大成培训（函数总结归纳）
一：会求函数的定义域值域。 二：知道函数奇偶性的相关性质。
三：会求函数的导数和用导数解决相关问题，会解含x3的方程！ 四：知道根的分部情况。注意分类讨论！ 本部分重点把握对参数分类讨论
【必做题】1 求函数f(x)?ax2?bx?1在区间?t,t?1?(t?R)上的值域 2 解关于x的不等式（1）ax2－(a+1)x+1>0 （2）ax2－x+1>0 常见函数压轴题分类：
一：形如x3形的（重点策略：掌握其函数基本图像，学会分类讨论）
1. 已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线y?2x平行,且y?g(x)在x=－1处取得最小值m－1(m?0).设函数f(x)?
g(x)x
(1)若曲线y?f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值 (2) k(k?R)如何取值时,函数y?f(x)?kx存在零点,并求出零点.x?2已知函数f(x)?x?(k?k?1)x?5x?2，g(x)?kx?kx?1，
其中k?R．
（I）设函数p(x)?f(x)?g(x)．若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围； ．．．
32
3已知函数f(x)?x?(1?a)x?a(a?2)x?b (a,b?R)．
3
2
2
2
2
1k?1
（I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是?3，求a,b的值； （II）若函数f(x)在区间(?1,1)上不单调，求a的取值范围． ．．．4设函数f(x)?x?3ax?b(a?0).
（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(2,f(x))处与直线y?8相切，求a,b的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间与极值点. 5已知函数f(x)?
13
ax?bx?x?3,其中a?0
3
2
3
（1） 当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?
（2） 已知a?0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围. 6.设函数f(x)?
13
x?(1?a)x?4ax?24a，其中常数a>1
3
2
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。7已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线y?2x平行，且y?g(x)在x??1处取得极小值
m?1(m?0)．设f(x)?
g(x)x
．
（1）若曲线y?f(x)上的点P到点Q
(0,2)，求m的值； （2）k(k?R)如何取值时，函数y?f(x)?kx存在零点，并求出零点．
8设函数f(x)?x?
3
92
x?6x?a．
2
（1）对于任意实数x，f?(x)?m恒成立，求m的最大值；
（2）若方程f(x)?0有且仅有一个实根，求a的取值范围．9设函数f(x)??
13
x?x?(m
3
2
2
?1)x,(x?R,)其中m?0
（Ⅰ）当m?1时，曲线y?f(x)在点（1，f（1））处的切线斜率 （Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1,x2，且x1?x2。若对任意的x?[x1,x2]，
f(x)?f(1)恒成立，求m的取值范围。
32
10已知函数f(x)?x?2bx?cx?2的图象在与x轴交点处的切线方程是y?5x?10。
（I）求函数f(x)的解析式； （II）设函数g(x)?f(x)?对应的自变量x的值.
11已知函数f(x)?x?bx?cx的导函数的图象关于直线x=2对称.
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若f(x)在x?t处取得最小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域。 12已知函数f(x)?x?3ax?1,a?0
33
2
13
mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时
???求????若
f(x)的单调区间；
f(x)在x??1处取得极值，直线y=my与y?f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。
13已知函数f(x)?x3?2bx2?cx?2的图象在与x轴交点处的切线方程是y?5x?10。 （I）求函数f(x)的解析式； （II）设函数g(x)?f(x)?对应的自变量x的值. 14 已知关于x的函数f(x)＝
13
x3＋bx＋cx＋bc,其导函数为f(x).令g(x)＝∣f(x) ∣,记函数g(x)在
2
+
+
13
mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时
区间[-1、1]上的最大值为M.
(Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-43
，试确定b、c的值：
（Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2: (Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。 15已知函数f(x)?x3?3ax2?9a2x?a3.
(1) 设a?1，求函数f?x?的极值； (2) 若a?
14
，且当x??1,4a?时，f(x)?12a恒成立，试确定a的取值范围.
'
16已知函数f(x)?
13
x?ax?bx,且f'(?1)?0
32
（I）试用含a的代数式表示b；
（Ⅱ）求f(x)的单调区间；
（Ⅲ）令a??1，设函数f(x)在x1,x2(x1?x2)处取得极值，记点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2))，证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点；
2
17已知f(x)?x?bx?c为偶函数，曲线y?f(x)过点(2,5)，g(x)?(x?a)f(x)．
（Ⅰ）求曲线y?g(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若当x??1时函数y?g(x)取得极值，确定y?g(x)的单调区间．
二：直接求导分类讨论型（重点策略：细心求导，注意函数的定义域，有条理分类讨论） 1f(x)?xe(k?0)
（Ⅰ）求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
kx
（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；
)单调递增，求k的取值范围.2已知函数（Ⅲ）若函数f(x)在区间(?1,1内
f(x)?x?
2x
?a(2?lnx),(a?0)，讨论f(x)的单调性.
3 已知函数（Ⅰ）讨论
的单调性；
在区间{1，
e
x
，a＞0，
（Ⅱ）设a=3，求4设函数f(x)?
}上值域。期中e=2.71828?是自然对数的底数。
x
（1） 求函数f(x)的单调区间； （2） 若k?0，求不等式f'(x)?k(1?x)f(x)?0的解集．
5设f(x)?ex(ax2?x?1)，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。求a的值，并讨论f（x）的单调性； 6已知函数f(x)=
12
2
x－ax+(a－1)lnx，a?1。 讨论函数f(x)的单调性；
7已知函数f(x)?ln(ax?1)?
1?x1?x
,x?0，其中a?0
???若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；????求f(x)的单调区间；
（Ⅲ）若f(x)的最小值为1，求a的取值范围。 8已知函数f(x)?(x?ax?2a?3a)e(x?R),其中a?R
（1） 当a?0时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率； （2） 当a?
23
2
2
x
时，求函数f(x)的单调区间与极值。
x
9已知a?0,且a?1函数f(x)?loga(1?a)。 （I）求函数f(x)的定义域，并判断f(x)的单调性； （II）当a?e（e为自然对数的底数）时，设h(x)?(1?e实数m的取值范围以及函数h(x)的极值。
f(x)
)(x?m?1)，若函数h(x)的极值存在，求
2
10设函数f(x)?ax2?bx?k(k?0)在x?0处取得极值，且曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线x?2y?1?0．
e
x
（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）若函数g(x)?
x2
f(x)
，讨论g(x)的单调性．11已知函数f(x)=In(1+x)-x+x(k≥0)。
2
(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求f(x)的单调区间。
12设函数f(x)?lnx?ln(2?x)?ax(a?0)． （1）当a?1时，求f(x)的单调区间； （2）若f(x)在(0,1]上的最大值为
12
，求a的值．
三含绝对值型的（策略：首先就分类讨论或者两边平方去掉绝对值，化为分段函数再讨论处理）
1已知函数f(x)?x2?1,g(x)?a|x?1|．
（1）若关于x的方程|f(x)|?g(x)只有一个实数解，求实数a的取值范围；
（2）若当x?R时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； （3）求函数h(x)?|f(x)|?g(x)在区间[?2,2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤） ．．．．．．．．．．．．．．2设a为实数，函数f(x)?2x?(x?a)|x?a|.(1)若f(0)?1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)?f(x),x?(a,??)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)?1的解集. ．．．．
2
3已知函数f(x)?x?a|lnx?1|,g(x)?x|x?a|?2?2ln2,a?0.
2
（Ⅰ）当a?1时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值； （Ⅱ）若f(x)?
32
a,x?[1,??)恒成立,求a的取值范围；
（Ⅲ）对任意x1?[1,??),总存在惟一的．．．x2?[2,??),使得f(x1)?g(x2)成立, 求a的取值范围.
|x|
4. 已知函数f（1）若a
?x??
a?
2a
x
?a?0,a?1?，
?1，且关于x的方程f?x??m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；
（2）设函数g?x??f??x?,x???2,???，g?x?满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关.试求a的取值范围．
四 抽象函数（破题策略：坚信自己，勇敢去做，其实题目一般较简单，关键是理解题意）
1对于函数y＝f(x)，x∈(0，??)，如果a，b，c是一个三角形的三边长，那么f(a)，f(b)，f(c)也是一个三角形的三边长， 则称函数f(x)为“保三角形函数”．
对于函数y＝g(x)，x∈[0，??)，如果a，b，c是任意的非负实数，都有g(a)，g(b)，g(c)是一个三角形的三边长，则称函数g(x)为“恒三角形函数”． （1）判断三个函数“f1(x)＝x，f2(x
)f3(x)＝3x2(定义域均为x∈(0，??))”中，那些是“保三角形函数”？请说明理由； （2）若函数g(x)＝
x?kx?1x?x?1
22
，x∈[0，??)是“恒三角形函数”，试求实数k的取值范围；
（3）如果函数h(x)是定义在(0，??)上的周期函数，且值域也为(0，??)，试证明：h(x)既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”．
2若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x)?kx?b和．已知h(x)?x，?(x)?2elnx（其g(x)?kx?b，则称直线l:y?kx?b为f(x)和g(x)的“隔离直线”
中e为自然对数的底数）．
(Ⅰ)求F(x)?h(x)??(x)的极值；
(Ⅱ) 函数h(x)和?(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
2
第二篇：初中数学函数知识总结归纳
初中数学函数知识总结归纳
1.常量和变量
在某变化过程中可以取不同数值的量，叫做变量.在某变化过程中保持同一数值的量或数，叫常量.
2.函数
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某一范围的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
3.自变量的取值范围
?整式：自变量取一切实数.
?分式：分母不为零.
?偶次方根：被开方数为非负数.
?零指数与负整数指数幂：底数不为零.
4.函数值
对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x＝a时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做x＝a时的函数值.
5.函数的表示法
?解析法；?列表法；?图象法.
6.函数的图象
把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在平面直角坐标系内描出一个点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象. 由函数解析式画函数图象的步骤：
?写出函数解析式及自变量的取值范围；
?列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
?描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
?连线：用平滑曲线，按照自变量由小到大的顺序，把所描各点连接起来．
7.一次函数
?一次函数
如果y＝kx＋b(k、b是常数且k≠0)，那么y就叫做x的一次函数.
特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b成为y＝kx(k是常数且k≠0)，这时，y就叫做x的正比例函数.
?一次函数的图象
一次函数y＝kx＋b的图象是一条经过(0，b)点和×点的直线.
特别地，正比例函数图象是一条经过原点的直线.
需要说明的是，在平面直角坐标系中，“直线”并不等同于“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象”，因为还有直线y＝m(此时k＝0)和直线x＝n(此时k不存在)，它们不是一次函数图象.
?一次函数的性质
当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小. 直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标为(0，b)，与x轴的交点坐标为×. ?用函数观点看方程(组)与不等式
①任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数且a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)，当y＝0时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴交点的横坐标.
②二元一次方程组对应两个一次函数，也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标.
③任何一元一次不等式都可以转化ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b为常数且a≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围.
8.反比例函数
?反比例函数
如果(k是常数且k≠0)，那么y就叫做x的反比例函数.
?反比例函数的图象
反比例函数的图象是一条双曲线.
?反比例函数的性质
①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小.
②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大.
③反比例函数图象关于直线y＝±x对称，关于原点对称.
?k的两种求法
①若点(x0，y0)在双曲线上，则k＝x0y0.
②k的几何意义
若双曲线上任一点A(x，y)，AB⊥x轴于B，则S△AOB×××.
?正比例函数和反比例函数的交点问题
若正比例函数y＝k1x(k1≠0)，反比例函数××，则
当k1k2＜0时，两函数图象无交点；
当k1k2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为××，由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称.
9.二次函数
1.二次函数
如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，那么y就叫做x的二次函数. 几种特殊的二次函数：y＝ax2(a≠0)；y＝ax2＋c(ac≠0)；y＝ax2＋bx(ab≠0)；y＝a(x－h)2(a≠0).
2.二次函数的图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线.
由y＝ax2(a≠0)的图象，通过平移可得到y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象．
3.二次函数的性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质对应在它的图象上，有如下性质：
?抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是××，对称轴是直线×，顶点必在对称轴上；
?若a＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点A（x,y)，当x＜×时，y随x的增大而减小；当x＞×时，y随x的增大而增大；当x＝×，y有最小值；
若a＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点A (x，y)，当x＜×，y随x的增大而增大；当×时，y随x的增大而减小；当x＝×时，y有最大值；
?抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点为(0，c)；
?在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，令y＝0可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的情况：
Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．?＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点；当?＝b2－4ac＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是×和×，这两点的距离为×；
4.抛物线的平移
抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同.把抛物线y＝ax2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.