§1.1.1 数列的概念

本小节重点：了解数列概念、分类、通项公式；及通项公式的求法。

一、 基本概念

1. 数列的概念

1 按一定次序排列的一列数叫数列。 ○

注：数列的另一定义：数列也可以看做是一个定义域为正整数集

次取值时对应的一列函数值。

○2 数列中的每一个数按顺序1，2，3，…，都有一个序号，叫作项数，每一个序号也对应着一个数，这个数叫作数列中的项，例如第4个数，叫作第4项，第n个数，叫作第n项，记作;

，，，…，，…简单记为，其中表示数列的通项. ，当自变量从小到大依○3 数列的一般形式为○4 通项公式：如果一个数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式

表示时，我们称这个公式为这个数列的通项公式。

特别提示：a) 数列的通项公式不是唯一的，例如：-1，1，-1，1

，…通项公式可表示为或;

b) 不是所有的数列都有通项公式，例如：3，3.1，3.14，3.141，3.1415，…就没有通项公式.

○5 递推公式：如果已知数列

一项与它的前一项的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任（或前几项）间的关系式可以用一个公式来表示，则这个公式就叫作递推公式。

2. 数列的表示方法

○1 列表法，指列出表格来表示数列

○2 图像法，指在坐标平面中用点的第n项与序号n之间的关系. 表示.

○3 解析法，指用一数学式子表示来。例如：常用的通项公式.

3. 数列的分类

○1 按数列中项数的多少来分：有穷数列和无穷数列.

○2 按数列中相邻两项间的大小关系来分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列.

○3 按照任何一项的绝对值是否都大于某一正数来分：有界数列和无界数列.

二、 例题讲解

例1. 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

(1)

，，，，…

(2) 1,3,6,10,15,… (3) ,,,,… (4) 6,66,666,… (5),,,,… (6) ,,,,,,…或

特别提示：在此种题型当中一些常用的数列为：

1) 1，0，1，0，…; 2)-1,1,-1,1,…; 3)1,11,111,1111,…

例2. 已知数列

(1) 求数列的第10项

(2)

, 是否为该数列的项，为什么？

(3) 求证：数列中各项都在区间内；

(4) 在区间内有无数列中的项？

例3. 利用递推公式写出下列各题通项公式 (1)(可用两种方法)

(2)已知数列

满足求 (3)(插项法和叠加法组合)

(4)在数列中,已知,

(5)设是首项为1的正数数列，且

.（累乘法）

中，，数列中，,当

时，,求它的通项公式(6)已知数列,求

例4. 求下列数列中某一项

(1) 已知数列满足 ,求

(2) 已知数列对任意,有,若，求

(3) 在数列中，,求

(4) 已知数列满足,求

例5. 利用数列的单调性解答

(1)若数列的通项公式,数列的最大项为第x项，

最小项为第y项，则x+y=

(2)设数列的通项公式为,若数列是单调递增数

列，求实数k的取值范围.

(3)设,又知数列的通项

满足

,

1)试求数列

2)判断数列

(4)设的通项公式; 的增减性. ,

如果是定义在正整数集上的函数，且满足

,则=

例6. 和之间的关系 ; 注：数列的通项与前n项和的相互关系是：

(1) 已知数列

(2) 已知的前n项和求 ,求数列的通项公式.

(3) 已知,又数列中，，这个数列

的前n项和的公式

1) 求数列，对所有大于1的自然数n都有. 的通项公式.

2) 若, 求的值

特别提示：请同学自行归纳出求通项公式的基本方法.

第二篇：20xx高考数学复习知识清单——数列概念

知识清单

1．数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，??，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作an；

数列的一般形式：a1，a2，a3，??，an，??，简记作 ?an?。

（2）通项公式的定义：如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如，数列①的通项公式是an= n（n?7，n?N?），

1数列②的通项公式是an= （n?N?）。 n

说明：

①?an?表示数列，an表示数列中的第n项，an= f?n?表示数列的通项公式；

??1,n?2k?1② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= (?1)=?(k?Z)； ③不是每个数列?1,n?2k?

都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，??

（3）数列的函数特征与图象表示：

序号：1 2 3 4 5 6

项 ：4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N?（或它的有限子集）的函数f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2),f(3),??，f(n)，??．通常用an来代替f?n?，其图象是一群孤立点。 n

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

（5）递推公式定义：如果已知数列?an?的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an?1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

(n?1)?S1（6） 数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：an?? S?S(n≥2)n?1?n

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2010高考数学复习知识清单——等差数列

知识清单

1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an?an?1?d(n?2)或an?1?an?d(n?1)。

2、等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d；

说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d?0为递增数列，d?0为常数列，d?0 为递减数列。

3、等差中项的概念：

a?b定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A? a，A，2

a?bb成等差数列?A?。 2

n(a1?an)n(n?1)?na1?d。 4、等差数列的前n和的求和公式：Sn?22

5、等差数列的性质：

（1）在等差数列?an?中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列?an?中，相隔等距离的项组成的数列是AP，

如：a1，a3，a5，a7，??；a3，a8，a13，a18，??；

（3）在等差数列?an?中，对任意m，n?N?，an?am?(n?m)d，d?an?am(m?n)； n?m

（4）在等差数列?an?中，若m，n，p，q?N?且m?n?p?q，则am?an?ap?aq； 说明：设数列{an}是等差数列，且公差为d，

S奇a?n； S偶an?1

Sn（Ⅱ）若项数为奇数，设共有2n?1项，则①S偶?S奇?an?a中奇?。 S偶n?1（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n项，则①S奇?S偶?nd； ②

6、数列最值

（1）a1?0，d?0时，Sn有最大值；a1?0，d?0时，Sn有最小值；

（2）Sn最值的求法：①若已知Sn，可用二次函数最值的求法（n?N?）；②若已知an，则Sn最值时n的

?an?0?an?0值（n?N?）可如下确定?或?。 a?0a?0?n?1?n?1

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2010高考数学复习知识清单——等比数列

知识清单

1．等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫．．．．．．

做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q?0)，即：an?1：an?q(q?0)数

1列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，?。（注意：“从第二项起”、“常数”2

q、等比数列的公比和项都不为零）

2．等比数列通项公式为：an?a1?qn?1(a1?q?0)。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比d?1时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等

a比数列的通项公式知：若{an}为等比数列，则m?qm?n。 an

3．等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

4．等比数列前n项和公式

a1(1?qn)一般地，设等比数列a1,a2,a3,?,an,?的前n项和是Sn?a1?a2?a3???an，当q?1时，Sn? 1?q

a?aq或Sn?1n；当q=1时，Sn?na1（错位相减法）。 1?q

说明：（1）a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是qn，通项公式中是qn?1不要混淆；（3）应用求和公式时q?1，必要时应讨论q?1的情况。

5．等比数列的性质

①等比数列任意两项间的关系：如果ann项，am是等差数列的第m项，且m?n为q，则有an?amqn?m；

②对于等比数列?an?，若n?m?u?v，则an?am?au?av，也就是：a1?an?a2?an?1?a3?an?2???，如图

a1?an???????????,a3,?,an?2,an?1,an。 2?所示：a1,a????????

a2?an?1

③若数列?an?Sn是其前n项的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k

如下图所示：

S3k?????????????????????????a1?a2?a3???ak?ak?1???a2k?a2k?1???a3k ???????????????????????

SkS2k?SkS3k?S2k

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2010高考数学复习知识清单——数列通项与求和

知识清单

1．数列求通项与和

?s?sn?1n?2（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=?n 。 n?1?s1

（2）求通项常用方法

①作新数列法。作等差数列与等比数列；

②累差叠加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+?+(a2－a1)+a1；

③归纳、猜想法。

（3）数列前n项和

1①重要公式：1+2+?+n=n(n+1)； 2

112+22+?+n2=n(n+1)(2n+1)； 6

113+23+?+n3=(1+2+?+n)2=n2(n+1)2； 4

②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；

③等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；

④裂项求和

将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：an?1111111?(?)、=－、n·n！=(n+1)!－n!、Cn－1r－1=Cnr

n?1(An?B)(An?C)C?BAn?BAn?Cn(n?1)n

－Cn－1r、1n1=－等。 (n?1)!n!(n?1)!

⑤错项相消法

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。an?bn?cn, 其中?bn?

1是等差数列， ?cn?是等比数列，记Sn?b1c1?b2c2???bn?1cn?1?bncn，则qSn?b2????c?nb1?nc?n，? bnc

⑥并项求和

把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。

数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

⑦通项分解法：an?bn?cn

2．递归数列

数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k－1,an+k－2,?,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列{2n?1}即为递归数列。

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（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。

（2）迭代法。

（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。

（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。

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