不等式题型总结
典题精讲
例1(1)已知0<x<,求函数y=x(1-3x)的最大值;
(2)求函数y=x+的值域.
思路分析:(1)由极值定理,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x>0,因而不能直接使用基本不等式,需分x>0与x<0讨论.
(1)解法一:∵0<x<,∴1-3x>0.
∴y=x(1-3x)= ·3x(1-3x)≤[]2=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.∴x=时,函数取得最大值.
解法二:∵0<x<,∴-x>0.
∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3[]2=,当且仅当x=-x,即x=时,等号成立.
∴x=时,函数取得最大值.
(2)解:当x>0时,由基本不等式,得y=x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立.
当x<0时,y=x+=-[(-x)+].
∵-x>0,∴(-x)+≥2,当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立.
∴y=x+≤-2.
综上,可知函数y=x+的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,同时要注意等号成立的条件是否具备.
变式训练1当x>-1时,求f(x)=x+的最小值.
思路分析:x>-1x+1>0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.
解:∵x>-1,∴x+1>0.
∴f(x)=x+=x+1+-1≥2-1=1.
当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号.
∴f(x)min=1.
变式训练2求函数y=的最小值.
思路分析:从函数解析式的结构来看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面求最值的方法不易求解,事实上,我们可以把分母视作一个整体,用它来表示分子,原式即可展开.
解:令t=x2+1,则t≥1且x2=t-1.
∴y==.
∵t≥1,∴t+≥2=2,当且仅当t=,即t=1时,等号成立.
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