新课标人教A版高一数学必修1知识点总结

高中数学必修1知识点

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念：

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性；  （2）元素的互异性； （3）元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

（Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}

（3）图示法（文氏图）：

4、常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集  N*或 N+   整数集 Z  有理数集Q  实数集 R

5、“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 aA

6、集合的分类：

1．有限集 含有有限个元素的集合2．无限集 含有无限个元素的集合3．空集 不含任何元素的集合

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系———子集

对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB

注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2ⁿ.

2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设  A={x|x²-1=0}    B={-1,1}   “元素相同”

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

① 任何一个集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB

③如果 AB, BC ,那么 AC

④ 如果AB  同时 BA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．

记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集与并集的性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A.

4、全集与补集

（1）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

（2）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中

所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。

记作： C_SA ，即 C_SA ={x | xS且 xA}

（3）性质：⑴C_U(C _UA)=A  ⑵(C _UA)∩A=Φ  ⑶(C _UA)∪A=U

(4)(C _UA)∩(C _UB)=C _U(A∪B)  (5)(C _UA)∪(C _UB)=C _U(A∩B)

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

定义域补充：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.  (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。

（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。   相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 (两点必须同时具备)

值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. 

(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．

C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }

图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

(2) 画法：

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法：

常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换

Ⅰ、对称变换:

（1）将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象

（2） y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如

（3） y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。如

Ⅱ、平移变换:    由f(x)得到f(xa)     左加右减；     由f(x)得到f(x)a     上加下减

(3)作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误。

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

5．映射

定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”

给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；

③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6、函数的表示法：

常用的函数表示法及各自的优点：

1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。

2 解析法：必须注明函数的定义域；

3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；

4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

补充一：分段函数

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

补充二：复合函数

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)  称为f是g的复合函数。

7．函数单调性

（1）．增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间；

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x₁，x₂，当x₁<x₂ 时，都有f(x₁)＞f(x₂)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x₁，x₂；当x₁<x₂时，总有f(x₁)<f(x₂) （或f(x₁)＞f(x₂)）。

（2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

1 任取x₁，x₂∈D，且x₁<x₂；2 作差f(x₁)－f(x₂)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x₁)－f(x₂)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

 (B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：

复合函数单调性：口诀：同增异减

 注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

（4）判断函数的单调性常用的结论

①函数与的单调性相反；

②当函数恒为正或恒有负时，与函数的单调性相反；

③函数与函数（C为常数）的单调性相同；

④当C > 0（C为常数）时，与的单调性相同；

当C < 0（C为常数）时，与的单调性相反；

⑤函数、都是增（减）函数，则仍是增（减）函数；

⑥若且与都是增（减）函数，则也是增（减）函数；

若且与都是增（减）函数，则也是减（增）函数；

⑦设，若在定义域上是增函数，则、、都是增函数，而是减函数.

8．函数的奇偶性

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

      2、 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

     偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2 确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

函数奇偶性的性质

①  奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称.

③若为偶函数，则.

④若奇函数定义域中含有0，则必有.

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.如设是定义域为R的任一函数， 则，.

⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

⑦既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.

9、函数的解析表达式

（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，A、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

10．函数最大（小）值（定义见课本）

（1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；

（2） 利用图象求函数的最大（小）值；

（3） 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

第二章基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作=0。

注意：(1)

(2)当 n是奇数时， ，当 n是偶数时， 

2．分数指数幂

正数的正分数指数幂的意义，规定：

正数的正分数指数幂的意义： 

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）

（2）

（3）

注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a≠1

2、指数函数的图象和性质

注意： 指数增长模型：y=N(1+p)x       指数型函数： y=kax

3 考点：（1）a^b=N, 当b>0时，a,N在1的同侧；当b<0时，a,N在1的 异侧。

（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a⁰)进行传递或者利用（1）的知识。

（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。

（4）分辨不同底的指数函数图象利用a¹=a，用x=1去截图象得到对应的底数。

(5)指数型函数：y=N(1+p)^x   简写：y=ka^x

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：

（ a— 底数， N— 真数，— 对数式）

说明：1. 注意底数的限制，a>0且a≠1；2. 真数N>0  3. 注意对数的书写格式．

2、两个重要对数：

（1）常用对数：以10为底的对数,    ；

（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , ．

3、对数式与指数式的互化

对数式        指数式

对数底数← a → 幂底数

对数← x → 指数

真数← N → 幂

结论：（1）负数和零没有对数

（2）logaa=1,   loga1=0  特别地， lg10=1,  lg1=0 ,  lne=1,  ln1=0

(3) 对数恒等式：

（二）对数的运算性质

如果 a > 0，a ¹ 1，M > 0， N > 0  有：

1、      两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和

2 、         两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差

3 、         一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍

说明:

1) 简易语言表达:例如上述的第一个公式，”积的对数=对数的和”……

2) 有时可逆向运用公式

3) 真数的取值必须是(0,＋∞)

4) 特别注意：

             

注意：换底公式

利用换底公式推导下面的结论

① ②③

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数 (a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

（2） 对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1

2、对数函数的图像与性质：对数函数(a>0，且a≠1)

重要结论：在logab中，当a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时，有logab>0;

当a,b不同在(0,1) 内，或不同在(1,+∞) 内时,有logab<0.

口诀：底真同大于0（底真不同小于0）.

（其中，底指底数，真指真数，大于0指logab的值）                                             3、如图，底数 a对函数 的影响。

规律:   底大枝头低,  头低尾巴翘。

4考点：

Ⅰ、log_ab, 当a,b在1的同侧时, log_ab >0；当a,b在1的异侧时, log_ab <0

Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进1(=log_aa)进行传递。

Ⅲ、求对数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性。

Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=log_aa ，用y=1去截图象得到对应的底数。

Ⅴ、y=a^x(a>0且a ≠1) 与y=log_ax(a>0且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x对称。

5 比较两个幂的形式的数大小的方法:

(1)   对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.

(2)   对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.

(3)   对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0.

6 比较大小的方法

(1)   利用函数单调性(同底数)；(2)   利用中间值（如:0,1.）；(3)   变形后比较；(4)   作差比较

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；

（3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标）

2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点

3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程 f(x)=0 的根。

4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：

（1） （代数法）求方程f(x)=0 的实数根；

（2） （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)．

1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点．

3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

二、二分法

1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

2、用二分法求方程近似解的步骤:

⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；

⑵求区间(a,b)的中点c;

⑶计算f(c),

①若f(c)=0,则c就是函数的零点；

②若f(a)f(c)<0,则令b=c（此时零点x₀∈(a,c)）

③若f(c)f(b)<0,则令a=c（此时零点x₀∈(c,b)）

(4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε,则得到零点近似值为a(或b);否则重复⑵~⑷

三、函数的应用：

（1）评价模型： 给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。

（2）几个增长函数模型：一次函数：y=ax+b(a>0)

指数函数：y=a^x(a>1)       指数型函数： y=ka^x(k>0,a>1)

幂函数： y=xⁿ（ n?N*)     对数函数：y=log_ax(a>1)

二次函数：y=ax²+bx+c(a>0)  

增长快慢：V(a^x)>V(xⁿ)>V(log_ax)

（3）分段函数的应用：注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间。

（4）二次函数模型： y=ax²+bx+c(a≠0) 先求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在不在定义域内，在的话代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的点代进求最值。

（5）数学建模：

(6)一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布