第一章：复数与复变函数

这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念，大部分内容与实变函数近似，不难理解。

一、复数及其表示法

介绍复数和几种新的表示方法，其实就是把表示形式变来变去，方便和其他的数学知识联系起来。

二、复数的运算

高中知识，加减乘除，乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。

三、复数形式的代数方程和平面几何图形

就是把实数替换成复数，因为复数的性质，所以平面图形的方程式二元的。

四、复数域的几何模型——复球面

将复平面上的点，一一映射到球面上，意义是扩充了复数域和复平面，就是多了一个无穷远点，现在还不知道有什么意义，猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。

五、复变函数

不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标，复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标，所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。

六、复变函数的极限和连续性

与实变函数的极限、连续性相同。

…… …… 余下全文

复变函数复习重点

 (一)复数的概念

1.复数的概念：，是实数, ..

  注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.

2.复数的表示                               

1）模：；

2）幅角：在时，矢量与轴正向的夹角，记为（多值函数）；主值是位于中的幅角。

3）与之间的关系如下：

   当 ；

   当；

4）三角表示：，其中；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：，其中。

 (二) 复数的运算

1.加减法：若，则

2.乘除法：

1）若，则

；

   。

2）若, 则

； 

3.乘幂与方根

1）     若，则。

2）     若，则

（有个相异的值）

（三）复变函数

1．复变函数：，在几何上可以看作把平面上的一个点集变到平面上的一个点集的映射.

2．复初等函数

1）指数函数：，在平面处处可导，处处解析；且。

注：是以为周期的周期函数。（注意与实函数不同）

3）     对数函数： （多值函数）；

主值：。（单值函数）

的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且；

注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）

3）乘幂与幂函数：；

…… …… 余下全文

第一章      复数

1   =-1            欧拉公式       z=x+iy

   实部Re z                        虚部   Im z

2运算     ①       

②

③

④

⑤         共轭复数

              共轭技巧

运算律       P1页

3代数，几何表示

           z与平面点一一对应，与向量一一对应

辐角 当z≠0时，向量z和x轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg z= k=±1±2±3…

把位于-π＜≤π的叫做Arg z辐角主值 记作=

4如何寻找arg z

…… …… 余下全文

复变函数复习重点

 (一)复数的概念

1.复数的概念：，是实数, ..

  注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.

2.复数的表示                            

1）模：；

2）幅角：在时，矢量与

轴正向的夹角，记为（多值函数）；主值是位于中的幅角。

3）与之间的关系如下：

   当 ；

   当；

4）三角表示：，其中；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：，其中。

 (二) 复数的运算

1.加减法：若，则

2.乘除法：

1）若，则

；

   。

2）若, 则

； 

3.乘幂与方根

1）        若，则。

2）        若，则

（有个相异的值）

（三）复变函数

1．复变函数：，在几何上可以看作把平面上的一个点集变到平面上的一个点集的映射.

2．复初等函数

1）指数函数：，在平面处处可导，处处解析；且。

注：是以为周期的周期函数。（注意与实函数不同）

3）        对数函数： （多值函数）；

主值：。（单值函数）

的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且；

…… …… 余下全文

第一章：复数与复变函数

这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念，大部分内容与实变函数近似，不难理解。

一、  复数及其表示法

介绍复数和几种新的表示方法，其实就是把表示形式变来变去，方便和其他的数学知识联系起来。

二、  复数的运算

高中知识，加减乘除，乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。

三、  复数形式的代数方程和平面几何图形

就是把实数替换成复数，因为复数的性质，所以平面图形的方程式二元的。

四、  复数域的几何模型——复球面

将复平面上的点，一一映射到球面上，意义是扩充了复数域和复平面，就是多了一个无穷远点，现在还不知道有什么意义，猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。

五、  复变函数

不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标，复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标，所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。

六、  复变函数的极限和连续性

与实变函数的极限、连续性相同。

第二章：解析函数

这一章主要介绍解析函数这个概念，将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。

一、解析函数的概念

介绍复变函数的导数，类似于实变二元函数的导数，求导法则与实变函数相同。

所谓的解析函数，就是函数处处可导换了个说法，而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是：μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数，这就是柯西黎曼方程。

二、解析函数和调和函数的关系

出现了新的概念：调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数，而这两个调和函数互为共轭调和函数。

三、初等函数

和实变函数中的初等函数形式一样，但是变量成为复数，所以有一些不同的性质。

…… …… 余下全文

复变函数复习重点

 (一)复数的概念

1.复数的概念：，是实数, ..

  注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.

2.复数的表示                      

1）模：；

2）幅角：在时，矢量与轴正向的夹角，记为（多值函数）；主值是位于中的幅角。

3）与之间的关系如下：

   当 ；

   当；

4）三角表示：，其中；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：，其中。

 (二) 复数的运算

1.加减法：若，则

2.乘除法：

1）若，则

；

   。

2）若, 则

； 

3.乘幂与方根

1）   若，则。

2）   若，则

（有个相异的值）

（三）复变函数

1．复变函数：，在几何上可以看作把平面上的一个点集变到平面上的一个点集的映射.

2．复初等函数

1）指数函数：，在平面处处可导，处处解析；且。

注：是以为周期的周期函数。（注意与实函数不同）

3）  对数函数： （多值函数）；

主值：。（单值函数）

的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且；

注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）

3）乘幂与幂函数：；

注：在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且。

4）三角函数： 

在平面内解析，且

注：有界性不再成立；（与实函数不同）

4）  双曲函数  ；

奇函数，是偶函数。在平面内解析，且。

…… …… 余下全文

复变小结

1.幅角（不赞成死记，学会分析）

-∏<arg z≤∏

Arg(z1z2)=Argz1+Argz2    Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2

2. 求根：

 由z==r(cos+isin)得  ==(cosn+isinn)  

当r=1时，=    （*1）

当

rgz1-Argz2

  

w=                                     

                                                                        （*2）

…… …… 余下全文