第一章 复数
1 
=-1 
欧拉公式 z=x+iy
实部Re z 虚部 Im z
2运算 ① 
②
③
④
⑤
共轭复数
共轭技巧
运算律 P1页
3代数，几何表示
z与平面点
一一对应，与向量一一对应
辐角 当z≠0时，向量z和x轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg z=
k=±1±2±3…
把位于-π＜
≤π的叫做Arg z辐角主值 记作=
4如何寻找arg z
例：z=1-i 
z=i 
z=1+i 
z=-1 π
5 极坐标： 
， 
利用欧拉公式 
可得到 
6 高次幂及n次方
凡是满足方程
的ω值称为z的n次方根，记作 
即
第二章解析函数
1极限
2函数极限
① 复变函数
对于任一
都有
与其对应
注：与实际情况相比，定义域，值域变化
例 
②
称
当时以A为极限
☆ 当
时，连续
例1 证明
在每一点都连续
证：
所以在每一点都连续
3导数
例2 
时有 
证：对
有
所以
例3证明不可导
解：令
当
时，不存在，所以不可导。
定理：
在处可导
u，v在处可微，且满足C-R条件
且
例4证明不可导
解：
其中
u,v 关于x,y可微
不满足C-R条件 所以在每一点都不可导
例5 
解：
不满足C-R条件 所以在每一点都不可导
例6： 
解：
其中
根据C-R条件可得
所以该函数在
处可导
4解析
若在
的一个邻域内都可导，此时称在处解析。
用C-R条件必须明确u,v
四则运算
☆
例：证明
解： 
则
任一点处满足C-R条件
所以
处处解析 
练习：求下列函数的导数
解: 
所以
根据C-R方程可得 
所以当时存在导数且导数为0，其它点不存在导数。
初等函数
Ⅰ常数
Ⅱ指数函数 
① 定义域 ② 
③ 
④
Ⅲ对数函数 称满足
的
叫做
的对数函数，记作
分类：类比
的求法（经验）
目标：寻找
幅角主值
可用：
过程：
所以
例：求
的值
Ⅳ幂函数 对于任意复数
，当
时
例1：求
的值
解：
例2：求
Ⅴ三角函数
定义：对于任意复数，由关系式可得的余弦函数和正弦函数
例：求
解：
第三章复变函数的积分
1复积分
定理3.1 设C是复平面上的逐段光滑曲线在C上连续，则在C上可积，且有
注：①C是线 ②方式跟一元一样
方法一：思路：复数→实化
把函数
与微分
相乘，可得
方法二：参数方程法 ☆核心：把C参数
C：
例： 求 
①C：0→
的直线段②
；
解：①C： 
②
★ 结果不一样
2柯西积分定理
例：
C：以a为圆心，ρ为半径的圆，方向：逆时针
解：C：
☆ 积分与路径无关：①单联通 ②处处解析
例：求
，其中C是连接O到点
的摆线：
解：已知，直线段L与C构成一条闭曲线。因
在全平面上解析，
则
即
把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。由于
故 
★关键：①恰当参数 ②合适准确带入z
3不定积分
定义3.2 设函数在区域D内连续，若D内的一个函数
满足条件
定理3.7 若可用上式，则
例： 计算
解：
练习：计算
解：
4柯西积分公式
定理 处处解析在简单闭曲线C所围成的区域内则
例1：
解：
例2：
解：
例3：
解：
注：①C：
② 
一次分式
③找到 在D内处处解析
例4：
解：
5 解析函数的高阶导数
公式：
n=1，2……
应用要点：①
② 
③精准分离 
例：
6 调和函数
若
满足
则称叫做D内的调和函数
若在D内解析
所以
把
称为共轭调和函数
第四章 级数理论
1复数到
距离
谈极限 对
若有
使得 
此时 为的极限点 记作 
或
推广：对一个度量空间
都可谈极限
2 极限的性质
3 
4 级数问题
部分和数列
若 
则收敛，反之则发散。
性质：1若
都收敛，则
收敛
2若一个收敛，一个发散，可推出发散
3
若
绝对收敛
若
但
收敛 ，为条件收敛
等比级数 ：
时收敛，其他发散
幂级数 
则
求收敛域 
例：求
的收敛半径及收敛圆
解：因为
所以级数的收敛半径为R=1，收敛圆为
泰勒级数
泰勒定理：设函数在圆K：
内解析，则在K内可以展成幂级数
其中，
，（n=0,1,2……），且展式还是唯一的。
例 1：求在处的泰勒展式
解 ：在全平面上解析，
，
所以在处的泰勒展式为
例2： 将函数
展成
的幂级数
解：
罗朗级数
罗朗定理 若函数在圆环D：
内解析，
则当时，有
其中 
例：将函数
在圆环（1）
（2）
内展成罗朗级数。
解：（1）在内，由于
，所以
（2）在内，由于
，所以
孤立奇点
定义：若函数在的去心邻域
内解析，在点不解析，则称为的孤立奇点。
例 ：
为可去奇点
为一级极点
为本性奇点
第5章 留数理论（残数）
定义： 设函数以有限项点为孤立奇点，即在的去心邻域
内解析，则称积分
的值为函数在点处的留数
记作：
其中，
，C的方向是逆时针。
例1：求函数
在
处的留数。
解：因为
以
为一级零点，而
，因此以为一级极点。
例2：求函数
在处的留数
解：是的本性奇点，因为
所以
可得
第7章 傅里叶变换
通过一种途径使复杂问题简单化，以便于研究。
定义：对满足某些条件的函数
在
上有定义，则称
为傅里叶变换。
同时
为傅里叶逆变换
注：①傅里叶变换是把函数变为函数
②傅里叶逆变换是把函数变为函数
③求傅里叶变换或傅里叶逆变换，关键是计算积分
④两种常见的积分方法：凑微分、分部积分
复习积分：①
②
③
④
⑤
注：
例1：求 
的
解：
例2：求 
的
解：
-函数
定义：如果对于任意一个在区间上连续的函数，恒有
，则称
为-函数。
例1：求-函数的
解：
例2：求正弦函数
的傅氏变换
解： 
☆
第8章 拉普拉斯变换
设在
时有定义