三角函数图象与性质复习题
要求：1、能正确画出
，
，
的图象
2、给定条件，能够求，，的定义域、值域、单调区间；
3、给定条件，能够求
中的
。
4、掌握正弦余弦函数图象平移法则，区分先平移后伸缩与先伸缩后平移之间的差别。
5、结合图象，会求诸如
的取值范围。
6、会作出含有绝对值的正弦、余弦、正切函数图象。如
，
常考题型：
1、
的最小正周期是 、对称轴是 、单调递增区间是 、单调递减区间是 ；振幅是 、相位是 、初相是 。用五点法作出该函数的图象。并说明该函数怎样由变化而来。
2、求
的单调递减区间。
3、比较大小 j
； k
4、求
的最大值、最小值及对应的x的取值范围。
5、求
的最值及对应的x的取值。
6、若
的最大值是
，最小值是
，求
的值。
7、为了得到
的图象，只须将
的图象向 平移 个单位。
8、定义在R的函数
，对任意
都有
。（1）证明是周期函数。（2）若
，求
。
9、若
，在其一个周期内的图象上有一个最高点
和一个最低点
，求这个函数的解析式。
10、求
的值域
第二篇：(典型题)20xx高考数学二轮复习 知识点总结 三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质
1.对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇.2.题型多以小而活的选择题、填空题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档．
1． 三角函数定义、同角关系与诱导公式
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(2)同角关系：si
n2α＋cos2α＝1，＝tan α.
(3)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
2． 三角函数的图象及常用性质
3． 三角函数的两种常见变换
考点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题
例1 (1)
如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐
标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针
从P0(此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函
数关系为 ( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
(2)已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为 ( )
A. B. C. D.
弄清三角函数的概念是解答本题的关键．
答案 (1)C (2)D
解析 (1)由三角函数的定义可知，初始位置点P0的弧度为，由于秒针每秒转过的弧度为－，针尖位置P到坐标原点的距离为1，故点P的纵坐标y与时间t的函数关系可能为y＝sin.
(2)tan θ＝＝＝－1，
又sin >0，cos <0，
所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝.
(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．
(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
(1)已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝，则cos的值为 ( )
A. B．－
C. D．－
答案 B
解析 由tan(3π＋α)＝，
得tan α＝，cos＝cos＝sin α.
∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－.
(2)如图，
以Ox为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P，
已知点P的坐标为.
求的值．
解 由三角函数定义，
得cos α＝－，sin α＝，
∴原式＝＝
＝2cos2α＝2×2＝.
考点二 三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式
例2 
函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(其中|φ|<)的图象如图所示，为了得到
g(x)＝sin ωx的图象，则只要将f(x)的图象 ( )
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位
答案 A
解析 由图象可知，＝－＝，
∴T＝π，∴ω＝＝2，再由2×＋φ＝π，
得φ＝，所以f(x)＝sin.
故只需将f(x)＝sin 2向右平移个单位，
就可得到g(x)＝sin 2x.
(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
(1)(2013·四川)
函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部
分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 ( )
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
答案 A
解析 ∵T＝－，T＝π，∴ω＝2，
又2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，
又φ∈，∴φ＝－，选A.
(2)(2012·浙江)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
答案 A
解析 利用三角函数的图象与变换求解．
y＝cos 2x＋1横坐标伸长2倍纵坐标不变
y＝cos x＋1
y＝cos(x＋1)＋1
y＝cos(x＋1)．
结合选项可知应选A.
(3)已知函数f(x)＝sin 2x－2sin2x＋2，x∈R.
①求函数f(x)的最大值及对应的x的取值集合；
②画出函数y＝f(x)在[0，π]上的图象．
解 ①f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1，
当2x＋＝2kπ＋ (k∈Z)时，f(x)取最大值3，
此时x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
②列表如下：
图象如下：
考点三 三角函数的性质
例3 (2012·北京)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
先化简函数解析式，再求函数的性质．
解 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为f(x)＝
＝2cos x(sin x－cos x)
＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin－1，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝sin x的单调递增区间为
(k∈Z)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为和(k∈Z)．
函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路
第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；
第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．
(1)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，g(x)＝sin x－cos x，有下列四个命题：
①将f(x)的图象向右平移个单位可得到g(x)的图象；
②y＝f(x)g(x)是偶函数；
③f(x)与g(x)均在区间上单调递增；
④y
＝的最小正周期为2π.
其中真命题的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 f(x)＝sin(x＋)，
g(x)＝sin x－cos x＝sin(x－)，显然①正确；
函数y＝f(x)g(x)＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，
其为偶函数，故②正确；
由0≤x＋≤及－≤x－≤0都可得－≤x≤，
所以由图象可判断函数f(x)＝sin(x＋)和函数g(x)＝sin(x－)在[－，]上都为增函数，故③正确；
函数y＝＝＝＝－tan(x＋)，由周期性定义可判断其周期为π，故④不正确．
(2)(2013·安徽)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
①求ω的值；
②讨论f(x)在区间上的单调性．
解 ①f(x)＝4c
os ωx·sin
＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx
＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋
＝2sin＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0.
从而有＝π，故ω＝1.
②由①知，f(x)＝2sin＋.
若0≤x≤，
则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，
即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x＋≤，
即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间上单调递增，
在区间上单调递减．
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ))的单调区间
(1)将ω化为正．
(2)将ωx＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解．
2． 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的图象求解析式
(
1)A＝，B＝.
(2)由函数的周期T求ω，ω＝.
(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.
3． 函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．
4． 求三角函数式最值的方法
(1)将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，进而结合三角函数的性质求解．
(2)将三角函数式化为关于sin x，cos x的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解．
5． 特别提醒：
进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.
1． 假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：
①f(x)＝sin x－cos x；②f(x)＝(sin x＋cos x)；
③f(x)＝sin x＋2；④f(x)＝sin x.
则其中属于“互为生成函数”的是 ( )
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
答案 B
2． 已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－(ω>0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.
(1)求f(x)的表达式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
解 (1)f(x)＝sin 2ωx＋×－
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin(2ωx＋)，
由题意知，最小正周期T＝2×＝，
T＝＝＝，所以ω＝2，
∴f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，
得到y＝sin(4x－)的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，
纵坐标不变，得到y＝sin(2x－)的图象．
所以g(x)＝sin(2x－)．
令2x－＝t，∵0≤x≤，∴－≤t≤.
g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有一个实数解，
即函数g(t)＝sin t与y＝
－k在区间[－，]上有且只有一个交点．
如图，
由正弦函数的图象可知－≤－k<或－k＝1.
∴－<k≤或k＝－1.
(推荐时间：60分钟)
一、选
择题
1． 点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 记α＝∠POQ，由三角函数的定义可知，
Q点的坐标(x，y)满足x＝cos α＝cos ＝－，
y＝sin α＝sin ＝.
2． 已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于 ( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
解析 因为sin α＋cos α＝，
两边平方得1＋2sin αcos α＝，所以sin 2α＝－.
由于sin α＋cos α＝sin＝>0，
且α为第二象限角，
所以2kπ＋<α<2kπ＋，k∈Z，
所以4kπ＋π<2α<4kπ＋，k∈Z，
所以cos 2α＝－＝－＝－.
3． 将函数y＝cos的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平
移个单位，所得函数图象的一条对称轴是 ( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝π D．x＝
答案 D
解析 y＝cos横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变
y＝cos
y＝cos，即y＝cos.
因为当x＝时，y＝cos＝1，
所以对称轴可以是x＝.
4．
若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所
示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且·＝0，则A·ω
等于 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题中图象知＝－，
所以T＝π，所以ω＝2.
则M，N
由·＝0，得＝A2，
所以A＝，所以A·ω＝.
5． 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) (ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为 ( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 A
解析 由f＝0知是f(x)图象的一个对称中心，又x＝是一条对称轴，所以应有，
解得ω≥2，即ω的最小值为2，故选A.
6． (2013·江西)
如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t
＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆
被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y与时间t(0≤t≤1，
单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为 ( )
答案 B
解析 方法一 (排除法)
当t＝0时，y＝cos 0＝1，否定A、D.
当t＝时，l2上方弧长为π.
y＝cos π＝－
.
∴否定C，只能选B.
方法二 (直接法)
由题意知∠AOB＝x，OH＝1－t，
cos∠AOH＝cos ＝＝1－t，
∴y＝cos x＝2cos2－1
＝2(1－t)2－1(0≤t≤1)．
∴选B.
二、填空题
7． 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
答案 －8
解析 因为sin θ＝＝－，
所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.
8． 函数f(x)＝sin πx＋cos πx＋|sin πx－cos πx|对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2－x1|的最小值为________．
答案
解析 依题意得，当sin πx－cos πx≥0，
即sin πx≥cos πx时，f(x)＝2sin πx；
当sin πx－cos πx<0，
即sin πx<cos πx时，f(x)＝2cos πx.
令f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，
结合函数y＝f(x)的图象可知，|x2－x1|的最小值是.
9． 已知f(x)＝2sin－m在x∈[0，]上有两个不同的零点，则m的取值范围为________．
答案 [1,2)
解析 
函数f(x)＝2sin－m在x∈[0，]上有两个不同的零
点，等价于方程m＝2sin在区间[0，]上有两解．
作出如图的图象，由于右端点的坐标是，由图可知，
m∈[1,2)．
10．关于函数f(x)＝sin 2x－cos 2x有下列命题：
①y＝f(x)的周期为π；②x＝是y＝f(x)的一条对称轴；③是y＝f(x)的一个对称中心；④将y＝f(x)的图象向左平移个单位，
可得到y＝sin 2x的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)．
答案 ①③
解析 由f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，
得T＝＝π，故①对；
f＝sin ≠±，故②错；
f＝sin 0＝0，故③对；
y＝f(x)的图象向左平移个单位，
得y＝sin＝sin，
故④错．故填①③.
三、解答题
11．(2013·山东)设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 
(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx
＝－×－sin 2ωx
＝cos 2ωx－sin 2ωx
＝－sin.
依题意知＝4×，ω>0，所以ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝－sin.
当π≤x≤时，≤2x－≤.
所以－≤sin≤1.
所以－1≤f(x)≤.
故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.
12．(2012·湖南)已知函数f(x)＝Asi
n(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．
解 (1)由题设图象知，周期T＝2＝π，
所以ω＝＝2.
因为点在函数图象上，
所以Asin＝0，
即sin＝0.
又因为0<φ<，所以<＋φ<.
从而＋φ＝π，即φ＝.
又点(0,1)在函数图象上，所以Asin ＝1，解得A＝2.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)g(x)＝2sin－2sin
＝2sin 2x－2sin
＝2sin 2x－2
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数g(x)的单调递增区间是，k∈Z.