等比数列的性质以及常见题型
上课时间：2013.3.20
上课教师：
上课重点：掌握等比数列的常见题型，准确的运用等差数列的性质
上课规划：掌握等比数列的解题技巧和方法
一 公比
的运用
1.在等比数列
中，
，
，则它的公比
_______，前
项和
_______．
2.在等比数列
中, 
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.在等比数列
中，
，则公比
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.等比数列的公比为，则
的值为
5.设等比数列的前项和为
，若
，则
（ ）
A． B．
C．
D．
6.等比数列
的首项
，前项和为
，公比
，若
＝
，则
等于 ．
思考题
7.在等比数列中，公比
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
二 
性质的应用
1.在各项均为正数的等比数列
中，若
，则
……
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2.等比数列
的各项均为正数，且
，则
( )
A．12 B．10 C．8 D．
3.在等比数列中，若
是方程
的两根，则
的值是 .
4.在等比数列中
，
________。
5.已知各项均为正数的等比数列，
，
，则
A．
B．7 C．6 D．
6.设是任意等比数列，它的前项和，前
项和与前
项和分别为
，
，
，则下列等式中恒成立的是
A．
B．
C．
D．
三 求数列
的通项公式
（一）构造法求
构造法
1.已知数列
中，a
＝３，a
＝
a
＋１（n∈N
）求数列的通项公式
2.已知数列中，a＝１，a＝3a＋２，求数列的通项公式
（二）根据题意构造
1.数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝
Sn(n＝1，2，3…)．
（1）求证：数列{
}是等比数列．
（2）求数列
的通项公式.
2.已知在数列中，
，
，
（1）证明数列
为等比数列
（2）求数列的通项公式。
2.裂项相减（等差与等比之积的形式为等差数列，
为等比数列，则数列
的前
项和）
例题：设
是等差数列，
是各项都为正数的等比数列，且
，
，
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前n项和
．
四 其他类型
1.已知数列
的前项和是
，且
．
(Ⅰ) 求证
：数列是等比数列；
(Ⅱ) 记
，求
的前项和
的最大值及相应的值．
能力提升
已知函数f(x)定义在区间（-1，1）上，
,且当x,y∈(-1,1)时，恒有
,又数列{an}满足
,设
．
（１）证明：f(x)在（-1，1）上为奇函数；
（２）求f(an)的表达式；
（３）是否存在自然数m，使得对任意n∈N,都有
成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
第二篇：等比数列性质教案
等比数列性质教案
一 授课教师： 李文娟
二 授课对象： 09秋季平行班
三 授课题目
等比数列的性质
四 教学目标
能了解等比数列的性质，更快捷解题
五 教学重点
（1）an=amqn-m，是等比数列任意两项之间的关系，是通项公式an=a1qn-1的升级。
（2）若m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，有aman=apaq，是研究等比中项的基础。
（3）若a ,G, b成等比，那么G2=ab其中ab同号，G是ab的等比中项。
六 教学难点
当学生了等比数列的性质，最终为了把它应用到实际中去，但如何将等比数列运用到不同情节中去存在困难，所以，等比数列变式应用是本节的难点
七 教学过程
（一）复习引入：
复习1：等比数列的定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与它的前一项比等于同一个常数，这个数列就称为等比数列。这个常数就是等比数列的公比，用q表示。（q≠0）
2：等比数列的通项公式： an=a1qn-1
3：等差数列的性质：（1）等差数列的通项公式变型式 an=am+(n-m)d
（2）等差数列的下标公式 若m,n,p,q∈N*且m+n=p+q
则am+an=ap+aq
(3) 等差数列的中项公式. 若a G b成等差数列，则2G=a+b
（二）新课探究
思考：同样是数列等比数列会有和等差数列相似的性质吗？
知识点一：等比数列通项公式的变型式an=amqn-m（讨论等比数列任意两项之间的关系式）
例题 在等比数列中，若a4=4，a6=16,求a5
方法一： 用通项公式解法
a1q4-1 =4 解得 a1=±½
a1q6-1 =16 q2=4
a5=a1q5-1=±8
方法二：
用等比数列通项公式变型式解题
an=amqn-m
所以 a6=a4q6-4
即 16=4q2
得 q2=4
所以 a5=a4q5-4=±8
可以看出用变型式解题简便得多
思考：1：方法二与等差数列中求等差数列的项有没有相似处？
2：等差数列求项时出现过正负两个答案的情况吗？
3：最后可以用a4=a6q4-6解题吗？
思考
在等差数列中我们在解任意项时还有其它方法吗？
那么这个方法在等比数列中有吗？同样适用吗？
知识点二：
若a ,G, b成等比，那么G2=ab其中ab同号，G是ab的等比中项。
上题中因为4+6=5+5满足公式的前提
则在等比数列中有：
a4a6=a5a5
即4x16=a5²
a5=±8
得出等比数列有着与等差数列相类似的性质——可以运用通项公式，其变型式，以及下标运算公式解答已知任意两项求第三项的题目。
举一反三 既然如此是不是等比数列的其他性质也与等差数列类似？
思考
由上题中等比数列中项之间的关系发现了什么？
a5是a4与a6的中间项，这是巧合吗？将此性质与等差数列进行对比，你能发现什么？
知识点三：
若a,G,b成等比，那么G2=ab其中ab同号，G是ab的等比中项。
例题（先复习等差数列中常见的等差数列题型）
A 在-1与7之间插入三个数，使它们成等差数列，求这三个数。
因为插入是奇数
A 中，可以用等差数列等差中项解题
解：-1 a b c 7
2b=-1+7=6 b=3
2a=-1+3=2 a=1
2c=b+7=10 c=5
即 a=1
b=3
c=5
B 在-1与7之间插入两个数，使它们成等差数列，求这两个数。
因为插入是偶数
B 中，只能用通项公式解题
解： -1 a b 7
即已知a1=-1 a4=7 求a2 a3
a4=a1+(4-1)d
7=-1+3d
d=8/3
a=5/3
b=13/3
因此创建相似的情境让学生们在对比中发现规律及解题技巧。
例题
A 在1与9之间插入三个数，使它们成等比数列，求这三个数。
解：插入奇数
1 a b c 81
b²=1x81=81 b=±9
同理a也是1与b的等比中项，但是由于公式中只有同号的两个数才能有等比中项，所以b=9,-9(舍去)
a=±3 （不需舍取）
c=±27（不需舍取）
即a=±3,b=9,c=±27
B 在1与27之间插入两个数，使它们成等比数列，求这两个数。
解：插入偶数
1 a b 27
a1=1 a4=27 求a2 a3
a4=a1q4-1
q=3(只有一个值)
则a2=3 a3=9
即a=3 b=9
综合应用：（考点直击）
例题：已知a,b,c成等比数列且abc=27，而a,b+2,c成等差数列。求a,b,c的值
解：由题知： b²=ac 又abc=27
所以 b=3
又因为： a,5,c成等差数列，所以a+c=10
解出：a=1,b=3,c=9
（三）应用举例
是对知识点的直接应用，通过举例加深对公式的了解，掌握。
1，若a3=12 a11=108 求a7
2，在2与32之间插入三个数，使它们成等比数列，求这三个数
3在3与729之间插入4个数，使它们成等比数列，求这四个数。
（四）反馈练习
一（1）a3=½ a8=-½ 求a13
（2）a2=3 a6=3 求a10
二 （1）从1与16中插入3个数，使它们成为等比数列，求这3个数。
（2）从1与128中插入6个数，使它们成为等比数列，求这6个数。
（五）归纳小结
等比数列的性质从公式的结构上，解题的思路上与等差数列有相似的地方，也有不同的地方。（由学生口述，老师归纳总结）
1 解题思路相似，公式相似，方法相似。
2 解题结果由于数列的不同性质而不同，如等比数列会出现两组结果。
可以通过与等差数列进行对比帮助记忆，掌握。
（六）布置作业
课本P93 练习一、（1）（2）（3）
练习三、 （2）（4）（6）
板书设计
4.3等比数列性质
知识点一： 例题：（等差数列性质应用） 例题：（等比数列性质应用）
知识点二： 1： 1
知识点三： 2 2
等差数列性质 3 3
性质一：
性质二：
性质三：
