椭圆的几何性质
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设定点
，
，动点
满足条件
＞
，
则动点
的轨迹是 （ ）
A. 椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段或不存在 D. 不存在
2. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为
，长轴长为12，则椭圆方程为
A. 
或
B. 
（ ）
C. 
或
D. 
或
2. 过椭圆
的一个焦点
的直线与椭圆交于
、
两点，则、
与椭圆的另一焦点
构成
，那么的周长是
A. 
B. 2 C. 
D. 1 （ ）
3. 若椭圆的短轴为
，它的一个焦点为，则满足
为等边三角形的椭
圆的离心率是 A. 
B. 
C. 
D. 
（ ）
4. 若椭圆
上有一点，它到左准线的距离为
，那么点到右焦
点的距离与到左焦点的距离之比是 （ ）
A. 4∶1 B. 9∶1 C. 12∶1 D. 5∶1
6. 
，方程
表示焦点在
轴上的椭圆，则
的取
值范围是 A. 
B. 
C. 
D. 
（ ）
7. 参数方程 （
为参数）表示的曲线是 （ ）
A. 以
为焦点的椭圆 B. 以
为焦点的椭圆
C. 离心率为
的椭圆 D. 离心率为
的椭圆
8. 已知
＜4，则曲线
和
有 （ ）
A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴
9. 点
在椭圆
的内部，则
的取值范围是 （ ）
A. 
＜＜ B. ＜或＞
C. 
＜＜
D. 
＜＜
10. 若点在椭圆
上，、分别是椭圆的两焦点，且
，
则
的面积是 A. 2 B. 1 C. D. （ ）
11. 椭圆
的一个焦点为，点在椭圆上。如果线段
的中点
在轴上，那么点的纵坐标是 （ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
12. 椭圆
内有两点
，
，为椭圆上一点，若使
最小，则最小值为 A. 
B. 
C. 4 D. 
（ ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13. 已知椭圆
的离心率为，则此椭圆的长轴长为 。
14. 是椭圆
上的点，则到直线
：
的距离的最小
值为 。
15. 若点
是椭圆
上的点，则它到左焦点的距离为 。
16. 直线
与椭圆
相交于不同的两点、
，若
的中
点横坐标为2，则直线的斜率等于 。
三、解答题：本大题共6小题，满分74分。
17. （12分）已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率
，短轴长为
，求椭圆的方程。
18. （12分）已知点
和圆
：
，点
在圆上运动，点
在半径
上，且
，求动点的轨迹方程。
19. （12分）已知
、
是椭圆
的两个焦点，在椭圆
上，
，且当
时，面积最大，求椭圆的方程。
20. （12分）点
位于椭圆
内，过点的直线与椭圆交于两点、
，且点为线段的中点，求直线的方程及
的值。
21. （12分）已知椭圆
，能否在轴左侧的椭圆上找到一点，使
点到左准线的距离
为点到两焦点的距离的等比中项？若存在，求
出它的坐标，若不存在，请说明理由。
22.（14分）椭圆
＞
＞与直线
交于、两点，且
，其中
为坐标原点。
（1）求
的值；
（2）若椭圆的离心率
满足
≤≤，求椭圆长轴的取值范围。
参考答案
选择题：
CCADA DABAB CD
填空题
13． 4 或 4
14. 
15. 
16. 
解答题
17. 
或 
18. 利用定义法 ∴ 
19. 
= 3|y P|≤ 3b ∴ 
20. 点差法或联立方程组法
AB：x + 2y －3 = 0 | AB | = 
21. 设 M ( x o , y o ) ( －2≤ xo＜0 )
利用 
这与－2≤ xo＜0 不合
∴ 不存在点M满足题意
22. (1) 利用联立方程组法 注：OP ⊥ OQ 
x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
∴ 
(2) 长轴 2a ∈ [
]
练习：椭圆内有两点，，为椭圆上一点，若使
最小，求此最小值。
B为右焦点，F为左焦点，则 |PA| + |PB| = |PA| + 2a－|PF| = 10 + |PA|－|PF|
≥ 10－| AF | = 10 －
第二篇：圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结(1)
椭圆的定义、性质及标准方程
1. 椭圆的定义：
⑴第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数
e(0?e?1)，则动点M的轨迹叫做椭圆。
定点F是椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，常数e叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a等于2c，则动点轨迹是线段F1F2。 ②若常数2a小于2c，则动点轨迹不存在。 2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：
1
3. 焦半径公式：
椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x轴上时，设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，
P?x0，y0?是椭圆上任一点，则PF1?a?ex0，PF2?a?ex0。
推导过程：由第二定义得
PF1d1
， ?e（d1为点P到左准线的距离）
?a2?
则PF1?ed1?e?x0???ex0?a?a?ex0；同理得PF2?a?ex0。
c??
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
2
x2y2y2x2
?2?1；若焦点在y轴上，则为2?2?1。有时为了运算方便，设2abab
mx2?ny2?1(m?0,m?n)。
双曲线的定义、方程和性质
知识要点：
1． 定义
（1）第一定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：
①||PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|）是双曲线；
若2a=|F1F2|，轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a>|F1F2|时无轨迹。 ②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，这是与椭圆不同的地方。
（2）第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线L的距离之比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。
2． 双曲线的方程及几何性质
3． 几个概念
（1） 等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为2。
4
（2） 共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双x2y2x2y2曲线的共轴双曲线，例：2?2?1的共轴双曲线是2?2??1。 abab
① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。
抛物线标准方程与几何性质
一、抛物线定义的理解
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线l为抛物线的准线。
注：① 定义可归结为“一动三定”：一个动点设为M；一定点F（即焦点）；一定直线l（即准线）；一定值1（即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比1）
② 定义中的隐含条件：焦点F不在准线l上。若F在l上，抛物线退化为过F且垂直于l的一条直线
③ 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当0?e?1时，表示椭圆；当e?1时，表示双曲线；当e?1时，表示抛物线。
④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，
5
与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。
二、抛物线标准方程
1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。
2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：y2??2px?p?0?，x2??2py?p?0?，其中：
① 参数p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正值；p值越大，张口越大；等于焦点到抛物线顶点的距离。
②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为x轴时，方程中的一次项变量就是x， 若x的一次项前符号为正，则开口向右，若x的一次项前符号为负，则开口向左；p2若对称轴为y轴时，方程中的一次项变量就是y， 当y的一次项前符号为正，则开口向上，若y的一次项前符号为负，则开口向下。
三、求抛物线标准方程
求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.
① 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数p，因此要做到“先定位，再定值”。
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注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为y2?ax或x2?ay，这样可避免讨论。
② 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。
四、抛物线的简单几何性质
注：① 焦点的非零坐标是一次项系数的；
② 对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点，数形结合，掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。
五、直线与抛物线有关问题
1．直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去x或y化得形如ax2?bx?c?0（*）的式子： 4
① 当a?0时，（*）式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时
7
直线与抛物线不是相切，而是与抛物线对称轴平行或重合；
② 当a?0时，若△＞0?（*）式方程有两组不同的实数解? 直线与抛物线相交；
若△=0 ?（*）式方程有两组相同的实数解? 直线与抛物线相切；
若△＜0?（*）式方程无实数解? 直线与抛物线相离.
2．直线与抛物线相交的弦长问题
① 弦长公式：设直线交抛物线于A?x1,y1?,B?x2,y2?，则AB??kAB2?xA?xB 或AB??1?yA?yB. 2k
② 若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式处理： 抛物线y2??2px?p?0?上一点M?x0,y0?的焦半径长是MF??x0?x2??2py?p?0?上一点M?x0,y0?的焦半径长是MF??y0?p 2p，抛物线2
六、抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB为过抛物线y2??2px?p?0?焦点的弦，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，直线AB的倾斜角为?，则
p2① x1x2?,y1y2??p2； 4
② AB?2p?x1?x2?p； sin2?
③以AB为直径的圆与准线相切； ④弦两端点与顶点所成三角形的面积S?AOB
⑤
p2?； 2sin?112?? ； FBp8
⑥ 焦点F对A、B在准线上射影的张角为900；
七、抛物线有关注意事项
1．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，采用“设而不求”或“点差法”等方法，能避免求交点坐标的复杂运算.同时在解决直线与抛物线相交问题时不能忽视??0这个条件。
2．解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时，多从抛物线的定义出发，实现抛物线上任一点到焦点的距离和这点到准线的距离之间的相互转化，并应注意焦点弦的几何性质.
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