20##一、等差等比数列基础知识点
（一）知识归纳：
1．概念与公式：
①等差数列：1°.定义：若数列
称等差数列；
2°.通项公式：
3°.前n项和公式：公式：
②等比数列：1°.定义若数列
（常数），则
称等比数列；2°.通项公式：
3°.前n项和公式：
当q=1时
2．简单性质：
①首尾项性质：设数列
1°.若是等差数列，则
2°.若是等比数列，则
②中项及性质：
1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且
2°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且
③设p、q、r、s为正整数，且
1°. 若是等差数列，则
2°. 若是等比数列，则
④顺次n项和性质：
1°.若是公差为d的等差数列，
组成公差为n2d的等差数列；
2°. 若是公差为q的等比数列，组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立）
⑤若是等比数列，
则顺次n项的乘积：
组成公比这
的等比数列.
⑥若是公差为d的等差数列,
1°.若n为奇数，则
而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；
2°.若n为偶数，则
（二）学习要点：
1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.
2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.
3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或
，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为“
”④四数成等比数列，可设四数为“
”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.
[例1]解答下述问题：
（Ⅰ）已知
成等差数列，求证：
（1）
成等差数列；
（2）
成等比数列.
[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，
[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.
（Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为
，求项数n.
[解析]设公比为
（Ⅲ）等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：
求数列
[解析]
[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.
[例3]解答下述问题：
（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.
[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，
设等差数列的三项分别为a－d, a, a+d，则有
（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.
[解析]设此四数为
,
解得
所求四数为47，57，67，77
[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.
1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）
（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在
2.、在等差数列
中，
,且
,
,
成等比数列，则的通项公式为 （ ）
（A）
（B）
（C）或
（D）或
3、已知
成等比数列，且
分别为
与
、与
的等差中项，则
的值为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D） 不确定
4、互不相等的三个正数成等差数列，
是a,b的等比中项，
是b,c的等比中项，那么
，
，
三个数（ ）
（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列
（C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列
5、已知数列的前
项和为
,
,则此数列的通项公式为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
6、已知
，则 （ ）
（A）
成等差数列 （B）成等比数列 （C）
成等差数列 （D）成等比数列
7、数列的前项和
，则关于数列的下列说法中，正确的个数有 （ ）
①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
8、数列1
,前n项和为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
9、若两个等差数列、
的前项和分别为
、
，且满足
，则
的值为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
10、已知数列的前项和为
,则数列
的前10项和为 （ ）
（A）56 （B）58 （C）62 （D）60
11、已知数列的通项公式
为, 从中依次取出第3，9，27，…3n, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
12、下列命题中是真命题的是 ( )
A．数列是等差数列的充要条件是
(
)
B．已知一个数列的前项和为
,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列
C．数列是等比数列的充要条件
D．如果一个数列的前项和
,则此数列是等比数列的充要条件是
二、填空题
13、各项都是正数的等比数列，公比
,成等差数列，则公比
=
14、已知等差数列，公差
,
成等比数列，则
=
15、已知数列满足
,则
=
16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为
一、 解答题
17、已知数列是公差
不为零的等差数列，数列
是公比为的等比数列，
，求公比及
。
18、已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且都等于
,
，
,
,求
。
19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。
20、已知为等比数列，
，求
的通项式。
21、数列的前项和记为
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）等差数列
的各项为正，其前项和为
，且
，又
成等比数列，求
22、已知数列满足
（I）求数列的通项公式；
（II）若数列满足
，证明：是等差数列；
数列综合题
一、选择题
二、 填空题
13. 
14. 
15. 
16. 
6
三、解答题
17.a
=a1,a
=a10=a1+9d,a
=a46=a1+45d
由{abn}为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.
∴q=4 又由{abn}是{an}中的第bna项，及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1
∴bn=3·4n-1-2
18.∴ a3=3b3 , 
a1+2d=3a1d2 ,a1(1-3d2)=-2d ①
a5=5b5, a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d ②
,得
=2，∴ d2=1或d2=
,由题意，d=
,a1=-
。∴an=a1+(n-1)d=(n-6) bn=a1dn-1=-·()n-1
19.设这四个数为
则
由①，得a3=216,a=6 ③
③代入②，得3aq=36,q=2 ∴这四个数为3，6，12，18
20.解: 设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0, a2= = , a4=a3q=2q
所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3,
当q1=, a1=18.所以 an=18×()n－1= = 2×33－n.
当q=3时, a1= , 所以an=×3n－1=2×3n－3.
21.解：(I)由
可得
，两式相减得
又
∴
故是首项为
，公比为
得等比数列
∴
（Ⅱ）设的公差为
由得，可得
，可得
故可设
又
由题意可得
解得
∵等差数列的各项为正，∴
∴
∴
22（I）：
是以
为首项，2为公比的等比数列。
即 
（II）证法一：
①
②
②－①，得
即
③
④
④－③，得 
即 
是等差数列。