导数题型归纳

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：

1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法

5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系         

                        （2）端点处和顶点是最值所在

    其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

    最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令得到两个根；

第二步：画两图或列表；

第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）

第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；

例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，

（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.

例2：设函数

   （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

   （Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.

第三种：构造函数求最值

题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3:已知函数图象上一点处的切线斜率为，

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域；

（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。

思路1：要使恒成立，只需，即分离变量

思路2：二次函数区间最值

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知，函数．

（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．

                            

例5、已知函数

   （I）求的单调区间；（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

  

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题

解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；

第三步：解不等式（组）即可；

例6、已知函数，，且在区间上为增函数．

 (1)求实数的取值范围；(2)若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．

例7、已知函数

（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；

（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。

题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数

解法：根分布或判别式法

例8  、

例9、已知函数，（1）求的单调区间；（2）令＝x⁴＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．

其它例题：

1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是－11.

（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.

2、（根分布与线性规划例子）已知函数

(Ⅰ) 若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行, 求的解析式；

(Ⅱ) 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.

       

3、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。

       （Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f ( x )的解析式；

（Ⅲ）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。

4、（根的个数问题）已知函数

   （1）若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间；

   （2）若，讨论曲线与的交点个数．

5、（简单切线问题）已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．

（Ⅰ） 若函数在处有极值，求的解析式；

（Ⅱ） 若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围．

第二篇：高考数学题型归纳完整版

第一章 集合与常用逻辑用语

第一节 集合

题型1-1 集合的基本概念

题型1-2 集合间的基本关系

题型1-3 集合的运算

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

题型1-4 四种命题及关系

题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明

题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

题型1-7 判断命题的真假

题型1-8 含有一个量词的命题的否定

题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围

第二章 函数

第一节 映射与函数

题型2-1 映射与函数的概念

题型2-2 同一函数的判断

题型2-3 函数解析式的求法

第二节 函数的定义域与值域（最值）

题型2-4 函数定义域的求解

题型2-5 函数定义域的应用

题型2-6 函数值域的求解

第三节 函数的性质——奇偶性、单调性、周期性

题型2-7 函数奇偶性的判断

题型2-8 函数单调性（区间）的判断

题型2-9 函数周期性的判断

题型2-10 函数性质的综合应用

第四节 二次函数

题型2-11 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系

题型2-12 二次方程的实根分布及条件

题型2-13 二次函数“动轴定区间”

“定轴动区间”问题

第五节 指数与指数函数

题型2-14 指数运算及指数方程、指数不等式

题型2-15 指数函数的图象及性质

题型2-16 指数函数中恒成立问题

第六节 对数与对数函数

题型2-17 对数运算及对数方程、对数不等式

题型2-18 对数函数的图象与性质

题型2-19 对数函数中恒成立问题

第七节 幂函数

题型2-20 求幂函数的定义域

题型2-21 幂函数性质的综合应用

第八节 函数的图象

题型2-22 判断函数的图象

题型2-23 函数图象的应用

第九节 函数与方程

题型2-24 求函数的零点或零点所在区间

题型2-25 利用函数的零点确定参数的取值范围

题型2-26 方程根的个数与函数零点的存在性问题

第十节 函数综合

题型2-27 函数与数列的综合

题型2-28 函数与不等式的综合

题型2-29 函数中的信息题

第三章 导数与定积分

第一节 导数的概念与运算

题型3-1 导数的定义

题型3-2 求函数的导数

第二节 导数的应用

题型3-3 利用原函数与导函数的关系判断图像

题型3-4 利用导数求函数的单调性和单调区间

题型3-5 函数的极值与最值的求解

题型3-6 已知函数在区间上单调或不单调，求参数的取值范围

题型3-7 讨论含参函数的单调区间

题型3-8 利用导数研究函数图象的交点和函数零点个数问题

题型3-9 不等式恒成立与存在性问题

题型3-10 利用导数证明不等式

题型3-11 导数在实际问题中的应用

第三节 定积分和微积分基本定理

题型3-12 定积分的计算

题型3-13 求曲边梯形的面积

第四章 三角函数

第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式

题型4-1 终边相同角的集合的表示与识别

题型4-2 是第几象限角

题型4-3 弧长与扇形面积公式的计算

题型4-4 三角函数定义

题型4-5 三角函数线及其应用

题型4-6 象限符号与坐标轴角的三角函数值

题型4-7 同角求值——条件中出现的角和结论中出现的角是相同的

题型4-8 诱导求值与变形

第二节 三角函数的图象与性质

题型4-9 已知解析式确定函数性质

题型4-10 根据条件确定解析式

题型4-11 三角函数图象变换

第三节 三角恒等变换

题型4-12 两角和与差公式的证明

题型4-13 化简求值

第四节 解三角形

题型4-14 正弦定理的应用

题型4-15 余弦定理的应用

题型4-16 判断三角形的形状

题型4-17 正余弦定理与向量的综合

题型4-18 解三角形的实际应用

第五章 平面向量

第一节 向量的线性运算

题型5-1 平面向量的基本概念

题型5-2 共线向量基本定理及应用

题型5-3 平面向量的线性运算

题型5-4 平面向量基本定理及应用

题型5-5 向量与三角形的四心

题型5-6 利用向量法解平面几何问题

第二节 向量的坐标运算与数量积

题型5-7 向量的坐标运算

题型5-8 向量平行（共线）、垂直充要条件的坐标表示

题型5-9 平面向量的数量积

题型5-10 平面向量的应用

第六章 数列

第一节 等差数列与等比数列

题型6-1 等差、等比数列的通项及基本量的求解

题型6-2 等差、等比数列的求和

题型6-3 等差、等比数列的性质应用

题型6-4 判断和证明数列是等差、等比数列

题型6-5 等差数列与等比数列的综合

第二节 数列的通项公式与求和

题型6-6 数列的通项公式的求解

题型6-7 数列的求和

第三节 数列的综合

题型6-8 数列与函数的综合

题型6-9 数列与不等式综合

第七章 不等式

第一节 不等式的概念和性质

题型7-1 不等式的性质

题型7-2 比较数（式）的大小与比较法证明不等式

第二节 均值不等式和不等式的应用

题型7-3 均值不等式及其应用

题型7-4 利用均值不等式求函数最值

题型7-5 利用均值不等式证明不等式

题型7-6 不等式的证明

第三节 不等式的解法

题型7-7 有理不等式的解法

题型7-8 绝对值不等式的解法

第四节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

题型7-9 二元一次不等式组表示的平面区域

题型7-10 平面区域的面积

题型7-11 求解目标函数中参数的取值范围

题型7-12 简单线性规划问题的实际运用

第五节 不等式综合

题型7-13 不等式恒成立问题中求参数的取值范围

题型7-14 函数与不等式综合

第八章 立体几何

第一节 空间几何体的表面积与体积

题型8-1 几何体的表面积与体积

题型8-2 球的表面积、体积与球面距离

题型8-3 几何体的外接球与内切球

第二节 空间几何体的直观图与三视图

题型8-4 直观图与斜二测画法

题型8-5 直观图、三视图

题型8-6 三视图直观图——简单几何体基本量的计算

题型8-7三视图直观图——简单组合体基本量的计算

题型8-8 部分三视图其余三视图

第三节 空间点、直线、平面之间的关系

题型8-9 证明“线共面”、“点共面”或“点共线”

题型8-10 异面直线的判定

第四节 直线、平面平行的判定与性质

题型8-11 证明空间中直线、平面的平行关系

第五节 直线、平面垂直的判定与性质

题型8-12证明空间中直线、平面的垂直关系

第六节 空间向量及其应用

题型8-13 空间向量及其运算

题型8-14 空间向量的立体几何中的应用

第七节 空间角与距离

题型8-15 空间角的计算

题型8-16 点到平面距离的计算

第九章 直线与圆的方程

第一节 直线的方程

题型9-1 倾斜角与斜率的计算

题型9-2 直线的方程

第二节 两条直线的位置关系

题型9-3 两直线位置关系的判定

题型9-4 有关距离的计算

题型9-5 对称问题

第三节 圆的方程

题型9-6 求圆的方程

题型9-7 与圆有关的轨迹问题

题型9-8 点与圆位置关系的判断

题型9-9 圆的一般方程的充要条件

题型9-10 与圆有关的最值问题

题型9-11 数形结合思想的应用

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系

题型9-12 直线与圆的位置关系的判断

题型9-13 直线与圆的相交关系

题型9-14 直线与圆的相切关系

题型9-15 直线与圆的相离关系

题型9-16 圆与圆的位置关系

第十章 圆锥曲线方程

第一节 椭圆

题型10-1 椭圆的定义与标准方程

题型10-2 离心率的值及取值范围

题型10-3 焦点三角形

第二节 双曲线

题型10-4 双曲线的标准方程

题型10-5 双曲线离心率的求解及其取值范围问题

题型10-6 双曲线的渐近线

题型10-7 焦点三角形

第三节 抛物线

题型10-8 抛物线方程的求解

题型10-9 与抛物线有关的距离和最值问题

题型10-10 抛物线中三角形、四边形的面积问题

第四节 曲线与方程

题型10-11 求动点的轨迹方程

第五节 直线与圆锥曲线位置关系

题型10-12 直线与圆锥曲线的位置关系

题型10-13 中点弦问题

题型10-14 弦长问题

第六节 圆锥曲线综合

题型10-15 平面向量在解析几何中的应用

题型10-16 定点问题

题型10-17 定值问题

题型10-18 最值问题

第十一章 算法初步

题型11-1 已知流程图，求输出结果

题型11-2 根据条件，填充不完整的流程图

题型11-3 求输入参数

题型11-4 算法综合

第十二章 计数原理

第一节 计数原理与简单排列组合问题

题型12-1 分类计数原理与分步计数原理

题型12-2 排列数与组合数的推导、化简和计算

题型12-3 基本计数原理和简单排列组合问题的结合

第二节 排列问题

题型12-4 特殊元素或特殊位置的排列问题

题型12-5 元素相邻排列问题

题型12-6 元素不相邻排列问题

题型12-7 元素定序问题

题型12-8 其他排列：双排列、同元素的排列

第三节 组合问题

题型12-9 单纯组合应用问题

题型12-10 分选问题和选排问题

题型12-11 平均分组问题和分配问题

第四节 二项式定理

题型12-12 证明二项式定理

题型12-13 的系数与幂指数的确定

题型12-14 二项式定理中的系数和

题型12-15 二项式展开式的二项式系数与系数的最值

题型12-16 二项式定理的综合应用

第十三章 排列与统计

第一节 概率及其计算

题型13-1 古典概型

题型13-2 几何概型的计算

第二节 概率与概率分布

题型13-3 概率的计算

题型13-4 离散型随机变量的数学期望与方差

题型13-5 正态分布

第三节 统计与统计案例

题型13-6 抽样方法

题型13-7 样本分布

题型13-8 频率分布直方图的解读

题型13-9 线性回归方程

题型13-10 独立性检验

第十四章 推理与证明

第一节 合情推理与演绎推理

题型14-1 归纳猜想

题型14-2 类比推理

第二节 直接证明和间接证明

题型14-3 综合法与分析法证明

第三节 数学归纳法

题型14-4 数学归纳法的完善

题型14-5 证明恒等式

题型14-6 整除问题

题型14-7 不等式证明

题型14-8 递推公式导出通项公式的猜证及有关问题的证明

第十五章 复数

题型15-1 复数的概念、代数运算和两个复数相等的条件

题型15-2 复数的几何意义

第十六章 选讲内容

第一节 几何证明选讲（选修4-1）

题型16-1 圆和直角三角形中长度和角的计算

题型16-2 证明题

题型16-3 空间图形问题转化为平面问题

第二节 坐标系与参数方程（选修4-4）

题型16-4 参数方程化为普通方程

题型16-5 普通方程化为参数方程

题型16-6 极坐标方程化为直角坐标方程

第三节 不等式选讲（选修4-5）

题型16-7含绝对值的不等式

题型16-8 不等式的证明

题型16-9 一般综合法和分析法（含比较法）

题型16-10 数学归纳法