1.二重积分   形式：    f(x,y)为面密度，dxdy为面积元素。           

解法：①直角坐标  首先是化为X型或Y型区域，如化为X型的则可写成=

②极坐标（使用范围：D为圆或圆的一部分，f(x,y)中含有+项）极坐标下二重积分可化为：

=

2.三重积分   形式：    f(x,y,z)表示点（x,y,z）处的密度，dv表示体积元素

解法：①直角坐标   如往xoy面投影，Dxy为X型区域，y的范围由平行于y轴的直线穿过Dxy，穿入的是下限，穿出的上限；z的范围沿平行于z轴的直线穿过立体，穿入的下限，穿出的上限，则有：=；

②柱面坐标（范围：投影区域为圆或圆的一部分，f（x，y，z）中含有+项）   直角坐标与极坐标的关系：x= y=  z=z。    ==

③ 球面坐标  （范围：立体为球体或球体的一部分）

3.重积分的应用：① 求曲面面积：A= 

可以类似的推出区域为Dxy,Dyz时对应的公式。

② 求质心：      类似的可推广到空间直角坐标系。

③求转动惯量： =     推广到空间坐标系有：      

4.曲线积分：①对弧长的曲线积分  形式：  当L为闭曲线是又记为：  

算法：关键是化为参数方程，注意积分的上限一定大于积分下限！  直角坐标系下的公式：（）极坐标系下的公式：  （）

②对坐标的曲线积分  形式：P（x,y）对坐标x的积分记为；Q（x，y）对坐标y的积分记为

算法：  注意对应L的起点对应L的终点！

③两类曲线积分的关系：平面曲线L    空间曲线  起点对应的参数小于终点对应的时取“+”，反之取“-”。

5.曲面积分  ①对面积的曲面积分  形式： f(x.,y,z)表示面密度ds表面积

算法：若曲面往xoy面投影则有 dxdy

同理可有  为曲面的方向余弦，求解的大致步骤：先将积分曲面函数化为

注意：曲面投影不能是一条曲线，积分曲面是由不同曲面组成的要分割！

②对坐标的曲面积分  形式 对坐标x，y的积分   类似的还有对坐标z，x和对坐标y，z的积分。为光滑有向曲面

算法：往xoy面上投影有  取“+”时上侧，取“-”时为下侧，同理还有往zox面投影右侧取“+”，往yoz面投影前侧取“+”。注意：曲面的投影为曲线时积分为零！

③两类曲面积分的联系  

6.三个公式 ①格林公式（二重积分曲线积分）条件：P Q具有一阶连续偏导数，D是有L围城的闭区域，L取正向。 内容：

应用：i）A为区域D的面积 A=；ii）曲线积分在一个单连通区域与路径无关的充要条件；

iii）Pdx+Qdy在一单连通域内某一函数的全微分的充要条件是，有。选择起点应尽量选择原点或x轴上的点，然后用折线法求出u（x，y）。

②高斯公式（三重积分曲面积分）条件：是由围成的闭区域外侧，P Q R有一阶连续偏导数。

内容：

③斯托克斯公式（曲面积分曲线积分）条件：为分段光滑空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑有向曲面，右手规则，P Q R具有一阶连续偏导数。

内容：

    

第二篇：高数积分总结

第四章  一元函数的积分及其应用            

第一节  不定积分

一、原函数与不定积分的概念

定义1.设是定义在某区间的已知函数，若存在函数，使得或,则称为的一个原函数

定义2.函数的全体原函数叫做的不定积分，，记为:

其中   叫做被积函数  叫做被积表达式   叫做积分常数

“”叫做积分号

二、不定积分的性质和基本积分公式

性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即

        .

性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即 

        

性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即

        .

性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即

      

三、换元积分法和分部积分法

定理1. 设可导，并且 则有

该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法．

定理2.设是可微函数且，若具有原函数，则

该方法叫第二换元积分法       

 1)  v 容易求得 ;

解题技巧:

把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的顺序, 前者为后者为

第二节   定积分概念

一、原函数与不定积分的概念

二、定积分的定义和存在定理

三、定积分的几何意义与定积分的性质

1．定积分的几何意义

2. 定积分的性质

性质1..

性质2.   (是常数).

性质3. .

性质4..

推论1. 如果在 上，  (a<b).

推论2.

性质5.    .

性质6.  设M与m分别是函数上的最大值及最小值，则

  ().

性质7 .(定积分中值定理)  如果函数在闭区间上连续，则在积分区间]上至少存在一点，使下式成立：

  ()

可积的充分条件:

定理1.，则

定理2.且只有有限个间断点 ，则

第三节  微积分基本公式

一、微积分基本公式

1.             变上限函数

定义1. 设函数在区间上连续，则它在任意一个子区间上可积，则

                         ( )

是上限变量的函数，称此函数为积分上限函数，也称为变上限函数.

2. 微积分基本公式

定理2.

1.定积分的换元积分法

定理3.

注：设在上连续,证明

(1)若在为偶函数，则 =；

(2)若在上为奇函数，则   =0.

2.定积分的分部积分法

定理4. 

第四节  定积分的应用（这点跟高中无异，于是乎就偷懒了=v=~）

一、定积分的微元法

其实质是找出的微元的微分表达式.

二、定积分在几何中的应用

1. 平面图形的面积  .

2. 旋转体的体积

三、定积分在物理上的应用

1.变力做功

2.液体静压

四、定积分在医学上的应用