第一章小结
一、 复数及运算
1. 复数及代数运算 2. 复数的几何表示
复数与复平面上的点、向量一一对应；几何角度看唯一确定复数的两个概念为：模、辐
角；复数加减乘积运算后对应的复数在坐标面上可通过画图做出；几何运算：积(商)的模等于模的积(商)，幅角等于幅角和(差)；复数差的模表示两个点间的距离；复数的三角表示在计算复数的乘幂及方根时较方便 二、 复数集概念：邻域、内点、开集、区域、简单曲线、单联通与多联通区域 三、
复变函数
1. 对应于两个二元实变函数，因此对复变函数的研究有两种方法 (1). 参考一元实变函数的研究方法
例. 设函数f(z)在z0连续，且f(z0)?0，证明必存在z0的一个邻域，使得在此邻域内f(z)?0
f(z0)2
证明：设limf(z)?f(z0)，则对任意的??
z?z0
,存在??0使得当z?z0??时
f(z)?f(z0)?
f(z0)2f(z0)2
,
因此 f(z0)?f(z)?
f(z0)2
,
所以 f(z)??0.
(2). 转化为两个二元实变函数的研究，如复变函数的极限与连续性的讨论 四、几个特定的复数问题及求解的关键步骤 1. 证明复数模的不等式 关键步骤：
(1). 证明原不等式两端平方后的不等式 (2). 利用z
2
?z
2. 确定平面曲线的复数方程
关键步骤：转化为求x,y满足的方程 3. 确定复数方程对应图形
关键步骤：利用复数差模的几何意义；转化为关于x,y的方程；转化为关于r,?的方程 4. 确定映射w?f(z)将z平面上的图形映到w平面上的图形 关键步骤：
(1). 写出w?f(z)对应的两个二元实变函数
(2). 利用z平面上的图形对应的方程将二元实变函数中的两个变量用同一个变量表示
5. 讨论复变函数w?f(z)的极限及连续性
关键步骤：
(1). 将w?f(z)看成一些简单函数的运算
(2). 通过分析这些简单函数对应的两个二元实变函数得到这些简单函数的极限及连续性
(3). 利用极限及连续的一些运算法则得到原函数的极限及连续性
第二篇：北京理工大学复变函数与积分变换总结
北京理工大学 ----复变函数与积分变换总结
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第一章：复数和复变函数及其极限
复数在实际工程中有着广泛的应用，其可以表示模和相位，比如，负电压与负电流。（显而易见，复数的引入对物理学发展意义重大。因为，许多物理量不只有大小，还有方向） 在数学上，所有的多项式都存在解，所有的多项式都可以分解为一次项式的乘积。 零碎知识点
1.实数、虚数、共轭复数
2.复数的表示形式（相互一一对应）（这几个貌似都为考点）
1）定义法：z?x?yi
2）复平面坐标表示法：有助于平行四边法则的运用
3）三角函数表示法：z?r(cos??sin?i)
4)欧拉公式表示法：z?r(cos??sin?i)?re i?
5)向量表示法：模、幅角、全部幅角、幅角主值
3.复数的运算
复数中不会有隐藏解的出现，两边一一对应。
复数的比较大小、加减乘除、交换律、结合律、分配率、共轭运算、乘幂与方根（欧拉公式）（方根对应图形）
z?z1?z2?z1?z2;z?z1?z2?z1?z2;z?()? z2z2
?z;z?z??|z|2;z??2Re(z);z??2ilm(z)
2
4.复变函数的意义
从几何的角度上看，复变函数是一个复平面上的点集到另一个复平面上的一个映射。
在直角坐标系复平面上，自变量记作z?x?yi，函数值记作w?u?vi。那么复变函数w?f(z)就等价于两个二元函数u?u(x,y),v?v(x,y)，即一个复变函数的映射，等同于两个二元实函数的映射。
在物理学或力学中，可以用复变函数来建立“平面场”的数学模型，例如在流体力学中，平面流速场的速度分布可用复函数 V＝V（z）＝Vx（x，y）＋i Vy（x，y）来表示，其中，Vx（x，y）和Vy（x ，y）是坐标轴方向的速度分量（不是偏导数记号），V（z）则称为复速度。
5.复平面上各种曲线方程的表示（即映射中原像的描述）
?z?zz?z直角坐标方程表示：F(z)?F(x,y)?F(,)?22i???直角坐标表示复数的模等式表示 ?复数角表示?????参数表示：F(z)=F(x(t),y(t))=F(z(t));z(t)=x(t)+y(y)i
二级结论：
Azz??z?z?D=0....圆；?z?z?D=0....直线；
?x?x0?rcos???y?y0?rsin?z?z0?r(cos??sin?i)?z0?rei?
6.简单曲线与光滑曲线 arg(z?i)?开集、有界、无界、0?|z?1?i|?2去心圆、
7.复变函数的概念 ?4射线
1）复变函数只是一个映射对应关系，难以画出图像（由于其本质为点点对应而不是数数对应）
2.matlab复变函数图像的理解
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z?x?yi;
w?u?vi;
w(z)?w(x,y)?u(x,y)?v(x,y)i?u(z)?v(z)i;
w(z)?u(z)?v(z)i
我们常用的复平面，就是用来表示一个像的实部虚部关系的，即一个点集。
8.复映射
单叶型函数、函数映射尽量采用参数方程的表达形式
9.整线性映射及其保圆型
平移:w=z?a;旋转:w=ei??z;伸缩:w?|a|z
复数运算尽量用方程形式转化到实数域、
第二章：解析函数
本章为后面研究奠定基础，为复变函数的主要研究对象。
零碎知识点
4
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第三章：复积分
复空间上面的积分，很简单的就是求原函数。这是最直观的。通过一个起点，加上他的变化情况，然后作出还原原来的情况的能力就是复函数的积分。
具体来讲，电子领域，你可以对应上去，将几个变量联系到复空间领域，然后就可以知道他们的一致变化情况。这也许是一个想法。积分变换的目的就是得到真正的变化情况。复积分也是如此。
零碎知识点 1.复积分基本概念:曲线方向、积分路径、被积函数
2.复积分的存在条件
C?f(z)dz??udx?udy?vdx?vdy C
3.复积分的性质
1）线性性
C?kf(z)dz?k?f(z)dz;?[f(z)?g(z)]dz??f(z)??g(z) CCCC
2）区域分解性
C?f(z)dz??f(z)dz??f(z)dz C1C2
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复级数 从完美数学角度研究复变函数。进行级数分解有助于：1.进一步研究函数的性质2.易于积分运算3.易于进行估值 零碎知识点
1.级数项的收敛性:单边收敛法：lim?zn???;双边收敛法：lim?an??a0,lim?bn??b0;n??n??n??
2.sinjn与cosjn在复变函数时，尽量分解成ejn
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6.罗朗级数与Taylor级数完全一样，除了分解时必须考虑双边
7.罗朗级数求积分：1）找到收敛域、收敛半径—>展开形式2）写出罗朗展开式得出c（）-12?ic?1同样可以采用高阶导数公式
第四章：留数及其应用 高阶积分公式和复闭路已经可以用来处理积分区域内有限个奇点的被积函数，但形式职
位多项式乘积，比较单一。当奇点增多时，无法进行运算。所以，本章引入留数，对复函数
积分进一步优化。
零碎知识点
1.孤立奇点
某一邻域处处解析
孤立奇点一定是奇点，但奇点不一定孤立。
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2.奇点及其分类（用来研究奇点的）
可去奇点 无负幂项
z?z0limf(z)?? Res[f(z),z0]?0
极点 有限个负幂项
z?z0limf(z)?? 留数存在判别方式
本性奇点 含无穷个负幂项
z?z0limf(z)不存在
留数存在判别方式 （关键在于罗朗展
开，看存在几级负
项，存在几级奇点）
3.级数的判别（由零点判别法转化而来）
1）多项式分解因式得到零点级别
2）罗朗展开看最低次幂
3）微分法：f(n?1)(z)=0?f(n)(z)?0,n次零点
f(z)4）fk(z)的零点为mk:f1(z)?f2(z)为m1?m2;1为m2?m1级极点f2(z)
（m2-m1?0时为可去奇点）
4.留数定义及求取(留数即为z0的负幂项（-1）时的罗朗展开系数c?1)
?可去奇点=0?1)罗朗展开?偶函数：致函奇次幂=0
?本性奇点罗朗展开求c即可?1?
?Res[f(z),z0]?lim(z?z0)f(z)?一级极点：z?z0??12)当z0为极点时?mlim[(z?z0)nf(z)](n?1)
(n-1)!z?z0??Q(z)Q(z);Q(z)?0,P(z)?0,P?(z)?0;c?1??一级极点：f(z)?P(z)P?(z) ?
5.
10
5.1）留数定理进行积分：奇点有限、留数易求、极性好判断（与复闭路非常类似） 核心：找出被积区域内的奇点
留数定理（续）
（当留数太多时采用）
当f(z)在R<z<?时解析时，则对包含圆任意一条单向闭曲线C，
?f(z)dz?2?iRes[f(11
C???2,0]
2）在定积分方面的应用
有限区域积分：?2????z2?1z2?1dz
0f(sin?,cos?)d|z|?1f(2iz,2z)iz
z2
ei??z,cos??+1
2，sin??z2-1
2iz,dz?iei?d?
??2?
??1
02??1?(用于偶函数，向积分方式靠拢，以至于可以形成积分环)??20
-?n
无限区域积分：?f(x)dx?2?i?Res[f(z),zk]
-?k?1
??
zk为上半平面解析点?=1
02-?偶函数?
-?n
ei?xdx=2?i?Res[f(z)?ei?z,zk](zk仅为f(z)上半平面的奇点)
-?f(x)??k?1
-?-?-?-?
f(x)?sinxdx?lm[?f(x)?eixdx];?Re[
-??-??f(x)?cosxdx?f(x)?eixdx]-?-? 11