高等数学一-微积分总结

第一章函数及其特性

1.1  集合

一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。

四、集合的运算

1、子集：存在A、B两个集合，如果A中所有元素都在B中，则A叫做B的子集，AB或BA（空集是任何集合的子集）。

2、交集： 存在A、B两个集合，由既在A中又在B中的元素组成的集合。AB，ABA，ABB，ФB=Ф（空集与任何集合的交集是Ф）。

3、并集：存在A、B两个集合，由所有在A、B中的元素组成的集合。AB，ABA，ABB，ФB=B。

4、补集：存在A、B两个集合，且AB，由在B当中但不在A中的元素组成的集合，

五、数、数轴、区间、邻域

2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

3、区间

(1)闭区间a≤x≤b,x[a, b]

(2)开区间a＜ x＜ b, x(a, b)

 4、邻域：以 x = x0为圆心，以 δ ＞ 0（ δ为非常小的正数）为半径作圆，与数轴相交于A、B两点， x0 - δ ＜ x0 ＜ x0 + δ叫x 0的δ邻域。

例1 已知A=｛x  -2≤x＜ 3｝，B=｛x  -1＜ x≤5｝，求AB， AB

解：A、B集合中x的取值范围在数轴表示如下

所以AB=｛x -1＜ x＜ 3｝， AB=｛x -2≤x≤5｝

例2 已知A、B为两非空集合，则AB=A是A=B的[ (2) ]

(1)充分条件    (2)充分必要条件    (3)必要条件    (4)无关条件

注：如果A成立，那么B成立，即“AB”，那么条件A是B成立的充分条件；如要使B成立，必须有条件A，但只有A不一定能使B成立，则称A是B成立的必要条件；如果“AB”，又有“BA”，则称条件A是B成立的充分必要条件。

例3 已知集合M=｛0,1,2｝，则下列写法正确的是[ D ]

A、 ｛1｝M    B、 1    C、 1M    D、｛1｝M

1.2  函数及其几何特性

一、定义：在一过程中，存在两个变量x、y，y是按照某一对应规则f随x的变化而变化，y就叫做关于x的函数（一元函数），表达式：y=f (x)

x叫自变量，定义域Df （x取值范围）

y叫因变量，值域DR （y取值范围）

二、求定义域

例1 求的定义域。

解：

例2 求的定义域

解：

例3 求的定义域

解：

注：真数等于1时，对数值等于0。

三、图象

四、几何特性

注：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。

4、周期性。（三角函数的周期性）

对于y=f(x), xDf, if 存在T＞0，满足f(x+T)=f(x), 则y=f(x)是周期函数，T叫最小正周期。

例1 讨论的奇偶性（xR）

解：

  原函数是奇函数

例2 讨论的奇偶性(xR)。

解：

原函数是奇函数

1.3  五种基本的初等函数

一、幂函数

1、形如，a为常数。

2、幂函数的定义域、值域、几何特性依a的取值而定。

如a取以下值：

3、运算法则                    

（a, b为正整数）   

二、指数函数

1、形如且

2、xR，y＞0

3、当x=0时，y=1，则图象一定过点（0，1）

4、几何特性。单调性   0  单调减

a＞1    单调增

5、图象

6、运算法则（同幂函数）

三、对数函数

1、形如且

2、x＞0，yR

3、当x=1时，y=0，则图象一定过点（0，1）

当x=a时，y=1

4、几何特性。单调性   0  单调减

a＞1    单调增

5、图象

6、两种特殊的对数

(1)当a=10时，y=log10x=lgx(常用对数)

(2) 当a=e时，y=logex=lnx(自然对数，e≈2.718)

7、运算法则

四、三角函数（掌握其几何特性、特殊三角函数的图象、基本运算）

特殊角的三角函数值

两种特殊的三角形式求周期：

(1) y=Asin(ωx+θ),     

(2) y=|sinx|, T=π

五、反三角函数

图象：

通过以上五种基本函数有限次的加、减、乘、除、乘方、开方、复合，就构成了初等函数。

1.4  复合函数、反函数、分段函数

一、复合函数

由y=f(u), u=g(x), 可得到y=f [g(x)]，叫做y关于x的复合函数，u叫中间变量。

例1 已知, 求f(x).               例2 已知f(x+1)=x(x-1), 求f(x)

解：设                        解：令t=x+1, 则x=t-1

                        

注：t和x都是代表变量，习惯性用x表示自变量，因此最后答案直接用x代替t.

例5 已知f(x+2)=x2-2x+3, 求f [f(2)].

解法①：令t=x+2, 则x=t-2                  解法②：由f(2)可知f(x+2)中x=0

f(t)=(t-2)2-2(t-2)+3=t2-6t+11                  ∴ f(2)=02-2×0+3=3

则f(2)=22-6×2+11=3                          则由f [f(2)]=f(3)又可知x=1

所以f [f(2)]=f(3)=32-6×3+11=2               ∴ f [f(2)]= f(3)= 12-2×1+3=2

二、反函数

已知y=f(x)x=F(y)即y=F(x), 则y=F(x)叫y=f(x)的反函数，可记作f -1(x).

1、反函数与原函数的图象关于直线y=x对称。

2、两组反函数

(1) y=ax与y=logax, 指数函数与对数函数互为反函数。

(2) y=sinx与 y=arcsinx (-≤x≤)

例：求的反函数。

解：由原函数可得

即反函数为

三、分段函数（关键在分段点）

1.5 几种简单经济函数的建立

价格P，需求量D，产量Q，总收益R，总成本C，总利润L

本书中设定需求量与产量为理想状态的关系，即D=Q

一、需求函数：D=D(P)

二、总收益函数： 

三、总成本函数：C=变动成本+固定成本

四、总利润函数：L=R-C

例：已知需求函数，求R(P), R(D).

解：

R=P×D=P×(20-2P)=-2P2+20P

∴R(P)= -2P2+20P

R(D)=

第二章函数的极限、连续性

2.1 函数的极限

一、数列的极限

1、数列：按自然数的顺序排列的一列数，.   首项，通项公式。

2、数列的极限：对于，当n→(趋向于)∞时，if →A, 则A叫当n→∞时的极限。

记作：

二、函数的极限

1、对于y=f(x), 当x→∞时，if  f(x) →A, 则A叫f(x)当x→∞时的极限，

的充分必要条件：，即左右极限存在且相等。

例：判断是否存在。

解：由arctanx的图象可知

当x→-∞时，

当x→+∞时，

所以不存在。

2、对于y=f(x), 当x→xo时, if  f(x) →B, 则B叫做f(x)当x→xo时的极限，

的充分必要条件：，即左右极限存在且相等。

例1 已知，判断是否存在。

解：

∴存在

例2 判断是否存在。

解：       

∴不存在

三、函数的极限的计算

1、运算法则：已知

(K是常数)

2、判别法则

(1)夹逼准则：在xo的邻域存在f(x), g(x), w(x)，且g(x)≤f(x)≤w(x)

if, 则

(2)单调有界函数必有极限

                          

   

                

        

三、一般初等函数求极限

1、当x→xo时，if   f(x)在xo有意义，则极限等于f(xo).

f(x)在xo无意义，则对f(x)进行恒等变换，将f(x)变换为在xo有意义或公式的形式。

2、当x→∞时，利用公式或利用来求极限。

            

            

       

四、分段函数求极限(以x→xo为例)

1、如果xo不是分段点，则按初等函数定。

2、如果xo是分段点，则利用充分必要条件。

例1 已知，求

解：(1)

(2)

(3) 当x→1时，1为分段点，利用左右极限存在且相等的充分必要条件：

例2 已知，求

解：

2.2 无穷大量、无穷小量

一、定义：对于y=f(x), 当x→xo(x→∞)时

if  f(x)→∞, 则称f(x)是当x→xo(x→∞)时的无穷大量。

if  f(x)→0, 则称f(x)是当x→xo(x→∞)时的无穷小量。

注：当x→0时，既不是无穷大量，也不是无穷小量，是一个有界函数。

当x→∞时，是无穷小量。

二、两者间的关系：当x在同一变化趋势下时，两者互为倒数。

已知当x→xo时，如果f(x)→∞(0)，则

三、无穷小量的性质

1、有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量。

2、无穷小量与有界函数的积，仍为无穷小量。

三角函数的角度  →0时，用公式来求极限。

→∞时，把三角函数当成有界函数，配无穷小量来求极限。

3、如果, 则在xo的邻域内f(x)-A=ω(x)(无穷小量)，即f(x)与A之间相差一个无穷小量。

四、无穷小量的阶次的比较

已知x→xo(x→∞)时，f(x)→0, g(x)→0, 取

例1 当x→0时，比较与x的阶次。

解：

∴ 两者同阶

例2 当x→0时，比较ln(1+x)与x的阶次。

2.3 函数的连续性

一、定义：对于y=f(x)在xo的邻域内有定义，当x取xo+Δx时，y=f(xo+Δx)， 则

Δy=f(xo+Δx)-f(xo).  if Δx→0, 则Δy→0, 即, 则称y=f(x)在xo连续。

if  , 则y=f(x)在xo处是连续函数。

由定义可得出函数连续的三个必要条件：

(1) y=f(x)在xo有意义

(2)当x→xo时，极限存在

(3)极限等于f(xo)

1、初等函数的连续性

在定义域内一定连续。

2、分段函数的连续性

(1)如果xo不是分段点，则当初等函数看待。

(2)如果xo是分段点，则利用由定义得出的三个必要条件来判断。

例1 求的连续区间。

例2 已知，讨论y=f(x)在x=1处的连续性。

解：(1)当x=1时，f(1)=2

(2)

例3 已知，求a的值，使f(x)在(-∞,+∞)内连续。

 a=1时，f(x)在(-∞,+∞)内连续

二、在闭区间连续函数的性质

1、如果y=f(x)在[a, b]连续，则在[a, b]内能取到最大值max和最小值min。

2、零点存在的原理

y=f(x)在[a, b]连续，且f(a)×f(b)＜0，则至少存在xo(a, b)，使f(xo)=0，xo叫零点。

例：求证方程x5-5x-1=0在(1, 2)内至少存在一个实数根。

证明：令f(x)= x5-5x-1在[1, 2]连续

f(1)-5   

f(2)=21

∴ 根据零点存在的原理，至少存在xo(1, 2)，使f(xo)=0

∴ 方程在(1, 2)内至少存在一个实数根。