函数复习主要知识点

一、函数的概念与表示

1、映射

（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。

注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

2、函数

构成函数概念的三要素  ①定义域②对应法则③值域

两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

例1、下列各对函数中，相同的是（     ）

A、   B、   

C、   D、f（x）=x，

例2、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（    ）

A、 0个       B、 1个      C、 2个       D、3个

二、函数的解析式与定义域

1、求函数定义域的主要依据：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；

（3）对数函数的真数必须大于零；

（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

 例.（05江苏卷）函数的定义域为________________________

2求函数定义域的两个难点问题

例3：

（1）      

 

   （2）  。

例4：设，则的定义域为__________

变式练习：，求的定义域。

三、函数的值域

1求函数值域的方法

①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；

②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且∈R的分式；

④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；

⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；

⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；

⑦利用对号函数

⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

例：

1．（直接法）                       2． 

3．（换元法）                      4. （Δ法）

5.                            6. (分离常数法) ① ② 

7. (单调性)

8.①，②   (结合分子/分母有理化的数学方法)

9．(图象法)               10．(对号函数)        

11. (几何意义)

四．函数的奇偶性

1．定义:　设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇函数。

2.性质：

①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,　　 y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,

②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

③奇±奇=奇  偶±偶=偶   奇×奇=偶   偶×偶=偶   奇×偶=奇[两函数的定义域D₁ ，D₂，D₁∩D₂要关于原点对称]

3．奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称　　　　　②看f(x)与f(-x)的关系

l  例：

1 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则当时，                 .

2 已知定义域为的函数是奇函数。

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

3 已知在（－1，1）上有定义，且满足

证明：在（－1，1）上为奇函数；

4 若奇函数满足，，则_______

五、函数的单调性

1、函数单调性的定义：

2 设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。

l  例：

1判断函数的单调性。

2函数对任意的，都有，并且当时，，

   ⑴求证：在上是增函数；   ⑵若，解不等式 

3函数的单调增区间是________

4(高考真题)已知是上的减函数，那么的取值范围是 （    ）

（A）     （B）      （C）     （D）

六．函数的周期性：

1．（定义）若是周期函数，T是它的一个周期。

说明：nT也是的周期。（推广）若，则是周期函数，是它的一个周期

l  对照记忆：

说明：

说明：

2．若；；；则周期是2

l  例：

1已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为（   ）

(A)－1           (B) 0             (C)   1                 (D)2

2 定义在R上的偶函数，满足，在区间［-2,0］上单调递减，设，则的大小顺序为_____________

3 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且则f (2005)=           .

4 已知是(-)上的奇函数，，当01时，f(x)=x，则f(7.5)=________

5设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时

⑴求证：是周期函数；⑵当时，求的解析式；⑶计算：

七、反函数

1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；

2、求反函数的步骤 （1）解 (2)换 (3)写定义域。

3、关于反函数的性质

（1）y=f(x)和y=f^-1(x)的图象关于直线y=x对称；

（2）y=f(x)和y=f^-1(x)具有相同的单调性；

（3）已知y=f(x)，求f^-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f^-1(a)；

（4）f^-1[f(x)]=x;

（5）若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，则 (b,a)在y=f^--1(x)的图象上；

（6）y=f(x)的图象与其反函数y=f^--1(x)的图象的交点一定在直线y=x上;

例：设函数的反函数为，且的图像过点，则的图像必过

（A）    （B）    （C）     （D）

八．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)

1．二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标

2．二次函数与一元二次方程关系

一元二次方程的根为二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的的取值。

一元二次不等式的解集(a>0)

l  例：

1、已知函数在区间上是增函数，则的范围是（     ）

（A）     (B)     (C)     (D)

2、方程有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是_______

九．指数式与对数式

1．幂的有关概念

(1)零指数幂                         (2)负整数指数幂

(3)正分数指数幂；

(4)负分数指数幂

(5) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

2．有理数指数幂的性质

  

3．根式    根式的性质:当是奇数，则；当是偶数，则

4．对数

(1)对数的概念:如果,那么b叫做以a为底N的对数,记

(2)对数的性质：①零与负数没有对数   ②    ③

(3)对数的运算性质

 logMN=logM+logN 

   对数换底公式：

对数的降幂公式：

l  例：

(1)                  (2) 

十．指数函数与对数函数

1、              指数函数y=a^x与对数函数y=log_ax (a>0 , a≠1)互为反函数

2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同

2、，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）

记住下列特殊值为底数的函数图象：

　　　　　

3、    研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制

4、  指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。

例：

1、（1）的定义域为_______；（2）的值域为_________；

（3）的递增区间为，值域为

2、（1），则

3、要使函数在上恒成立。求的取值范围。

4.若a^2x+·a^x－≤0（a＞0且a≠1），求y=2a^2x－3·a^x+4的值域.

十一．函数的图象变换

（1）      　1、平移变换：（左+  右- ，上+ 下- ）即

①     对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）

l  例：

1．f(x)的图象过点(0,1)，则f(4-x)的反函数的图象过点（    ）

A.(3,0)    B.(0,3)     C.(4,1)    D.(1,4)

2．作出下列函数的简图：

（1）y=|log|；                 （2）y=|2^x-1|；                 （3） y=2^|x|；   

十二．函数的其他性质

     1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：

   单调递增

  单调递减

2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：

 奇函数

 偶函数

3．函数的凸凹性：

  凹函数（图象“下凹”，如：指数函数）

  凸函数（图象“上凸”，如：对数函数）

第二篇：北师高中数学必修五知识点归纳(纯)

必修5知识点

第一章 

解三角形

1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．

2、正弦定理的变形公式：①，，；

②，，；

③；

④．

3、三角形面积公式：．

4、余弦定理：在中，有，，

．

5、余弦定理的推论：，，．

6、设、、是的角、、的对边，则：①若，则；

②若，则；③若，则．

—1—

第二章

数列

7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

8、数列的项：数列中的每一个数．

9、有穷数列：项数有限的数列．

10、无穷数列：项数无限的数列．

11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．

12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．

13、常数列：各项相等的数列．

14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．

15、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．

16、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．

17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

18、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．

19、若等差数列的首项是，公差是，则．

20、通项公式的变形：①；②；③；

④；⑤．

21、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．

—2—

22、等差数列的前项和的公式：①；②．

23、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．

②若项数为，则，且，（其中，）．

24、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

25、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．

26、若等比数列的首项是，公比是，则．

27、通项公式的变形：①；②；③；④．

28、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．

9、等比数列的前项和的公式：．

—3—

30、等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．

②．

③，，成等比数列．

—3

第三章

不等式

31、；；．

32、不等式的性质： ①；②；③；

④，；⑤；

⑥；⑦；

⑧．

33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式．

34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式．

—4—

36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合．

38、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点．

①若，，则点在直线的上方．

②若，，则点在直线的下方．

39、在平面直角坐标系中，已知直线．

①若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域．

②若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域．

40、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件．

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式．

线性目标函数：目标函数为，的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．

可行解：满足线性约束条件的解．

可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

41、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数．

—5—

42、均值不等式定理： 若，，则，即．

43、常用的基本不等式：①；②；

③；④．

44、极值定理：设、都为正数，则有

⑴若（和为定值），则当时，积取得最大值．

⑵若（积为定值），则当时，和取得最小值．

—6—