第七章二元一次方程组

２．二元一次方程组的解法（一）

一、学生起点分析

在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组解法的基本能力.

二、教学任务分析

《二元一次方程组的解法》是义务教育课程标准北师大版实验教科书 八年级（上）第七章《二元一次方程组》的第二节，本节内容安排了2个课时完成。本节课为第1课时.基于学生对二元一次方程及二元一次方程组的基本概念理解的基础上，教科书从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程组的解法——代入消元法. 代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求从两个方程中选择一个系数比较简单的方程，将它转换成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，然后代入另一个方程，求出这个未知数的值，最后将这个未知数的值代入已变形的那个方程，求出另一个未知数的值.在求出方程组的解之后，可以对求出的解进行检验，这样可以防止和纠正方程变形和计算过程中可能出现的错误.

二元一次方程组的解法，其本质思想是消元，体会“化未知为已知”的化归思想.

三、教学目标分析

1.教学目标

1. 会用代入消元法解二元一次方程组.

2．了解 “消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.

3．让学生经历自主探索过程，化未知为已知，从中获得成功的体验，从而激发学生的学习兴趣.

2.教学重点

用代入消元法解二元一次方程组.

3.教学难点

在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.

四、第一课时教学过程设计：

本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探索新知；第三环节：巩固新知；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.

第一环节：情境引入

内容：

教师引导学生共同回忆上一节课讨论的“买门票”问题，想一想当时是怎么获得二元一次方程组的解的.

设他们中有x个成人，y个儿童，我们得到了方程组成人和儿童到底去了多少人呢？在上一节课的“做一做”中，我们通过检验是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34的解，从而得知这个解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根据二元一次方程组的解的定义，得出是方程组的解.所以成人和儿童分别去了5人和3人.

提出问题：每一个二元一次方程的解都有无数多个，而方程组的解是方程组中各个方程的公共解，前面的方法中却好我们找到了这个公共解，但如果数据不巧，这可没那么容易，那么，有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢？

意图：“温故而知新”，培养学生养成时时回顾已有知识的习惯，并在回顾的过程中学会思考和质疑，通过质疑，自然地引出我们要研究和解决的问题.

效果：通过对已有知识的回顾和思考，学生既感自然又倍添新奇，有跃跃欲试的心情.

第二环节：探索新知

内容：回顾七年级第一学期学习的一元一次方程，是不是也曾碰到过类似的问题，能否利用一元一次方程求解该问题？ （由学生独立思考解决，教师注意指导学生规范表达）

解：设去了x个成人，则去了(8－x)个儿童，根据题意，得：

5x+3(8－x)=34.

解得：x=5.

将x=5代入8－x=8－5=3.

答：去了5个成人， 3个儿童.

在学生解决的基础上，引导学生进行比较：列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？

（先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下，进行小组讨论，在此基础上由学生代表回答，老师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点.）

1.列二元一次方程组设有两个未知数：x个成人， y个儿童.列一元一次方程只设了一个未知数：x个成人，儿童去的个数通过去的总人数与去的成人数相比较，得出(8－x)个.因此y应该等于(8－x).而由二元一次方程组的一个方程x+y=8，根据等式的性质可以推出y=8－x.

2.发现一元一次方程中5x+3(8－x)=34与方程组中的第二个方程5x+3y=34相类似，只需把5x+3y=34中的“y”用“（8－x）”代替就转化成了一元一次方程.

教师引导学生发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识（二元一次方程组）转化为旧知识（一元一次方程）便可.

（由学生来回答）上一节课我们就已知道方程组中相同的字母表示的是同一个未知量.所以将中的①变形，得y=8－x ③，我们把y=8－x代入方程②，即将②中的y用（8－x）代替，这样就有5x+3(8－x)=34.“二元”化成“一元”.

教师总结：同学们很善于思考.这就是我们在数学研究中经常用到的“化未知为已知”的化归思想，通过它使问题得到完美解决.下面我们完整地解一下这个二元一次方程组.

（教师把解答的详细过程板书在黑板上，并要求学生一起来完成）

解：

由①得：.  ③

将③代入②得：

.

解得：.

把代入③得：.

所以原方程组的解为：

（提醒学生进行检验，即把求出的解代入原方程组，必然使原方程组中的每个方程都同时成立，如不成立，则可知解有问题）

下面我们试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”的问题.

（放手让学生用已经获取的经验去解决新的问题，由学生自己完成，让两个学生在黑板上规范的板书，教师巡视：发现学生的闪光点以及存在的问题并适时的加以辅导，以期学生在解答的过程中领会“代入消元法”的真实含义和“化归”的数学思想.）

意图：通过学生自己对比、思考、发现，让学生惊喜的发现“温故而知新”，将新知融入旧知，体会“化未知为已知”的化归思想的神奇，培养学生独立获取知识的愿望和能力.

效果：通过学生自己的观察、比较、总结出二元一次方程组的解法，从中体会到解方程组中“消元”的本质.

第三环节：巩固新知

内容：

1例 解下列方程组：

(1)                     (2)

（根据学生的情况可以选择学生自己完成或教师指导完成）

 (1)解：将②代入①，得：.

解得：.

把代入②，得：.

所以原方程组的解为：

 (2)由②，得：. ③

将③代入①，得：.

解得：.

将y=2代入③，得：.

所以原方程组的解是

（⑵题需先进行恒等变形，教师要鼓励学生通过自主探索与交流获得求解，在求解过程中学生消元的具体方法可能不同，所以教学中不必强求解答过程的统一，但要提出如何选择将哪个方程恒等变形、消去哪个未知数能使运算较为简单.让学生在解题中进行思考）

（教师在解完后要引导学生再次就解出的结果进行思考，判断它们是否是原方程组的解.促使学生进一步理解方程组解的含义以及学会检验方程组解的方法.）

2思考总结：（教师根据学生的实际情况进行生与生、师与生之间的相互补充与评价，并提出下面的问题）

⑴给这种解方程组的方法取个什么名字好？

⑵上面解方程组的基本思路是什么？

⑶主要步骤有哪些？

⑷我们观察例题的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？

(由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法，请学生小组的代表回答或学生举手回答，其余学生可以补充，力求让学生能够回答出以下的要点，教师要板书要点，在学生回答时注意进行积极评价)

1.在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”，达到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.

2.解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.

3.解上述方程组的步骤：

第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.

第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.

第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.

第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.

第五步：把方程组的解表示出来.

第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立.

4.用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.

意图：进一步熟悉解二元一次方程组的基本思路，熟练解二元一次方程组的基本步骤和过程，并能对二元一次方程组的解进行检验.

效果：通过本环节的学习，学生能够独立地运用代入消元法解二元一次方程组.

第四环节：练习提高

内容：

1.教材随堂练习（在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，各个学生消元的具体方法可能不同，可以不必强调解答过程统一.可能会出现整体代换的思想，若有条件可以提出，为下一课做点铺垫也可以）

2.补充练习：用代入消元法解下列方程组：

(1) (2) ⑶（注意分数线有括号功能）

意图：对本节知识进行巩固练习.

效果：通过练习，巩固和熟练了运用代入消元法解二元一次方程组的方法.

第五环节：课堂小结

内容：师生相互交流总结解二元一次方程组的基本思路是“消元”，即把“二元”变为“一元”； 解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法，其主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出了一对未知数的值.即求得了方程组的解.

意图：鼓励学生通过本节课的学习，谈谈自己的收获与感受，加深对 “温故而知新” 的体会，知道“学而时习之”.

效果：学生能够在课堂上畅所欲言，并通过自己的归纳总结，进一步巩固了所学知识.

第六环节：布置作业

1.课本习题7.2

2.解答习题7.1第3题

3.预习下一课内容

五、教学设计反思

1．引入自然

二元一次方程组的解法是学习二元一次方程组的重要内容.教材通过上一小节的实际问题，比较一元一次方程的列法和解法，从而自然引入二元一次方程组的代入消元解法.

2．探究有序

回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有了很好的认知基础，探究显得十分自然流畅。

第二篇：解方程(一)教学设计

学校：六枝特区龙场乡中学

20##—20##学年老教师带新教师教学教学设计

教学内容：求解一元一次方程（一）教学设计

指导教师：左艳萍

授课教师：胡登玲

第五章  一元一次方程

2．求解一元一次方程（一）

六枝特区龙场乡中学  胡登玲

一、学生起点分析

学生在上一节已经学习了等式的基本性质，并且会用等式的基本性质解较简单的一元一次方程．本节课要通过用等式的基本性质解一元一次方程，观察、归纳得出移项法则.但学生刚学时不习惯用移项法则，而仍然借助等式的基本性质解方程，这是正常的，需要通过大量练习后才能体会到移项法则的便利．            

二、学习任务分析

本节内容分三个课时完成，每课时所完成的具体任务不同．本课时主要内容是在学生进一步熟悉运用等式性质一解方程的基础上，分析、观察、归纳得到移项法则，并能运用这一法则求方程的解.

三、教学目标

1.进一步熟悉利用等式的基本性质解一元一次方程的基本技能．

2.在解方程的过程中分析、归纳出移项法则，并能运用这一法则解方程．

3.体会学习移项法则解一元一次方程必要性，使学生在动手、独立思考的过程中，进一步体会方程模型的作用，体会学习数学的实用性.

四、教学过程

本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：达标训练；第三环节：合作学习；第四环节：巩固提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业．

环节一：复习引入

内容：复习上节课用等式基本性质一解方程的过程，观察、分析、概括出移项法则.

要求：解下列一元一次方程，学生先自主完成，然后以小组形式交流各种解法，要说明这样解的依据．

（1） ； 　　　　　　　　　　　

解：方程两同时加上2，得．　

也就是　　　　　5x＝8+2.　

方程两边同除以5，得　  　x＝2.　

此题学生可能会用差+减数＝被减数的方法

（2）  ．

解：方程两都加上，得

也就是　　5x－8x＝2.

化简，得　  　－3x＝2.　

方程两边同除以－3，得　  　x＝.　

此题学生可能会用：被减数—差＝减数；目的是把含有未知项放一边，已知数放一边．

设问１：在变形过程中，比较画横线的方程与原方程，可以发现什么？

设问２：上述变形过程中，方程中哪些项改变了原来的位置？怎样变的？

设问３：为什么方程两边都要加上2呢？第2小题在解的过程中两边加上的目的是什么？

归纳：像这样把原方程中的某一项改变        后，从        一边移到         ，这种变形叫做移项

思考：（1）移项的依据是什么？移项的目的是什么？

（等式的基本性质；移项使含有未知数的项集中于方程的一边，常数项集中于方程的另一边）

目的：１.让学生在复习上课时内容、归纳出移项法则的过程中，体会用等式的基本性质一解方程与用加减互为逆运算解方程的区别；同时让学生经历将算术问题“代数化”的过程，此过程也是一个抽象的过程，提炼、归纳上升到一个规律变化的过程.

实际效果：

　　学生通过利用等式的性质，加减逆运算关系,合并未知数系数等方法化为x=a的形式．

　　学生在归纳“移项法则”的过程中，教师在不断的通过问题引发学生思考，学生表现出的观察、归纳、总结的能力很强，由此过程中表现出来的用“移项法则”解方程的思维强于用小学逆运算关系解方程，基本能做到：移动的项变号，不移动的项不变号，对“移项”的实质理解也比较到位，“要移就要变，左右移，变符号”.

　　存在问题：方程两边需要移动的项多于两项时，移项过程中有的同学出现“移项”与“项的换序”混淆.

    如：解方程：

               ；

                .      ——————(1)

　　　　方程(1)中的没有移项，只是“换序”不应该变号.这就是对于移项的实质没有理解清楚造成的.

环节二：达标训练

【达标训练1】

1．把下列方程进行移项变形（未知数的项集中于方程的左边，常数项集中于方程的右边）

（1）移项，得                   ；（2）移项，得             ； 

(3)移项，得              ；(4)移项，得           ；

2. 下列变形符合移项法则的是（    ）

A．          

B．

C．                    

D．

目的：通过及时的训练落实移项变形，并由学生总结出移项的注意事项并归纳出移项法则．

总结：移动的项要　　　；移项通常是将           ，已知项              ；(移项法则)

目的：通过例题分析，规范学生的书写步骤格式，并训练落实．(根据时间选做)

环节三：合作学习

内容：1．例2.解方程.

解： 移项，得　．          

合并同类项，得  　 　．

   方程两边同时除以(或同乘以)，得

学生独立完成例２，学生互评（有哪些方法）

　　2．以小组为单位，每人出一个解方程的题，题型局限于本课时的题型，组内交换解答，组长负责检查，组员负责看解答结果如何.

目的：1．学生自己出题的过程本身就是对本课时题型的一种掌握.

2．学生互解对方题目的过程，也是一个互相学习、取长补短的过程.

3．合作学习的过程也是让学生学会协作、交流的过程，从而达到巩固所学知识的目的.

实际效果：

1．我们看到学生在考虑解方程的问题时，也把有理数中各种数字的运算问题也做了迁移，有的学生还考虑到生活中会遇到的百分数问题.

2．一元一次方程的解法达到了巩固的目的.

环节四：巩固提高

内容：本节课后，随堂练习4个小题.

目的：巩固本课时的内容.

实际效果：

使用课堂检测的方式，限时完成.

好的方面：80%的学生能够顺利完成；

问题方面：解类似下面的方程：-3x+1=x+1　时出现一些问题．            

环节五：课堂小结

1.  本节课学习了哪些内容？哪些思想方法？

2.  移项的目的是什么？为什么学习了等式的性质还要学习移项法则呢？

内容：引导学生结合本课时的内容，归纳总结解一元一次方程的“移项法则”及此过程中的注意事项.

目的：让学生及时归纳那总结所学知识，及时反思，因为反思是进步的关键因素.

实际效果：

　　学生不仅会对课上的知识点进行梳理总结，而且还会对课上感悟到的数学思想 -----“转化的思想方法”准确地应用到以后的数学学习中.

学生在合作学习中感受到伙伴优于自己的学习热情，学习策略，他们会互相借鉴，取长补短,共同进步的.

环节六：布置作业．

习题5.3第１题

五、教学反思

教学中要注重“铺垫”与“打伏笔”，给后续教学留好生长点；本课时教学较为成功与上课时用等式基本性质一解一元一次方程学习到位有很大关系.本课引导学生体会新知识的引入与事物的发展变化总是由易到难，而解决新问题的方法往往是化“新”为“旧”，这样一个研究数学的方法，会对以后的数学学习在思维方式、解决问题的策略等方面给予启发和帮助.学生体会到了学习移项法则的必要性，就像学习了乘法分配律还学习去括号法则类似，引导学生勤于思考，善于总结．特别是通过问题的设计引发学生思考，如让学生明白移项的目的是什么？为什么学习了等式的性质还要学习移项呢？这样的问题可促进优等生的思考．