直线与圆

1、直线的倾斜角与斜率：

，

当∈[0°,90°）时，斜率∈[0，+∞）；

当∈（90°,180°）时，斜率∈（－∞，0）。

过两点、的直线斜率公式：.

2、直线的五种方程：

⑴点斜式： (直线过点，且斜率为)．

⑵斜截式：(为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距).

⑶两点式：  (且)(、 ).

⑷截距式：(分别为直线的横、纵截距，且)

⑸一般式：(其中A、B不同时为0).

3、两条直线平行和垂直的等价关系：

(1)若，，

则①②；

(2)若,,且A₁、A₂、B₁、B₂都不为零；

①；

②；

4、两种常用直线系方程：

⑴与直线平行的直线系方程为：（）为参数

⑵与直线垂直的直线系方程为：（为参数）

5、两点间距离公式：

（其中两点为、）

6、点到直线的距离公式：

(点，直线：).

7、两条平行直线间的距离公式：

(直线：，：).

8、圆的两种方程：⑴圆的标准方程 （圆心为，半径为）.

⑵圆的一般方程  ().

（圆心为，半径为）

9、点与圆的位置关系：

点与圆的位置关系有三种，

若，则

点在圆外；点在圆上；点在圆内.

10、直线与圆的三种位置关系：

直线：与圆的位置关系判断的两种方法:

⑴设圆心到直线的距离，

则

⑵将直线代入圆的方程消去y，得到关于x的一元二次方程，再利用判断：

即：

11、两圆位置关系的判定方法：

设两圆圆心分别为，半径分别为，，则：

⑴；⑵;

⑶；⑷;

⑸

12、圆的切线方程：

①过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

②若已知切点在圆上，则只有一条切线.

③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．

类型一：圆的方程

例1 求满足下列各条件的圆方程：

?圆心在原点，半径为；

?圆心是点C（3，-2），半径为3；

?圆心是点C（8，-3），且经过点P（5,1）；

④以点P（-5,6）和Q（5，-4）为直径的端点的圆方程；

⑤已知三个顶点分别为,求其外接圆的方程；

注意：（1）若圆上三个点的坐标，通常选用圆的一般方程，若给出圆心的位置，通常选用标准方程；（2）根据条件列出或的方程组。

例2、求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．

练习：求过两点且圆心在直线上的圆的标准方程。

例3、求经过点，且与直线和都相切的圆的方程．

例4、求与轴切于点（5, 0）并在轴上截得的弦长为10的圆的标准方程。

圆心的位置：?在任一弦的中垂线上；?在过切点与切线垂直的直线上；?两圆外切或内切时，切点与两圆圆心三点共线。

类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

例5、　已知圆，求过点与圆相切的切线．

例6、过坐标原点且与圆相切的直线的方程为     

例7、已知直线与圆相切，则的值为        .

类型三：弦长、弧问题

例8、求直线被圆截得的弦的长.

例9、求圆心为C（2，-1），且截直线所得弦的长为的圆方程。

例10、直线截圆得的劣弧所对的圆心角为   

例11、求两圆和的公共弦长

  类型四：直线与圆的位置关系

例12、已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.

例13、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

例14、 圆上到直线的距离为1的点有几个？

类型五：圆与圆的位置关系

例15判断圆与圆的位置关系。

例16、圆和圆的公切线共有       条。

例17、若圆与圆相切，则实数的取值集合是          .

例18、求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.

第二篇：高中数学直线与圆的方程知识点总结

  高中数学之直线与圆的方程

一、概念理解：

1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x轴正方向；

           ②平行：α=0°；

           ③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tanα  （α≠90°）；

         ②垂直：斜率k不存在；

         ③范围： 斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：

         ①构造直角三角形（数形结合）；

         ②斜率k值于两点先后顺序无关；

         ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：

         ①相交：斜率（前提是斜率都存在）

                 特例----垂直时：<1> ；

                                  <2> 斜率都存在时： 。

        ②平行：<1> 斜率都存在时：；

                <2> 斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。

        ③重合： 斜率都存在时：；

二、方程与公式：

1、直线的五个方程：

    ①点斜式：     将已知点直接带入即可；

    ②斜截式：            将已知截距直接带入即可；

    ③两点式： 将已知两点直接带入即可；

     ④截距式：             将已知截距坐标直接带入即可；

     ⑤一般式： ，其中A、B不同时为0

       用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可

3、距离公式：

 ①两点间距离：        

 ②点到直线距离：        

  ③平行直线间距离：        

4、中点、三分点坐标公式：已知两点

       ①AB中点：       

       ②AB三分点： 靠近A的三分点坐标

                                  靠近B的三分点坐标

中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。

5.直线的对称性问题

  已知点关于已知直线的对称:设这个点为P（x₀，y₀）,对称后的点坐标为P’（x，y），则pp’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp’的中点坐标在已知直线上。

三、解题指导与易错辨析：

1、解析法（坐标法）：

       ①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；

       ②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；

       ③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。

2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：

       ①的最小值：找对称点再连直线，如右图所示：

       ②的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”；

       ③的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。

3、直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1  =>  y=(a-1)(x+2)+3

令：x+2=0  =>  必过点(-2,3)

               ②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0  =>  m(3x+y)+n(2y-x-1)=0

                  令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解  =>  必过点(-1/7,3/7)

4、易错辨析：

       ① 讨论斜率的存在性：

          解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1>斜率不存在时，是否满足题意；

                                              <2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。

       ② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；

         （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）

       ③ 直线到两定点距离相等，有两种情况：

          <1> 直线与两定点所在直线平行；

          <2> 直线过两定点的中点。

圆的方程

1.  定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.

2.  圆的方程表示方法：

第一种：圆的一般方程——   其中圆心，半径.

当时，方程表示一个圆，

当时，方程表示一个点.

当时，方程无图形.

第二种：圆的标准方程——.其中点为圆心，为半径的圆

第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：（为参数）

注：圆的直径方程：已知

3. 点和圆的位置关系：给定点及圆.

①在圆内

②在圆上

③在圆外

4. 直线和圆的位置关系：

 设圆圆：；    直线：；

 圆心到直线的距离.

①时，与相切；

②时，与相交；，

③时，与相离.

5、圆的切线方程：

 ①一般方程若点(x₀ ,y₀)在圆上，则(x – a)(x₀ – a)+(y – b)(y₀ – b)=R². 特别地，过圆上一点的切线方程为.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)

②若点(x₀ ,y₀)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.（注：过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X轴的直线。）

6.圆系方程：

过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C₁:x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0  C₂:x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0则过两圆的交点圆方程可设为：x²+y²+D₁x+E₁y+F₁+λ（x²+y²+D₂x+E₂y+F₂）=0

过两圆的交点的直线方程：x²+y²+D₁x+E₁y+F₁- x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0（两圆的方程相减得到的方程就是直线方程）

7.与圆有关的计算：

弦长的计算：AB=2*√R²-d² 其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离

AB=（√1+k²）*∣X₁-X₂∣  其中k是直线的斜率，X₁与X₂是直线与圆的方程联

立之后得到的两个根

过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线

圆内的最长弦是直径

8.圆的一些最值问题

①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径

②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径

③假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。

④假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y的最值可以转化为：设T=x+y或T=x-y，在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。

9.圆的对称问题

①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆

的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。

②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆

心坐标