂气氛，调动学生主动参与的积极性，同时树立学生相互协作和竞争的意识，为进一步的学习打下良好的基础。本部分设计了几个问题，引导学生探究学习椭圆的几何性质的研究。

问题1：

教师：你能找到椭圆纸板的中心吗？

学生1：(思考并回答)用手中的纸板折纸——把椭圆纸板折叠，使两部分完全重合，两条折痕的交点，即为椭圆纸板的中心，两条折痕为对称轴。

得出结论：椭圆具有对称性。

学生活动1:

探究一：椭圆的对称性

①两条折痕为对称轴——椭圆是轴对称图形，它关于轴和轴对称；

②实物演示：椭圆绕中心旋转后与原椭圆重合——椭圆也是中心对称图形，

这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

实物演示部分可以由学生同桌两两一组共同完成，首先让两椭圆重合，旋转后观察，得出结论

问题2：关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标之间又有什么样关系呢？

学生2：设P（x，y），则P点关于x轴、y轴和坐标原点的对称点分别是（x，-y）、（-x，y）、（-x，-y）若曲线关于x轴对称，则P点关于x轴对称点也在曲线上，即（x，-y）满足方程。同理可以推出另外两种情况。

问题3：那么下面同学们一起归纳出方程要满足什么条件曲线才具有这些对称性。

学生3：结论：以-x代x，方程不变，则曲线关于y轴对称；以-y代y，方程不变，则曲线关于x轴对称；同时以-x代x、以-y代 y，方程不变，则曲线关于原点对称。

老师：非常正确。

问题4：那么椭圆是否也具有这种对称性，你能根据方程得到结论吗？

此时学生能快速判断，得出结论。同时让学生明白，图形对称性的本质是构成图形的点的对称性，从方程来判断也就是抓住了点的对称性形成的结论。

（板书）椭圆的对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点对称。

问题:5：

教师：椭圆与它的对称轴有交点吗？若有，那么椭圆与它的对称轴有几个交点？你能求出交点的坐标吗?

学生2：椭圆与对称轴有交点，有四个交点。

教师：很好，我们把椭圆与它的对称轴的这四个交点分别记作

请同学们将这四个点标在自己的椭圆纸板上，并抽象成数学图形将椭圆放在平面直角坐标系内研究，求出的坐标。

学生活动2:

探究二：椭圆的顶点

学生取点、画图，自己动手亲自体验将椭圆抽象成数学图形的过程，并求出的坐标。

教师：其实，我们把椭圆与坐标轴的交点就叫做椭圆的顶点。

其中线段A₁A₂、B₁B₂分别叫做椭圆的长轴和短轴。显然长轴长|A₁A₂|＝2a，短轴长|B₁B₂|＝2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长，此时长轴在x 轴上。

（板书）椭圆的顶点：。

本过程可以由老师引导启发学生先求出椭圆与x轴的交点坐标，即的坐标，而求椭圆与y轴的交点由学生讨论来完成，并由学生自己到黑板前来讲解，自己解决此问题。锻炼学生合作、探究的能力，同时培养学生逻辑表达能力。

本过程加强课件的演示部分，更加形象，有利于学生的接受、掌握和理解。

问题6：

做一做：请同学们拿起手中的作业纸，思考如果在一张矩形纸上作椭圆，要求所作椭圆尽可能最大，应如何做？

学生活动3:

分小组讨论，并动手解决本问题，尽量使回答准确、精练。

得出结论：椭圆是有范围的。

教师引导学生动手动脑，将具体实例抽象成数学图形，数学问题，在平面直角坐标系内来研究：如下图，

教师：如果图中虚线所代表的就是你所要制作的椭圆纸板所在矩形纸的四个边缘，那么在平面直角坐标系中，他们所在直线的直线方程是什么？

结论：椭圆位于直线所围成的矩形内。

下面从数的角度（也就是方程）来验证我们刚才从直观（也就是形）得来的结论。

引导学生得出在解析几何中讨论曲线的范围，就是确定方程中两个变量x,y的取值范围。用多种方法探究，汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。

学生1：由利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得且，则有。那么它的范围就是直线所围成的区域。

老师：很好，谁还有不同意见？

学生2：利用三角换元，令。由正弦函数有界可得范围。

老师：这个想法也不错，谁还有不同见解？

学生3：从中解出，利用可得y的取值范围，同样可得x的取值范围。

师：这种想法也很好，谁还有不同方法？

此时学生陷入深思中，教师及时点拨，前面我们学习过函数的定义域、值域，这对你研究椭圆的范围有何启示呢？

学生纷纷议论，有的开始动笔推导，有的几个人一起在商量。

老师：谁研究出来了，或哪个小组研究出来了？请到前面给大家讲一讲。

学生4：（在黑板上展示）由则，可通过求这个函数的定义域、值域得范围。

老师：是函数吗？

学生4：（思考后说）不是。

老师：怎样处理呢？

学生4：把和分别看作是一个函数。

老师：正确。往下怎样研究呢？

学生4：先求函数的定义域、值域。利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得，同样得中，于是得到范围。

老师：好。前面我们研究了椭圆的对称性，谁能简化学生4的推导过程呢？

学生5：老师，我想只需求的定义域、值域即可，然后利用对称性可得范围。

老师：很好。通过前面的探讨，我们知道椭圆是有范围的，即，它围在一个矩形框内。

 (板书)椭圆的范围：-a≤x≤a,    -b≤y≤b

椭圆的简单的几何性质中，比较抽象的难于理解的就是椭圆的离心率问题。为了能将抽象的问题形象化，利于学生的理解与接受，可设计如下的课堂活动，让全体学生参与到课堂中来，在自己的探究中获得学习的乐趣，学习的快乐，并且可以使不同程度的学生都有所收获。

学生活动4:

问题7：请同学们举起手中的椭圆，大家观察它们的形状有何不同？

有的同学手中的椭圆形纸板扁长，有的同学手中的椭圆形纸板稍圆，有的同学手中的椭圆更接近于圆形。

在同学们参与到课堂活动中的时候，在自己举起自己手的椭圆的时候希望得到大家的关注想与大家交流，同时，在其他同学们举起手中的椭圆的时候，他们也会更加去关注其他同学手中的椭圆的形状，进而与自己手中的椭圆进行比较。在比较的过程中就会发现椭圆形状的变化，引起思考。

问题8：圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？（带着疑问进入探究四。）

学生活动5：

探究四：离心率问题

  本过程中，由具体的同学们的手中的椭圆形状的变化到抽象的平面直角坐标系中椭圆形状的变化的过程中，几何画板的强大功能会发挥巨大的作用。在几何画板中展示椭圆的形状变化的同时，还可以让学生观察到椭圆中a,b,c三个参量的变化，进而对椭圆的离心率充分了解。观看课件演示，加深对离心率问题的直观认识。

展示几何画板，取椭圆的长轴长不变，拖动两焦点改变它们之间的距离，再画椭圆，由学生观察出椭圆形状的变化。

老师：在刚才的演示中，我们发现在椭圆长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度不一样，可以用一个什么名词来描述呢？

学生在老师的启发下而提出离心率这一概念，进而得出可以用来表示离心率。1） 概念：椭圆焦距与长轴长之比。  2） 定义式：

老师：那么离心率这一概念的引入到底是用来刻划椭圆的哪一个几何性质呢？再一次演示几何画板。

学生发现不变时，c变大，即离心率变大时，椭圆越扁；c变小即离心率变小时，椭圆越圆。

学生10：离心率是用来刻划椭圆的扁平程度的一个量。离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆。

1） 范围：                 2） 考察椭圆形状与e的关系：

，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例。

椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例。

老师：进一步拓展，除了用可以来刻划椭圆的扁平程度，还可以用什么来刻划呢？学生指出也可以，老师再问，那是否也可以呢？它们分别是怎样来刻划的呢？留给大家课后思考。

3．反思构建，性质应用

1）求椭圆9x²＋25y²＝225的长轴和短轴的长，离心率、交点和顶点的坐标。

2）下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？

 

3）请你动手用尺子测量一下你手中的椭圆的长轴长和短轴长，写出该椭圆的标准方程。

由于每个同学手里的椭圆长轴与短轴长度不一样，因此在这个过程中学生都热情非常高的参与到这个测量的活动中来，进而写出其手中的椭圆的标准方程。

   本过程两个方面考察学生对于椭圆及其几何性质的掌握,应用2)更是突出了对学生的实际动手能力和观察能力的培养。

4．课堂小结，竞争合作

　 请你谈谈通过这节课的学习,你学习到了什么?并且请各组成员互相评价。

5．首尾呼应, 解决问题

 我们对于椭圆的几何性质的探索由来已久，现在椭圆的几何性质也正在被广泛的应用于各种设计中，国家大剧院是其中最典型的代表之一。当然,国家大剧院之所以会选择了椭球形的设计，还有其他方面的考虑，例如很多科技方面的因素,感兴趣的同学可以自己课下查找一些资料,对这个问题全面了解。

6．课后作业：

1）求出你的椭圆的焦点、顶点的坐标，离心率，并通过测量将焦点坐标标在你的椭圆上；

2）完成焦点在y轴上的椭圆的几何性质的研究。

探究活动：课后查阅资料尝试找到椭圆的几何性质在现实生活中的其他应用。

第二篇：《椭圆的简单几何性质》参考教案

椭圆的简单几何性质

教学目标：

(1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;

(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图;

(3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.

教学重点:椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图

教学难点:椭圆离心率的概念的理解.

教学方法：讲授法

课型：新授课         

教学工具：多媒体设备

一、复习：

1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.

2.椭圆的标准方程.

二、讲授新课：

（一）通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.

    [在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.]

已知椭圆的标准方程为：

1.范围

[我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中x，y的范围就知道了.]

问题1  方程中x、y的取值范围是什么?

由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式

≤1,    ≤1

即               x²≤a²,     y²≤b²

所以             |x|≤a，    |y|≤b

即            －a≤x≤a,   －b≤y≤b

这说明椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里。

2.对称性

  复习关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标之间的关系：

  点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为(x,－y)；

  点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为(－x, y)；

点（x,y）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)；

问题2  在椭圆的标准方程中①以－y代y②以－x代x③同时以－x代x、以－y代y,你有什么发现?

（1）    在曲线的方程里，如果以－y代y方程不变，那么当点P(x,y)在曲线上时，它关于x的轴对称点P’(x,－y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称。

（2）    如果以－x代x方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？[曲线关于y轴对称。]

（3）    如果同时以－x代x、以－y代y，方程不变，这时曲线又关于什么对称呢？[曲线关于原点对称。]

归纳提问：从上面三种情况看出，椭圆具有怎样的对称性？

椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的。

这时，椭圆的对称轴是什么？[坐标轴]

椭圆的对称中心是什么？[原点]

椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

3.顶点

  [研究曲线的上的某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与x轴，y轴的交点坐标.]

问题3  怎样求曲线与x轴、y轴的交点?

在椭圆的标准方程里，

令x=0,得y=±b。这说明了B₁(0,－b),B₂(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。

令y=0,得x=±a。这说明了A₁(－a,0),A₂(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。

因为x轴，y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。

线段A₁A₂,B₁B₂分别叫做椭圆的长轴和短轴。

它们的长|A₁A₂|=2a,|B₁B₂|=2b  (a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)

观察图形，由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即　　　　　|B₁F₁|=|B₁F₂|=|B₂F₁|=|B₂F₂|= a

在Rt△OB₂F₂中，由勾股定理有

         |OF₂|²=|B₂F₂|²－|OB₂|² ，即c²＝a²－b²

这就是在前面一节里，我们令a²－c²＝b²的几何意义。

4.离心率

定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝，叫做椭圆的离心率。

      因为a>c>0,所以0<e<1.

问题4  观察图形,说明当离心率e变化时,椭圆形状是怎样随之变化的?

  [调用几何画板，演示离心率变化(分越接近1和越接近0两种情况讨论)对椭圆形状的影响]

得出结论：(1)e越接近1时，则c越接近a，从而b越小，因此椭圆越扁；

(2)e越接近0时，则c越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合于椭圆的中心，图形变成圆。

当e＝1时，图形变成了一条线段。[为什么？留给学生课后思考]

5.例题

例1求椭圆16x²+25y²=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.

[根据刚刚学过的椭圆的几何性质知，椭圆长轴长2a，短轴长2b，该方程中的a＝？b＝？c＝？因为题目给出的椭圆方程不是标准方程，所以必须先把它转化为标准方程，再讨论它的几何性质]

解：把已知方程化为标准方程,  这里a＝5，b＝4，所以c＝＝3

因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a＝10，2b＝8

离心率e＝＝

两个焦点分别是F₁(－3,0),F₂(3,0)，

四个顶点分别是A₁(－5,0) A₁(5,0) A₁(0,－4) F₁(0,4).

[提问：怎样用描点法画出椭圆的图形呢？我们可以根据椭圆的对称性，先画出第一象限内的图形。]

   将已知方程变形为   ，根据

在0≤x≤5的范围内算出几个点的坐标(x,y)

先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆（如图）

说明：本题在画图时，利用了椭圆的对称性。利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性。

根据椭圆的几何性质，用下面的方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：

(1)   以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；

(2)   由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；

(3)   用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆。

[画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性]

（四）练习   

  填空：已知椭圆的方程是9x²+25y²=225,

(1)   将其化为标准方程是_________________.

(2)   a=___,b=___,c=___.

(3)   椭圆位于直线________和________所围成的________区域里.

椭圆的长轴、短轴长分别是____和____,离心率e＝_____,两个焦点分别是_______、______,四个顶点分别是______、______、______、_______.

例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)经过点(-3,0)、(0,-2);

(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6

例3 点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数，求点的轨迹.

（教师分析——示范书写）

例4、如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面） 的一部分。过对称轴的截口ABC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知AC^F1F2，|F1A|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm,求截口ABC所在椭圆的方程。

三、课堂练习：

①比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？

⑴与     ⑵与（学生口答，并说明原因）

②求适合下列条件的椭圆的标准方程.

⑴经过点

⑵长轴长是短轴长的倍，且经过点

⑶焦距是，离心率等于

（学生演板，教师点评）

焦点在x轴、y轴上的椭圆的几何性质对比.

      

四、小结

(1)理解椭圆的简单几何性质，给出方程会求椭圆的焦点、顶点和离心率;

(2)了解离心率变化对椭圆形状的影响;

(3)通过曲线的方程研究曲线的几何性质并画图是解析几何的基本方法.

五、布置作业