解三角形
2[课前热身]
1．(教材习题改编)已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于( )
A．135° B．90°
C．45° D．30°
2．在△ABC中，
，则A等于( )
A．60° B．45° C．120° D．30°
3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积是( )
A. B. C. D.
4．(2010年高考广东卷)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinA＝________.
5．
5．在△ABC中，如果A＝60°，c＝，a＝，则△ABC的形状是________．
3[考点突破]
考点一 正弦定理的应用
利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角．
例1、(1)(20##年高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．
(2)满足A＝45°，a＝2，c＝的△ABC的个数为________．
考点二 余弦定理的应用
利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求其他边角．由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的．
例2、在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b的值；
(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．
考点三三角形形状的判定
判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
例3、(20##年高考辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且
2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
互动探究
1 若本例条件变为：sinC＝2sin(B＋C)cosB，试判断三角形的形状．．
方法感悟:
方法技巧
解三角形常见题型及求解方法
(1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及＝＝，可求出角C，再求出b，c.
(2)已知两边b，c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA, 求出a，再由正弦定理，求出角B，C.
(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.
(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理＝求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，求出C，再由＝，求出c，而通过＝求B时，可能出现一解，两解或无解的情况，其判断方法如下表：
失误防范
1．用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解．
2．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；三角形的内角和定理与诱导公式结合产生的结论?sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sin?cos，sin2A＝－sin2([1]＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)等．
3．对三角形中的不等式，要注意利用正弦 余弦的有界性进行适当“放缩”．
五、规范解答
(本题满分12分)(20##年高考大纲全国卷Ⅱ)在△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，求AD的长．
【解】 由cos∠ADC＝>0知∠B<，
由已知得cosB＝，sin∠ADC＝，4分
从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB
＝×－×＝.9分
由正弦定理得＝，
所以AD＝＝＝25.12分
【名师点评】 本题主要考查正弦定理、三角恒等变换在解三角形中的应用，同时，对逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查．本题从所处位置及解答过程来看，难度在中档以下，只要能分析清各量的关系，此题一般不失分．出错的原因主要是计算问题．
名师预测
1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝( )
A．－ B.
C．－ D.
2．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且S△ABC＝，那么角C＝________.
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2b－c)·cosA－acosC＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，S△ABC＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：(1)法一：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，
由正弦定理得，
(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，
∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，
即sinB(2cosA－1)＝0.
∵0<B<π，
∴sinB≠0，∴cosA＝.
∵0<A<π，∴A＝.
法二：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，
由余弦定理得，
(2b－c)·－a·＝0，
整理得b2＋c2－a2＝bc，
∴cosA＝＝.
∵0<A<π，∴A＝.
(2)∵S△ABC＝bcsinA＝，
即bcsin＝，
∴bc＝3，①
∵a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴b2＋c2＝6，②
由①②得b＝c＝，
∴△ABC为等边三角形．
课后作业
1 在△ABC中，角
均为锐角，且
则△ABC的形状是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
2 边长为
的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
3 在
△ABC中，
，则
的最大值是_______________.
4 在△ABC中，若
_________.
5 已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量
夹角的余弦角为
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求
的取值范围.
6 △ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.
（Ⅰ）若
，求cosA的值；
（Ⅱ）若A∈[
，
]，求
的取值范围.
7 在△ABC中，求证：
8 在锐角△ABC中，求证：
.
第二篇：高一数学必修5解三角形_知识点和练习题(含答案)
1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于
A．60°
B．60°或120°
（ ）
C．30°或150° D．120°1、的值等于（ ）
（ ）
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是
A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b=2 ,∠A=30° C．a=1,b=2,∠A=100° C．b=c=1, ∠B=45° 3、在锐角三角形ABC中，有
A．cosA>sinB且cosB>sinA C．cosA>sinB且cosB<sinA
B．cosA<sinB且cosB<sinA D．cosA<sinB且cosB>sinA
（ ） （ ）
4、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是
A．直角三角形 C．等腰三角形
B．等边三角形 D．等腰直角三角形
5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有等根，那么角B
A．B>60°
B．B≥60° C．B<60°
D．B ≤60°
（ ）
D．不定
（ ）
6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为 A．4
B．2
C．1
7、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β, α(α<
β),则A点离地面的高度AB等于
（ ）
A
B
asin?sin?A．
sin(???)
C．
asin??sin?B．
cos(???)
asin?cos?acos?sin?
D．
sin(???)cos(???)
9、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=
7
, 则ΔABC是______三角形. 12
参考答案（正弦、余弦定理与解三角形）
一、BDBBD AAC 二、（9）钝角 （10）
14?1
3 （11） （12） 三、（13）分析：化
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简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理
a2?c2?b2a2?c2?b21
cos60?????a2?c2?ac?ac ?(a?c)2?0，
2ac2ac2
b2sinA
?a?c. 由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形. ②由btanA?atanB?
cosA
2
2
a2sinBsinBcosAb2sin2B???2??sinAcosA?sinBcosB,?sin2A?sin2B,∴A=B2
cosBsinAcosBasinA
或
A+B=90°，∴△ABC为等腰△或Rt△. ③?sinC?sinA?sinB，由正弦定理：
cosA?cosB
a2?b2?c2a2?c2?b2
c(cosA?cosB)?a?b,再由余弦定理：c??c??a?b
2bc2ac
22
?(a?b)(c2?a2?b2)?0,?c2?a2?b2,??ABC为Rt?. ④由条件变形为sin(A?B)?a2?b2
sin(A?B)a?b
sin(A?B)?sin(A?B)a2sinAcosBsin2A??2,???sin2A?sin2B,?A?B或A?B?90?. 2
sin(A?B)?sin(A?B)bcosAsinBsinB
∴△ABC是等腰△或Rt△.