椭圆的标准方程及几何性质测试

1.椭圆的两个焦点分别是F₁(-8，0)和F₂(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则此椭圆方程是(    )

A.3x²+=1   B.+=1   C.+  =1   D.  +=1

2.与椭圆+=1共焦点，且过点P(3，-2)的椭圆方程是(    )

A.  +=1    B. +=1   C.+ =1   D. +=1

3.椭圆+=1的焦距是2，则m的值是 (    )

A.5        B.8           C.5或3              D.20

4.过椭圆+ =1左焦点F₁引直线l交椭圆于A、B两点，F₂是椭圆的右焦点，则△ABF₂的周长:

A.16         B.18        C.20              D.不能确定

5.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P(，-4)和Q(-，3)，此椭圆的方程是(    )

A. +y²=1    B.x²+=1 C.+y²=1或x²+=1 D.非A、B、C答案

6.在△ABC中，A(-1，0)，C(1，0)，且｜BC｜、｜CA｜、｜AB｜成公差为负的等差数列，则顶点B的轨迹方程为(    )

A. +=1     B. +=1(x＞0)   C. + =1(-2＜x＜0)   D. +=1(x＜0)

7.椭圆的焦点为(-2，0)和(2，0)，且椭圆过点(，-)，则椭圆方程是(    )

A. +=1  B. +=1   C. +=1       D. + =1

8.P是椭圆+=1上的点，它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍，则P点的坐标是(    )

A.(1，)  B. ( ，)   C.(1，±) D. (,±)

9.若关于x,y的方程x²sinα-y²cosα=1所表示的曲线是椭圆，则方程(x+cosα)²+(y+sinα)²=1所表示的圆心在(    )

A.第一象限    B.第二象限    C.第三象限    D.第四象限

10.椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=则椭圆的方程是(    )

A. +=1  B. +=1     C. +=1或+=1    D. +=1或+=1

二．填空题

11.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(-10，0)，则焦点坐标是 

12.椭圆以坐标轴为对称轴，长、短半轴之和为10，焦距为4，则椭圆方程为          .

13.P点在椭圆+=1上，F₁，F₂是椭圆的焦点，若PF₁⊥PF₂，则P点的坐标是         .

14.在周长为16的△ABC中，若B、C的坐标分别是(-3，0)和(3，0)，则点A的轨迹方程是                .

15.直线x-y-m=0与椭圆+y²=1相切，则m的值是               .

16.椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比是1∶4，短轴长为8，则椭圆的标准方程是              

三．解答题

17.椭圆+=1(a＞b＞0)的两个焦点及其与坐标轴的一个交点正好是一个等边三角形的三个顶点，且椭圆上的点到焦点距离的最小值为，求椭圆的方程.

18.已知椭圆+=1上的点P到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，求P点坐标.

19. 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．

20.已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程． 

21.已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

22.已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，  两点，求弦的长．

23.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．

椭圆的标准方程及几何性质测试参考答案

1.C  2.C  3.C  4.C  5.B  6.C  7.B  8.D  9.D  10.D

11.(0，-)  (0，) 12. +=1或+=1 13.(3，4)，(3，-4)，(-3，4)，(-3，-4)

14. +=1(y≠0)15.± 16. +=1或+=117. +=1 18.(0，2)或(0，-2)

19.分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．

解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，

即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，

即．∴点的轨迹是以，为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．

说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

20.分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则

（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为：  ． ⑥

将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．

（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：              ．（椭圆内部分）

（3）将代入⑤得所求轨迹方程为：     ．（椭圆内部分）

（4）由①＋②得  ：  ，  ⑦，      将③④平方并整理得

，     ⑧，             ，      ⑨

将⑧⑨代入⑦得：            ，         ⑩

再将代入⑩式得：   ，     即    ．

此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

21.解：（1）把直线方程代入椭圆方程得   ，

即．，解得．

（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．

根据弦长公式得  ：．解得．方程为．

说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．

这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．

用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

22.分析：可以利用弦长公式求得，

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．

解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

．因为，，所以．因为焦点在轴上，

所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．

由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以，，，      从而．

 (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．

由题意可知椭圆方程为，设，，则，．

在中，，即；

所以．同理在中，用余弦定理得，所以．

(法3)利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐标．

再根据焦半径，，从而求出．

18.分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去(或)，得到关于(或)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出，(或，)的值代入计算即得．

并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．

解：方法一：设所求直线方程为．代入椭圆方程，整理得

　①   

 设直线与椭圆的交点为，，则、是①的两根，∴

∵为中点，∴，．∴所求直线方程为．

方法二：设直线与椭圆交点，．∵为中点，∴，．

又∵，在椭圆上，∴，两式相减得，

即．∴．∴直线方程为．

方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为，另一个交点．

∵、在椭圆上，∴　　①。     　　　　　②

从而，在方程①－②的图形上，而过、的直线只有一条，∴直线方程为．

说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．

若已知焦点是、的椭圆截直线所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？

第二篇：椭圆标准方程及几何性质-生用

椭圆标准方程典型例题

一、知识要点：

1、椭圆的定义:

第一定义:平面内与两个定点F₁、F₂的距离之和为等于常数(大于｜F₁F₂｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.①当，点P无轨迹；②当时，点P的轨迹为线段；③当时，点P的轨迹为椭圆。

第二定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到相应的定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线.

2、椭圆的方程与几何性质:

3、点和椭圆的位置关系。

点和椭圆的方程为

①若，则点在椭圆内；（证明直线与椭圆恒相交的问题）

②若，则点在椭圆上；

③若，则点在椭圆外；

4、直线和椭圆的位置关系。

直线：，椭圆的方程为。（若直线过轴上一点，最好设直线方程为；若直线过轴上一点，最好设直线方程为）

将直线方程代入椭圆的方程得到关于一元二次方程，设它的判别式为Δ，

①相离Δ<0直线和椭圆无交点；

②相切Δ＝0直线和椭圆只有一个交点；

③相交Δ>0直线和椭圆有两个交点；弦长为，则

5、椭圆的标准方程的一般形式：

①若知道焦点的位置，可按焦点的位置设椭圆的标准方程。

②若不知道焦点的位置，可讨论在轴轴上两种情况，也可以直接设。

③和焦点相同的椭圆的标准方程为；

④和离心率相同的椭圆的标准方程为；

6、椭圆的焦半径公式

已知椭圆的标准方程为,焦点F₁，F₂为椭圆的左右焦点，若点为椭圆上一点，其横坐标为，则，，（左加右减）

7、焦点三角形应注意以下关系：以焦点在轴上为例：P()为椭圆上一点，|PF₁|＝r₁，|PF₂|＝r₂，∠F₁PF₂＝(1) 定义知：r₁＋r₂＝2a；(2) 余弦定理：＋－2r₁r₂cos＝(2c)²；(3) 面积：＝r₁r₂ sin＝·2c| y₀ |，⑷，⑸当P在短轴的端点时，为最大，即从长轴的端点向短轴的端点移动，逐渐变大。（6）焦点在轴上时，若轴，则

8、椭圆中点弦问题常用“点差法”求解。若椭圆焦点在轴上，弦的端点设为，中点为，把点代人圆锥曲线方程后相减得定值。（注意不要记），（设点不求点）

注意中点应在椭圆内部。

9、直线过椭圆的焦点时，①直线垂直焦点所在的轴时弦长最短，且最短为，此时弦叫通经，最长是长轴长；②以椭圆弦长为直径做圆，则此圆与相应的准线相离。

二、例与练

1、已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．

2、已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程

3、的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．

4、已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

5、已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．

6、已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．

7、已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，

求线段中点的轨迹方程．

8、已知椭圆及直线．

（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

9、以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．

10、已知方程表示椭圆，求的取值范围．

11、已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．

12、求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程．

13、知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹．

14、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．

15、椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为

A．4　　　B．2　     　C．8　     　D．

16、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称．

17、在面积为1的中，，，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程．

18、已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．