高中数学《数列》常见、常考题型总结
题型一：求值类的计算题（多关于等差等比数列）
A）根据基本量求解（方程的思想）
1、已知
为等差数列
的前
项和，
，求；
2、等差数列
中，
且
成等比数列，求数列前20项的和
．
3、设是公比为正数的等比数列，若
，求数列前7项的和.
B）根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知为等差数列的前项和，
，则
；
2、设、
分别是等差数列、的前项和，
，则
.
3、设
是等差数列
的前n项和，若
（ ）
4、已知为等差数列的前项和，
，则
.
5、在正项等比数列中，
，则
_____
__。
6、已知为等比数列前项和，
，
，则
.
7、在等差数列中，若
，则
的值为（ ）
8、在等比数列中，已知
，
，则
.
题型二：求数列通项公式：
1）给出前n项和求通项公式
1、⑴
； ⑵
.
2、设数列满足
，求数列的通项公式
2）给出递推公式求通项公式
a、⑴已知关系式
，可利用累加法；
例：已知数列中，
，求数列的通项公式；
例:已知数列
满足
，
，求
。
b、已知关系式
，可利用累乘法.
例、已知数列满足：
，求求数列的通项公式；
例:已知
，
，求。
c、构造新数列
1°递推关系形如“
”，利用待定系数法求解
例、已知数列中，
，求数列的通项公式.
2°递推关系形如“，两边同除
或待定系数法求解
例、
，求数列的通项公式.
例:已知数列中，
,
，求。
3°递推关系形如"
,两边同除以
例1、 已知数列中，
，求数列的通项公式.
例2、数列
中，
，求数列的通项公式.
d、给出关于
和
的关系
例1、设数列的前项和为，已知
，设
，
求数列
的通项公式．
例2、设是数列的前项和，
，
.
⑴求的通项；⑵设
，求数列的前项和.
例：已知数列前n项和
.（1）求
与的关系；（2）求通项.
题型三：证明数列是等差或等比数列
A)证明数列等差
例1、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=
.求证：{
}是等差数列；
B）证明数列等比
例1、已知数列满足
⑴证明：数列
是等比数列； ⑵求数列的通项公式；
题型四：求数列的前n项和
基本方法：A）公式法，B）拆解求和法.
例1、求数列
的前项和.
C）裂项相消法，数列的常见拆项有：
；
；
例1、求和：S=1+
例2、求和：
.
D）倒序相加法，
例、设
，求：
E）错位相减法，
例、若数列的通项
，求此数列的前项和.
题型五：数列单调性最值问题
例1、数列中，
，当数列的前项和取得最小值时，
.
例2、已知为等差数列的前项和，
当为何值时，取得最大值；
例3、设数列的前项和为．已知
，
，
．
（Ⅰ）设
，求数列
的通项公式；（Ⅱ）若
，，求
的取值范围．
第二篇：数列题型总结
数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
习题1已知数列
试写出其一个通项公式：__________
（答：
）
⑵已知
（即
）求
，用作差法：
。习题2①已知
的前
项和满足
，求（答：
）；
②数列满足
，求（答：
）
⑶已知
求，用作商法：
。
习题3数列
中，
对所有的
都有
，则
______
（答：
）
⑷若
求用累加法：
。
习题4已知数列
满足
，
，则=________（答：
）
⑸已知
求，用累乘法：
。
习题5已知数列中，
，前项和
，若
，求（答：
）
⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如
、
（
为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为
的等比数列后，再求。
习题6①已知
，求（答：
）；
②已知
，求（答：
）；
（2）形如
的递推数列都可以用倒数法求通项。
习题7①已知
，求（答：
）；
②已知数列满足
=1，
，求（答：
）
注意：（1）用
求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（
，当
时，
）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。习题8数列满足
，求（答：
）
数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：
，
，
.如（1）等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则
＝_____（答：
）；
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：
（答：
）
（3）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.
习题（1）设为等比数列，
，已知
，
，①求数列的首项和公比；②求数列
的通项公式.（答：①
，
；②
）；
（4）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①
(重要)； ②
（重要）；
③
，
；
④
；
⑤
.
如（1）求和：
（答：
）；（2）在数列中，
，且Sｎ＝９，则n＝_____（答：99）；