题型一：求值类的计算题（多关于等差等比数列）

A）根据基本量求解（方程的思想）

1、已知为等差数列的前项和，，求；

2、等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．

3、设是公比为正数的等比数列，若，求数列前7项的和.

4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.

B）根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知为等差数列的前项和，，则           ；

2、设、分别是等差数列、的前项和，，则      .

3、设是等差数列的前n项和，若（    ）

4、等差数列,的前项和分别为,,若,则=（    ）

5、已知为等差数列的前项和，，则         ..

题型二：求数列通项公式：

A）给出前几项，求通项公式

                               3，-33,333，-3333,33333……

B）给出前n项和求通项公式

1、⑴；  ⑵.

2、设数列满足，求数列的通项公式

C）给出递推公式求通项公式

a、⑴已知关系式，可利用迭加法或迭代法；

例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。

2. 已知数列满足，求数列的通项公式。

3.已知数列满足，求数列的通项公式。

4.设数列满足，，求数列的通项公式

b、已知关系式，可利用迭乘法. 

若，则

两边分别相乘得，

例：1. 已知数列满足，求数列的通项公式。

2.已知数列满足，，求。

3.已知， ，求。

c、构造新数列待定系数法

适用于

解题基本步骤：1、确定2、设等比数列，公比为3、列出关系式

4、比较系数求，5、解得数列的通项公式6、解得数列的通项公式

例：1. 已知数列中，，求数列的通项公式。

2.（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项______________

3.（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足求数列的通项公式；

4.已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设

5.  已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设

6.已知数列中，,，求

7. 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设 

8. 已知数列满足，求数列的通项公式。

d、给出关于和的关系

例1、设数列的前项和为，已知，设，

求数列的通项公式．

例2、设是数列的前项和，，.

⑴求的通项；

⑵设，求数列的前项和.

（6）根据条件找与项关系

例1.已知数列中，，若，求数列的通项公式

2.（2009全国卷Ⅰ理）在数列中，

（I）设，求数列的通项公式

（7）倒数变换法  适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。

（8）对无穷递推数列

消项得到第与项的关系

例：1. （20##年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。

2.设数列满足，．求数列的通项；

（8）、迭代法

例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。

解：因为，所以

又，所以数列的通项公式为。

（9）、变性转化法

1、对数变换法  适用于指数关系的递推公式

例： 已知数列满足，，求数列的通项公式。           

2、换元法  适用于含根式的递推关系

例：已知数列满足，求数列的通项公式。

题型三：证明数列是等差或等比数列

A)证明数列等差

例1、已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.

例2、已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+2S_n·S_n－1=0（n≥2），a₁=.求证：{}是等差数列；

B）证明数列等比

例1、设{a_n}是等差数列，b_n＝，求证：数列{b_n}是等比数列；

例2、设为数列的前项和，已知

⑴证明：当时，是等比数列；⑵求的通项公式

例3、已知数列满足

⑴证明：数列是等比数列；⑵求数列的通项公式；

⑶若数列满足证明是等差数列.

题型四：求数列的前n项和

基本方法：

A）公式法，

    公比含字母时一定要讨论

(理)无穷递缩等比数列时，

例：1.已知等差数列满足，求前项和

2. 等差数列{a_n}中，a₁=1,a₃+a₅=14，其前n项和S_n=100,则n=（　　）

A．9      B．10       C．11       D．12

3.已知等比数列满足，求前项和

B）拆解求和法.

例1、求数列的前项和.

例2、求数列的前项和.

例3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3）

C）裂项相消法，数列的常见拆项有：；；

例1、求和：S=1+

例2、求和：.

D）倒序相加法，

例、设，求：

⑴；

⑵

例：1. 求

2.求证：

3．设数列是公差为，且首项为的等差数列，

求和：

E）错位相减法，

例、若数列的通项，求此数列的前项和

例：1．求和

2.求和：

3.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，， （Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．

F）对于数列等差和等比混合数列分组求和

例、已知数列{a_n}的前n项和S_n=12n－n²，求数列{|a_n|}的前n项和T_n.

题型五：数列单调性最值问题

例1、数列中，，当数列的前项和取得最小值时，      .

例2、已知为等差数列的前项和，当为何值时，取得最大值；

例3、数列中，，求取最小值时的值.

例4、数列中，，求数列的最大项和最小项.

例5、设数列的前项和为．已知，，．

（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，求的取值范围．

例6、已知为数列的前项和，，.

⑴求数列的通项公式；

⑵数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.

例7、非等比数列中，前n项和，

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，是否存在最大的整数m，使得对任意的n均有总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。

综合练习：

1.设数列满足且

（1）求的通项公式

（2）设记，证明：

2.等比数列的各项均为正数，且，

（1）求数列的通项公式

（2）设，求数列的前n项和

3.已知等差数列满足, .

(1)求数列的通项公式及         

（2）求数列的前n项和

4.已知两个等比数列，，满足，，，

（1）若求数列的通项公式

（2）若数列唯一，求的值

5.设数列满足，

（1）求数列的通项公式

（2）令，求数列的前n项和

6.已知a₁=2，点(a_n,a_n+1)在函数f(x)=x²+2x的图象上，其中=1，2，3，…

（1）   证明数列｛lg(1+a_n)｝是等比数列；

（2）   设T_n=(1+a₁) (1+a₂) …(1+a_n)，求T_n及数列｛a_n｝的通项；

（3）   记b_n=，求｛b_n｝数列的前项和S_n，并证明S_n+=1.

7.已知等差数列满足：，的前n项和

（1）求及

（2）令（），求数列前n项和

8．已知数列中，前和

①求证：数列是等差数列②求数列的通项公式

③设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。

9.数列满足=8， （），

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．

第二篇：高中数学复习系列---数列常见题型总结

高中数学复习系列---数列（常见、常考题型总结）

题型一：求值类的计算题（多关于等差等比数列）

A）根据基本量求解（方程的思想）

1、已知为等差数列的前项和，，求；

2、等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．

3、设是公比为正数的等比数列，若，求数列前7项的和.

4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.

B）根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知为等差数列的前项和，，则           ；

2、设、分别是等差数列、的前项和，，则      .

3、设是等差数列的前n项和，若（    ）

4、等差数列,的前项和分别为,,若,则=（    ）

5、已知为等差数列的前项和，，则         .

6、在正项等比数列中，，则_______。

7、已知数列是等差数列，若  ,且,则_________。

8、已知为等比数列前项和，，，则        .

9、在等差数列中，若，则的值为（    ）

10、在等比数列中，已知，，则       .

11、已知为等差数列，，则          .

12、等差数列中，已知=                    .

题型二：求数列通项公式：

A）给出前几项，求通项公式

3，-33,333，-3333,33333……

B）给出前n项和求通项公式

1、⑴；  ⑵.

2、设数列满足，求数列的通项公式

C）给出递推公式求通项公式

a、⑴已知关系式，可利用迭加法或迭代法；

例：已知数列中，，求数列的通项公式；

b、已知关系式，可利用迭乘法.

例、已知数列满足：，求求数列的通项公式；

c、构造新数列

1°递推关系形如“”，利用待定系数法求解

例、已知数列中，，求数列的通项公式.

2°递推关系形如“，两边同除或待定系数法求解

例、，求数列的通项公式.

3°递推已知数列中，关系形如“”，利用待定系数法求解

例、已知数列中，，求数列的通项公式.

4°递推关系形如",两边同除以

例1、已知数列中，，求数列的通项公式.

例2、数列中，，求数列的通项公式.

d、给出关于和的关系

例1、设数列的前项和为，已知，设，

求数列的通项公式．

例2、设是数列的前项和，，.

⑴求的通项；

⑵设，求数列的前项和.

题型三：证明数列是等差或等比数列

A)证明数列等差

例1、已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.

例2、已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+2S_n·S_n－1=0（n≥2），a₁=.求证：{}是等差数列；

B）证明数列等比

例1、设{a_n}是等差数列，b_n＝，求证：数列{b_n}是等比数列；

例2、设为数列的前项和，已知

⑴证明：当时，是等比数列；⑵求的通项公式

例3、已知数列满足

⑴证明：数列是等比数列；⑵求数列的通项公式；

⑶若数列满足证明是等差数列.

题型四：求数列的前n项和

基本方法：

A）公式法，

B）拆解求和法.

例1、求数列的前项和.

例2、求数列的前项和.

例3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3）

C）裂项相消法，数列的常见拆项有：；；

例1、求和：S=1+

例2、求和：.

D）倒序相加法，

例、设，求：

⑴；

⑵

E）错位相减法，

例、若数列的通项，求此数列的前项和.

F）对于数列等差和等比混合数列分组求和

例、已知数列{a_n}的前n项和S_n=12n－n²，求数列{|a_n|}的前n项和T_n.

题型五：数列单调性最值问题

例1、数列中，，当数列的前项和取得最小值时，      .

例2、已知为等差数列的前项和，当为何值时，取得最大值；

例3、数列中，，求取最小值时的值.

例4、数列中，，求数列的最大项和最小项.

例5、设数列的前项和为．已知，，．

（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，求的取值范围．

例6、已知为数列的前项和，，.

⑴求数列的通项公式；

⑵数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.

例7、非等比数列中，前n项和，

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，是否存在最大的整数m，使得对任意的n均有总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。