学习复变函数心得
在这一学期，我学了复变函数这门课程，使我受益良多，也有挺多的学习心
得感受。所以，接下来，我想跟大家一起分享我的一些看法及心得。
我认为，在接触一门新的课程时，不妨先了解其发展历史，这样，对以后的深入学习也有一定的帮助，而且，在学了之后，也不至于连这一学科怎么来的，为何会产生都不清楚。所以，在老师的讲解下及上网看的一些资料后，我也了解了一点点有关复变这门课程的发展历史。
复变函数，又称为复分析，是分析学的一个分支。它产生于十八世纪，其中，欧拉、拉普拉斯等几位数学家对这门学科的产生做出了重大的贡献。而到了十九世纪，这时，可以说是复变函数这门学科的黄金时期，在这段时期，它得到了全面的发展，是当时公认的最丰饶的一个数学分支，也是当时的一个数学享受。其中，Riemann,Welerstrass及Cauchy这三位数学家为此作做了突出的贡献。到了二十世纪，复变函数继续发展，其研究领域也更加广泛了。而我国的老一辈的数学家也是在这一方面做出了一些重大贡献。
知道了复变函数这一学科简单的发展历程后，那么接下来，我给大家说说我在学习这门课程的一些感受吧。
复变函数这门课程是将数从实数域拓展到复数域，在一开始书中介绍了什么是复数及其一些简单的四则运算，而这些在中学时就已经有过接触了，所以，在一开始还是挺容易上手的。而接下来，讲的就是复平面及复数的模跟辐角，还有就是复变函数的概念及其极限与连续。需要说一下的是，复变函数的概念跟实变函数概念的不同，实变函数是单值函数，而复变函数可以是单值函数也可以是多值函数，这对以后的深入学习还算比较重要的。
在学习接下来的第二章，主要讲的是解析函数及初等多值函数。而在学习解析函数时，我觉得，最主要的就是掌握柯西—黎曼方程，它对于解析函数的微分及解析的判定都有着重要作用，就是到了第三章的复变函数的积分也是会用到的，所以掌握它还是挺重要的。接下来就是初等多值函数，这一部分比较难，但也挺有意思的。在老师讲解下及自己的研究后，对这一部分还是有点收获的。学习这一部分的内容，首先要理解为什么要对平面进行切割，接着，就是要学会寻找支点及切割方法，还有就是那些辐角的变化也要搞清楚，只要将这几点掌握了，
应该就没有大问题了。
而接下来的第三、第四章中，我觉得，第三章最主要的就是掌握柯西积分定理及其柯西积分公式，其中，柯西积分定理及其推理等能使我们免去繁琐的计算过程，直接就知道答案。而柯西积分公式也是经常会用到的，所以也是比较重要的。至于第四章的解析函数的幂级数表示法，首先，就是要了解复级数的一些基本性质，学会求幂级数的收敛性及其收敛半径。还有，就是要了解一些初等函数的泰勒展式并利用它来求其他一些函数的泰勒展式。
在学习了复变函数的这些知识后，使我的知识范围得到了拓展
，学到了很多，我觉得，复变函数这门课程真的是很不错。
对于某些专业的工科学生，学习复变函数是非常有意义的。
复变函数的记号是w＝f（z）。
从几何的角度上看，复变函数是一个复平面上的点集到另一个复平面上的一个映射。
在直角坐标系复平面上，自变量记作z＝x＋iy，函数值记作w＝u＋iv。那么复变函数w＝f（z）就等价于两个二元函数u=u（x，y）,v=v（x，y），即一个复变函数的映射，等同于两个二元实函数的映射。
在物理学或力学中，可以用复变函数来建立“平面场”的数学模型，例如在流体力学中 ，平面流速场的速度分布可用复函数 V＝V（z）＝Vx（x，y）＋i Vy（x，y）来表示，其中，Vx（x，y）和Vy（x ，y）是坐标轴方向的速度分量（不是偏导数记号），V（z）则称为复速度。
在静电学中，平面静电场也可以用复函数 E（z）＝Ex（x，y）＋i Ey（x，y）来表示，Ex（x，y）和 Ey（x，y）是坐标轴方向的场强分量，E（z）称为复场强。
对于理科的物理专业，以及工科与流体力学、电工电子学有关的各类专业，“复变函数与数学物理方法”课程（也有分为两门的，甚至三门的，即积分变换）都是很基础的一门课程。
复变函数泛谈 首先，复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。而对于复变产生的意义，书中是这样给出的：由于解代数方程的需要，人们引出了复数。
复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。
复数的集合——复平面是一个二维平面，但却并非我们所在的三维世界中的任何一个二维平面。可以说复平面在现实世界中完全找不到具体的一一对应，是一个纯粹缔造出来的二维平面。
而就在最近我弄清了两个概念：数学与科学。结论为：数学不是科学。数学不属于科学的范畴，是一种逻辑学，作为工具的学科；而科学则是理论的集合。哪怕是假命题如地心说，也是科学。而区别一个学科是否是科学的，则需要另一门学科作为其判定依据：证伪学。最终令我信服秉洁说的一个理论是：可被证明或证伪的属于科学；而数学，是不可被证伪的。 这一定程度上说明了数学是一门形而上学的学科，甚至包括几何学在内。而在数学当中，在我看来复数领域的形而上学兴则更加突出。
曾见过有人在论述形而上学时拿虚数和量子理论作为例证。我也曾一度认为量子理论中无观察者的不可知的事物量子状态可以用虚数来表示。当然现在看来，这是一种很浅薄的想法。就好比将著名的佯谬——薛定谔的猫的生死与否映射到复数域上。我曾看到有人对此作过一个类似性形而上学的证明，若将猫的生死，即铀的衰变与否映射到复数域上，那么为了对应铀的衰变概率分布的均匀，不妨将其对应到一队共轭复数上。当观察者出现，猫的生死被确定，不确定性即消失，那么其映射的复数的不存在性也应该消失，即将复数反映到实数域上，相应的运算即取模，可知共轭复数的模是相等的，这与确定后猫的生死的不同是矛盾的。当然，这种简单的推理本身便不甚科学。但结论应为正解：不确定不等于不存在，二者不可相互映射。
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学习复变函数心得?
????在这一学期，我学了复变函数这门课程，使我受益良多，也有挺多的学习心
得感受。所以，接下来，我想跟大家一起分享我的一些看法及心得。?
我认为，在接触一门新的课程时，不妨先了解其发展历史，这样，对以后的深入学习也有一定的帮助，而且，在学了之后，也不至于连这一学科怎么来的，为何会产生都不清楚。所以，在老师的讲解下及上网看的一些资料后，我也了解了一点点有关复变这门课程的发展历史。?
复变函数，又称为复分析，是分析学的一个分支。它产生于十八世纪，其中，欧拉、拉普拉斯等几位数学家对这门学科的产生做出了重大的贡献。而到了十九世纪，这时，可以说是复变函数这门学科的黄金时期，在这段时期，它得到了全面的发展，是当时公认的最丰饶的一个数学分支，也是当时的一个数学享受。其中，Riemann,Welerstrass及Cauchy这三位数学家为此作做了突出的贡献。到了二十世纪，复变函数继续发展，其研究领域也更加广泛了。而我国的老一辈的数学家也是在这一方面做出了一些重大贡献。?
知道了复变函数这一学科简单的发展历程后，那么接下来，我给大家说说我在学习这门课程的一些感受吧。?
复变函数这门课程是将数从实数域拓展到复数域，在一开始书中介绍了什么是复数及其一些简单的四则运算，而这些在中学时就已经有过接触了，所以，在一开始还是挺容易上手的。而接下来，讲的就是复平面及复数的模跟辐角，还有就是复变函数的概念及其极限与连续。需要说一下的是，复变函数的概念跟实变函数概念的不同，实变函数是单值函数，而复变函数可以是单值函数也可以是多值函数，这对以后的深入学习还算比较重要的。?
在学习接下来的第二章，主要讲的是解析函数及初等多值函数。而在学习解析函数时，我觉得，最主要的就是掌握柯西—黎曼方程，它对于解析函数的微分及解析的判定都有着重要作用，就是到了第三章的复变函数的积分也是会用到的，所以掌握它还是挺重要的。接下来就是初等多值函数，这一部分比较难，但也挺有意思的。在老师讲解下及自己的研究后，对这一部分还是有点收获的。学习这一部分的内容，首先要理解为什么要对平面进行切割，接着，就是要学会寻找支点及切割方法，还有就是那些辐角的变化也要搞清楚，只要将这几点掌握了，
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应该就没有大问题了。?
而接下来的第三、第四章中，我觉得，第三章最主要的就是掌握柯西积分定理及其柯西积分公式，其中，柯西积分定理及其推理等能使我们免去繁琐的计算过程，直接就知道答案。而柯西积分公式也是经常会用到的，所以也是比较重要的。至于第四章的解析函数的幂级数表示法，首先，就是要了解复级数的一些基本性质，学会求幂级数的收敛性及其收敛半径。还有，就是要了解一些初等函数的泰勒展式并利用它来求其他一些函数的泰勒展式。?
在学习了复变函数的这些知识后，使我的知识范围得到了拓展
，学到了很多，我觉得，复变函数这门课程真的是很不错。
对于某些专业的工科学生，学习复变函数是非常有意义的。
复变函数的记号是w＝f（z）。
从几何的角度上看，复变函数是一个复平面上的点集到另一个复平面上的一个映射。
在直角坐标系复平面上，自变量记作z＝x＋iy，函数值记作w＝u＋iv。那么复变函数w＝f（z）就等价于两个二元函数u=u（x，y）,v=v（x，y），即一个复变函数的映射，等同于两个二元实函数的映射。
在物理学或力学中，可以用复变函数来建立“平面场”的数学模型，例如在流体力学中 ，平面流速场的速度分布可用复函数 V＝V（z）＝Vx（x，y）＋i Vy（x，y）来表示，其中，Vx（x，y）和Vy（x ，y）是坐标轴方向的速度分量（不是偏导数记号），V（z）则称为复速度。
在静电学中，平面静电场也可以用复函数 E（z）＝Ex（x，y）＋i Ey（x，y）来表示，Ex（x，y）和 Ey（x，y）是坐标轴方向的场强分量，E（z）称为复场强。
对于理科的物理专业，以及工科与流体力学、电工电子学有关的各类专业，“复变函数与数学物理方法”课程（也有分为两门的，甚至三门的，即积分变换）都是很基础的一门课程。
复变函数泛谈 首先，复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。而对于复变产生的意义，书中是这样给出的：由于解代数方程的需要，人们引出了复数。
复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。
复数的集合——复平面是一个二维平面，但却并非我们所在的三维世界中的任何一个二维平面。可以说复平面在现实世界中完全找不到具体的一一对应，是一个纯粹缔造出来的二维平面。
而就在最近我弄清了两个概念：数学与科学。结论为：数学不是科学。数学不属于科学的范畴，是一种逻辑学，作为工具的学科；而科学则是理论的集合。哪怕是假命题如地心说，也是科学。而区别一个学科是否是科学的，则需要另一门学科作为其判定依据：证伪学。最终令我信服秉洁说的一个理论是：可被证明或证伪的属于科学；而数学，是不可被证伪的。 这一定程度上说明了数学是一门形而上学的学科，甚至包括几何学在内。而在数学当中，在我看来复数领域的形而上学兴则更加突出。
曾见过有人在论述形而上学时拿虚数和量子理论作为例证。我也曾一度认为量子理论中无观察者的不可知的事物量子状态可以用虚数来表示。当然现在看来，这是一种很浅薄的想法。就好比将著名的佯谬——薛定谔的猫的生死与否映射到复数域上。我曾看到有人对此作过一个类似性形而上学的证明，若将猫的生死，即铀的衰变与否映射到复数域上，那么为了对应铀的衰变概率分布的均匀，不妨将其对应到一队共轭复数上。当观察者出现，猫的生死被确定，不确定性即消失，那么其映射的复数的不存在性也应该消失，即将复数反映到实数域上，相应的运算即取模，可知共轭复数的模是相等的，这与确定后猫的生死的不同是矛盾的。当然，这种简单的推理本身便不甚科学。但结论应为正解：不确定不等于不存在，二者不可相互映射。
第二篇：三角函数变换知识点总结
一、任意角和弧度制及任意的三角函数。
1.任意角
（1）角的分类
任意角按旋转方向可以分为正角、负角、零角。
（2）象限角
第一象限角的集合{x│k*360°<x<k*360°+90°，k∈Z}
第二象限角的集合{x│k*360°+90°<x<k*360°+180°，k∈Z}
第三象限角的集合{x│k*360°+180°<x<k*360°+270°，k∈Z}
第四象限角的集合{x│k*360°+270°<x<k*360°+360°，k∈Z}
终边在x轴上的角的集合{x│x=k*180°，k∈Z}
终边在x轴上的角的集合{x│x=k*180°+90°，k∈Z}
（3）角的度量
A、角的度量制有：角度制、弧度制
B、换算关系：1°=∏/180°rad,1rad=57.30°
2、任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
定 设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于p(x、y)，那么
义 y叫做a的正弦， x叫做a的余弦， y/x叫做a的正切 记作sina 记作cosx 记作tana
各 I + + +
象II + - -
限III - - +
符IV - + -
号 【口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦都为正值】
3.同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：（sina)^2+(cosa)^2=1
(2)商数关系：sinx/cosx=tanx(x≠k∏+∏/2,k∈Z)
二、三角函数的诱导公式
1、下列各角的终边和角a的终边有何种关系
角 2k∏+a(k∈Z) ∏+a -a
与a角 sin( 2k∏+a)=a sin(∏+a)= -sina sin(-a)= -sina 终边的 cos( 2k∏+a)=a cos(∏+a)= -cosa cos(-a)=cosa 关系 tan( 2k∏+a)=a tan(∏+a)=tana tan(-a)= -tana 角 ∏-a ∏/2 -a ∏/2 +a
与a角 sin( ∏-a)=sina sin(∏/2-a)= cosa sin(-∏/2 +a)= cosa 终边的 cos( ∏-a)= -cosa cos(∏/2-a)= sina cos(-∏/2 +a)= -sina 关系 tan( ∏-a)= -tana
2、六组诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2k∏+a(k∈Z) ∏+a -a ∏-a ∏/2-a ∏/2 +a 正弦 sina -sina -sina sina cosa cosa
余弦 cosa -cosa cosa -cosa sina -sina 正切 tana tana -tana -tana …… ……
口诀 【 函数名不变，符号看象限 】 【函数名改变，符号看象限】
三、三角函数的图像与性质
1、周期函数
（1）周期函数的定义
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数（非零常数T叫做这个函数的周期）
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的性质
函数 y=sinx y=cosx y=tanx
定义域 x∈R x∈R x∈R且x≠∏/2+k∏,k∈Z 值域 [-1,1] [-1,1] R
单调性 在[-∏/2+2k∏, 在[-∏+2k∏, 2k∏] 在[-∏/2+k∏,∏/2+k∏] ∏/2+2k∏] 上递增k∈Z 上递增k∈Z
上递增，k∈Z
在[∏/2+2k∏, 在[2k∏, 2k∏+∏]
3∏/2+2k∏] 上递减k∈Z
上递减，k∈Z
最值 x=∏/2+2k∏时 x=2k∏时 无
ymax=1( k∈Z） ymax=1( k∈Z） 最
x=3∏/2+2k∏时 x=2k∏+∏时 值
ymax=-1( k∈Z） ymax=-1( k∈Z）
奇偶性 奇 偶 奇
对称中心 (k∏ ,0) (k∏+∏/2,0) (k∏/2,0)
对称轴 x=k∏+∏/2,k∈Z x=k∏,k∈Z ……
周期 2∏ 2∏ ∏
四、函数y=Axsin(ωx+ν)的图像及三角函数模型的简单应用
1相关概念
y=Axsin(ωx+v)（A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时
振幅:A
周期:T=2∏/ω
频率：f=1/T
相位：ωx+V
初相：V
2、用五点法画y=Axsin(ωx+v)一周期内的简图
利用五点法，如下表所示
x -V/ω (2∏-V)/ω (∏-V)/ω (3∏/2-V)/ω
ωx+V 0 ∏/2 ∏ 3∏/2
y=Axsin(ωx+v) 0 A 0 -A 0
五、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
C（a-B):cos(a-B)=cosacosB+sinasinB
C（a+B):cos(a+B)=cosacosB-sinasinB
S（a-B):sin(a-B)=sinacosB-cosasinB
S（a+B):sin(a+B)=sinacosB+cosasinB
T（a+B):tan(a+B)=(tana+tanB)/(1-tanatanB)
T（a-B):tan(a-B)=(tana-tanB)/(1+tanatanB)
2、二倍角的正弦、余弦、正切公式
S(2a):sin(2a)=2sinacosa
C(2a):cos(2a)=1-2(sina)^2=2(cosa)^2-1=(cosa)^2-(sina)^2
T(2a)=2tana/[1-(tana)^2]
3、公式的逆用及有关变形 (2∏-V)/ω2∏
tana±tanB=tan(a±+B)(1－(＋)tanatanB）
sinacosa=1/2*sin2
1+sin2a=(sina+cosa)^2
1-sin2a=(sina-cosa)^2
sina+cosa=√2sin(a±∏/4)
(sina)^2=(1-cos2a)/2
(cosa)^2=(1+cos2a)/2
(tan)^2=(1-cosa)/(1+cosa)
4、角的变换
a=(a+B)-B
B=(a+B)-a
2a=(a+B)+(a-B)
2B=（a+B）-（a-B)
2两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα2cosβ-sinα2sinβ
cos(α-β)=cosα2cosβ+sinα2sinβ
sin(α±β)=sinα2cosβ±cosα2sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα2tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα2tanβ)
2辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
2倍角公式：
sin(2α)=2sinα2cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
2三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα
2半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
2降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
2万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
2积化和差公式：
sinα2cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα2sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα2cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα2sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
2和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
2其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0