高数积分总结
一、不定积分
1、不定积分的概念也性质
定义1：如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f(x)，即对任一x?I,都有
F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,
那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数。
定义2：在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）（或者f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作
?f(x)dx。
性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则
?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx。
性质2：设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则
?kf(x)dx?k?f(x)dx。
2、换元积分法
(1)第一类换元法：
定理1：设f(u)具有原函数，???(x)可导，则有换元公式
?f[?(x)]?'(x)dx?[?f(?)d?]??
?(x)。
例：求?2cos2xdx
解 ?2cos2xdx??cos2x?2dx??cos2x?(2x)'dx??cos?d? 将??2x代入，既得
?2cos2xdx?sin2x?C
(2)第二类换元法：
定理2：设x??(t)是单调的、可导的函数，并且?'(t)?0.又设f[?(t)]?'(t)具有原函数，则有换元公式
?f(x)dx?[?f[?(t)]?'(t)dt]
?1其中?(x)是x??(t)的反函数。 t???1(x),
例：求?dx
x?a22(a?0)
22解 ∵1?tant?sect， ????设x??tant???t??，那么 2??2
x2?a2?a2?a2tan2t?a?tan2t?asect,dx?asec2tdt， 于是
?asec2t??dt??sectdt 22asectx?adx
∴?
∵sect?
∴?dxdxx?a22?lnsect?tant?C x2?a2，且sect?tant?0 a???C?ln(x?x2?a2)?C，C?C?lna 11??22?xx?a?ln???aax2?a2?
3、分部积分法
定义：设函数???(x)及???(x)具有连续导数。那么，两个函数乘积的导数公式为
????'??'????'
移项得 ??'?(??)'??'? 对这个等式两边求不定积分，得
???'dx??????'?dx
此公式为分部积分公式。
例：求?xcosxdx
解 ?xcosxdx?xsinx??sinxdx
∴xcosxdx?xsinx?cosx?C ?
分部积分的顺序：反对幂三指。
4、有理函数的积分 例：求?x?1dx 2x?5x?6
2解 ∵x?5x?6?(x?3)(x?2)，故设
x?1AB?? x2?5x?6x?3x?2
其中A,B为待定系数。上式两端去分母后，得
x?1?A(x?2)?B(x?3)
即 x?1?(A?B)x?2A?3B 比较上式两端同次幂的系数，既有
?A?B?1 ??2A?3B??1
从而解得 A?4,B??3
于是
x?13??4??dx?4lnx?3?3lnx?2?C ?x2?5x?6dx????x?3x?2?
其他有些函数可以化做有理函数。
5、积分表的查询
二、定积分
1、定积分的定义和性质
（1）定义：设函数f(x)在?a,b?上有界，在?a,b?中任意插入若干个分点
a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b
把区间?a,b?分成n个小区间
?x0,x1?,?x1,x2?,?,?xn?1,xn?
各个小区间的长度依次为
?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1
在每个小区间?xi?1,xi?上任取一点?i?xi?1??i?xi?，作函数值f(?i)与小区间长度?xi的乘积f(?i)?xi?i?1,2,?,n?，并作出和
S??f(?i)?xi i?1n
记??max??x1,?x2,?,?xn?，如果不论对?a,b?怎么划分，也不论在小区间xi?1,xi上点?i怎么选取，只要当??0时，和S总趋于确定??
的极限I，那么称这个极限I为函数
(简称积分)，记作f(x)在区间?a,b?上的定积分?b
af(x)dx，即
n?
其中
变量，baf(x)dx?I?lim?f(?i)?xi ??0i?1f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分a叫做积分下限，b叫做积分上限，?a,b?叫做积分区间。
f(x)在区间?a,b?上有界，且只有有限个间断点，则f(x)定理1：设f(x)在区间?a,b?上连续，则f(x)在?a,b?上可积。 定理2：设
在?a,b?上可积。
（2）性质1：
性质2：??f(x)?g(x)?dx??abbaf(x)dx??g(x)dx ab?kf(x)dx?k?abbaf(x)dx (k是常数)
性质3：设a?c?b，则
?b
af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx accb
性质4：如果在区间?a,b?上f(x)?1，则
?1dx??dx?b?a aabb
性质5：如果在区间?a,b?上，f(x)?0，则
?
?b
abaf(x)dx?0?a?b? 推论1：如果在区间?a,b?上，f(x)?g(x)，则 f(x)dx??g(x)dx?a?b? ab
推论2： ?b
af(x)dx??f(x)dx(a?b) ab
性质6：设M及m分别是函数
最小值，则 f(x)在区间?a,b?上的最大值和
m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)(a?b) ab
性质7(定积分中值定理)：如果函数f(x)在积分区间?a,b?上连续，则在?a,b?上至少存在一个点?，使下式成立
?b
af(x)dx?f(?)(b?a)(a???b)
2、微积分基本公式
(1)积分上限函数及其导数
定理1：如果函数f(x)在区间?a,b?上连续，则积分上限的函数
??x???f(t)dt ax
在?a,b?上可导，并且它的导数
dx?'(x)?f(t)dt?f(x)(a?x?b) ?adx
定理2：如果函数f(x)在区间?a,b?上连续，则函数
?(x)??f(t)dt ax
就是f(x)在区间?a,b?上的一个原函数。
f(x)在区间?a,b?上的一个原函(2)牛顿-莱布尼茨公式 定理3：如果函数F(x)是连续函数
数，则
?
(1)定积分的换元法 定理：
三、多元函数微分
四、重积分
五、曲面和曲线积分 baf(x)dx?F(b)?F(a) 3、定积分的换元法和分部积分法
第二篇：高等数学一-微积分总结
导数
微分学
微分
微积分
不定积分
积分学
定积分
无穷级数
第一章函数及其特性
1.1 集合
一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。
二、表达方式： 集合A，B，C……（大写字母）
元素a，b，c……（小写字母）
A=｛a，b，c｝
元素的排列无重复，无顺序。
a属于A记作a
A，1不属于A记作1
A或1A
三、分类 有限集
无限集
空集Ф
四、集合的运算
1、子集：存在A、B两个集合，如果A中所有元素都在B中，则A叫做B的子集，A
B或B
A（空集是任何集合的子集）。
2、交集： 存在A、B两个集合，由既在A中又在B中的元素组成的集合。A
B，ABA，A
BB，ФB=Ф（空集与任何集合的交集是Ф）。
3、并集：存在A、B两个集合，由所有在A、B中的元素组成的集合。A
B，ABA，ABB，ФB=B。
4、补集：存在A、B两个集合，且AB，由在B当中但不在A中的元素组成的集合，叫A的补集，B叫全集。记作AB或
， ABA=Ф， AB A=B
五、数、数轴、区间、邻域
1、数 实数
虚数: 规定i2= -1，i叫虚数单位，
2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
3、区间
(1)闭区间a≤x≤b,x
[a, b]
(2)开区间a< x< b, x(a, b)
(3)半开区间 a≤x< b, x[a, b)
a< x≤b, x(a, b]
(4)无限区间 x≤a, x(-∞, a]
x≥b, x[ b, +∞)
xR, x(-∞, +∞)
4、邻域：以
x = x0为圆心，以
δ
> 0（
δ为非常小的正数）为半径作圆，与数轴相交于A、B两点，
x0 -
δ
< x0 < x0 +
δ叫x
0的δ邻域。
例1 已知A=｛x -2≤x< 3｝，B=｛x -1< x≤5｝，求AB， AB
解：A、B集合中x的取值范围在数轴表示如下
所以AB=｛x -1< x< 3｝， AB=｛x -2≤x≤5｝
例2 已知A、B为两非空集合，则AB=A是A=B的[ (2) ]
(1)充分条件 (2)充分必要条件 (3)必要条件 (4)无关条件
注：如果A成立，那么B成立，即“A
B”，那么条件A是B成立的充分条件；如要使B成立，必须有条件A，但只有A不一定能使B成立，则称A是B成立的必要条件；如果“AB”，又有“BA”，则称条件A是B成立的充分必要条件。
例3 已知集合M=｛0,1,2｝，则下列写法正确的是[ D ]
A、 ｛1｝M B、 1
C、 1M D、｛1｝M
1.2 函数及其几何特性
一、定义：在一过程中，存在两个变量x、y，y是按照某一对应规则f随x的变化而变化，y就叫做关于x的函数（一元函数），表达式：y=f (x)
x叫自变量，定义域Df （x取值范围）
y叫因变量，值域DR （y取值范围）
二、求定义域
例1 求
的定义域。
解：
例2 求
的定义域
解：
例3 求
的定义域
解：
注：真数等于1时，对数值等于0。
三、图象
四、几何特性
1、单调性。对于y=f(x), xDf, if y随x的增加而增加，则y=f(x)在Df内单调增。
y随x的增加而减少，则y=f(x)在Df内单调减。
2、有界性。对于y=f(x), xDf, 对于任一xDf，满足A≤f(x)≤B，则y=f(x)在Df内有界，A叫下界，B叫上界。
3、奇偶性。对于y=f(x), xDf, 且Df为对称区间, if f(-x)=f(x)，则y=f(x)为偶函数。
f(-x)= -f(x)，则y=f(x)为奇函数。
如两者均不符合，则y=f(x)为非奇非偶函数。
注：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。
4、周期性。（三角函数的周期性）
对于y=f(x), xDf, if 存在T>0，满足f(x+T)=f(x), 则y=f(x)是周期函数，T叫最小正周期。
例1 讨论
的奇偶性（xR）
解：
原函数是奇函数
例2 讨论
的奇偶性(xR)。
解：
原函数是奇函数
1.3 五种基本的初等函数
一、幂函数
1、形如
，a为常数。
2、幂函数的定义域、值域、几何特性依a的取值而定。
如a取以下值：
3、运算法则
（a, b为正整数）
二、指数函数
1、形如
且
2、xR，y>0
3、当x=0时，y=1，则图象一定过点（0，1）
4、几何特性。单调性 0<a<1 单调减
a>1 单调增
5、图象
6、运算法则（同幂函数）
三、对数函数
1、形如
且
2、x>0，yR
3、当x=1时，y=0，则图象一定过点（0，1）
当x=a时，y=1
4、几何特性。单调性 0<a<1 单调减
a>1 单调增
5、图象
6、两种特殊的对数
(1)当a=10时，y=log10x=lgx(常用对数)
(2) 当a=e时，y=logex=lnx(自然对数，e≈2.718)
7、运算法则
四、三角函数（掌握其几何特性、特殊三角函数的图象、基本运算）
特殊角的三角函数值
图象：
sinx cosx
1 1
-1 -1
tanx
常用公式：
两种特殊的三角形式求周期：
(1) y=Asin(ωx+θ), 
(2) y=|sinx|, T=π
五、反三角函数
图象：
arctanx
arccotx
π
-
通过以上五种基本函数有限次的加、减、乘、除、乘方、开方、复合，就构成了初等函数。
1.4 复合函数、反函数、分段函数
一、复合函数
由y=f(u), u=g(x), 可得到y=f [g(x)]，叫做y关于x的复合函数，u叫中间变量。
例1 已知
, 求f(x). 例2 已知f(x+1)=x(x-1), 求f(x)
解：设
解：令t=x+1, 则x=t-1
注：t和x都是代表变量，习惯性用x表示自变量，因此最后答案直接用x代替t.
例3 已知f(x-1)=x2+x+1, 求
例4 已知f(x)的定义域为[0, 4]，求f(x2)的解：令t=x-1, 则x=t+1 定义域。
例5 已知f(x+2)=x2-2x+3, 求f [f(2)].
解法①：令t=x+2, 则x=t-2 解法②：由f(2)可知f(x+2)中x=0
f(t)=(t-2)2-2(t-2)+3=t2-6t+11 ∴ f(2)=02-2×0+3=3
则f(2)=22-6×2+11=3 则由f [f(2)]=f(3)又可知x=1
所以f [f(2)]=f(3)=32-6×3+11=2 ∴ f [f(2)]= f(3)= 12-2×1+3=2
二、反函数
已知y=f(x)x=F(y)即y=F(x), 则y=F(x)叫y=f(x)的反函数，可记作f -1(x).
1、反函数与原函数的图象关于直线y=x对称。
2、两组反函数
(1) y=ax与y=logax, 指数函数与对数函数互为反函数。
(2) y=sinx与 y=arcsinx (-
≤x≤)
例：求
的反函数。
解：由原函数可得
即反函数为
三、分段函数（关键在分段点）
1.5 几种简单经济函数的建立
价格P，需求量D，产量Q，总收益R，总成本C，总利润L
本书中设定需求量与产量为理想状态的关系，即D=Q
一、需求函数：D=D(P)
二、总收益函数：
三、总成本函数：C=变动成本+固定成本
四、总利润函数：L=R-C
例：已知需求函数
，求R(P), R(D).
解：
R=P×D=P×(20-2P)=-2P2+20P
∴R(P)= -2P2+20P
R(D)= 
第二章函数的极限、连续性
2.1 函数的极限
一、数列的极限
1、数列：按自然数的顺序排列的一列数，
. 
首项，
通项公式。
2、数列的极限：对于，当n→(趋向于)∞时，if →A, 则A叫当n→∞时的极限。
记作：
二、函数的极限
1、对于y=f(x), 当x→∞时，if f(x) →A, 则A叫f(x)当x→∞时的极限，
的充分必要条件：
，即左右极限存在且相等。
例：判断
是否存在。
解：由arctanx的图象可知
当x→-∞时，
当x→+∞时，
所以不存在。
2、对于y=f(x), 当x→xo时, if f(x) →B, 则B叫做f(x)当x→xo时的极限，
的充分必要条件：
，即左右极限存在且相等。
例1 已知
，判断
是否存在。
解：
∴存在
例2 判断
是否存在。
解：
∴不存在
三、函数的极限的计算
1、运算法则：已知
(K是常数)
2、判别法则
(1)夹逼准则：在xo的邻域存在f(x), g(x), w(x)，且g(x)≤f(x)≤w(x)
if
, 则
(2)单调有界函数必有极限
三、一般初等函数求极限
1、当x→xo时，if f(x)在xo有意义，则极限等于f(xo).
f(x)在xo无意义，则对f(x)进行恒等变换，将f(x)变换为在xo有意义或公式的形式。
2、当x→∞时，利用公式或利用
来求极限。
四、分段函数求极限(以x→xo为例)
1、如果xo不是分段点，则按初等函数定。
2、如果xo是分段点，则利用充分必要条件。
例1 已知
，求
解：(1) 
(2) 
(3) 当x→1时，1为分段点，利用左右极限存在且相等的充分必要条件：
例2 已知
，求
解：
2.2 无穷大量、无穷小量
一、定义：对于y=f(x), 当x→xo(x→∞)时
if f(x)→∞, 则称f(x)是当x→xo(x→∞)时的无穷大量。
if f(x)→0, 则称f(x)是当x→xo(x→∞)时的无穷小量。
注：当x→0时，
既不是无穷大量，也不是无穷小量，是一个有界函数。
当x→∞时，是无穷小量。
二、两者间的关系：当x在同一变化趋势下时，两者互为倒数。
已知当x→xo时，如果f(x)→∞(0)，则
三、无穷小量的性质
1、有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量。
2、无穷小量与有界函数的积，仍为无穷小量。
三角函数的角度 →0时，用公式来求极限。
→∞时，把三角函数当成有界函数，配无穷小量来求极限。
3、如果
, 则在xo的邻域内f(x)-A=ω(x)(无穷小量)，即f(x)与A之间相差一个无穷小量。
四、无穷小量的阶次的比较
已知x→xo(x→∞)时，f(x)→0, g(x)→0, 取
例1 当x→0时，比较
与x的阶次。
解：
∴ 两者同阶
例2 当x→0时，比较ln(1+x)与x的阶次。
2.3 函数的连续性
一、定义：对于y=f(x)在xo的邻域内有定义，当x取xo+Δx时，y=f(xo+Δx)， 则
Δy=f(xo+Δx)-f(xo). if Δx→0, 则Δy→0, 即
, 则称y=f(x)在xo连续。
if 
, 则y=f(x)在xo处是连续函数。
由定义可得出函数连续的三个必要条件：
(1) y=f(x)在xo有意义
(2)当x→xo时，极限存在
(3)极限等于f(xo)
1、初等函数的连续性
在定义域内一定连续。
2、分段函数的连续性
(1)如果xo不是分段点，则当初等函数看待。
(2)如果xo是分段点，则利用由定义得出的三个必要条件来判断。
例1 求
的连续区间。
例2 已知，讨论y=f(x)在x=1处的连续性。
解：(1)当x=1时，f(1)=2
(2)
例3 已知
，求a的值，使f(x)在(-∞,+∞)内连续。
a=1时，f(x)在(-∞,+∞)内连续
二、在闭区间连续函数的性质
1、如果y=f(x)在[a, b]连续，则在[a, b]内能取到最大值max和最小值min。
2、零点存在的原理
y=f(x)在[a, b]连续，且f(a)×f(b)<0，则至少存在xo(a, b)，使f(xo)=0，xo叫零点。
例：求证方程x5-5x-1=0在(1, 2)内至少存在一个实数根。
证明：令f(x)= x5-5x-1在[1, 2]连续
f(1)-5
f(2)=21
∴ 根据零点存在的原理，至少存在xo(1, 2)，使f(xo)=0
∴ 方程在(1, 2)内至少存在一个实数根。