因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------  a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4)  (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知是的三边，且，

则的形状是（  ）

A.直角三角形   B等腰三角形  C 等边三角形  D等腰直角三角形

解：

 

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

练习：分解因式1、        2、

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

      解：原式=            

              =

              =

例4、分解因式：

      解：原式=

              =

              =

练习：分解因式3、   4、

综合练习：（1）  （2）

（3） （4）

（5）             （6）

（7）         （8）

（9）       （10）

（11）（12）

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

     （2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜≤5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.

解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求 ＞0而且是一个完全平方数。

于是为完全平方数，

例5、分解因式：

（5）           （6）

（7）（8）

（9）（10）

思考：分解因式：

五、换元法。

例13、分解因式（1）

          （2）

解：（1）设2005=，则原式=

                         =

                         =

（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

     原式=

设，则

∴原式==

      ==

练习13、分解因式（1）

（2） 

（3）

例14、分解因式（1）

观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式==

设，则

∴原式==

      ==

      ==

      =

（2）

解：原式==

   设，则

  ∴原式==

        ==

练习14、（1）

（2）

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）         

解法1——拆项。                       解法2——添项。

原式=                  原式=

=     =                                        =        = =                   =

==

（2）

解：原式=

=

=

=

练习15、分解因式

（1）           （2）

（3）          （4）

（5）      （6）

七、待定系数法。

例16、分解因式

分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为

解：设=

∵=

∴=

对比左右两边相同项的系数可得，解得

∴原式=

例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。

 （2）如果有两个因式为和，求的值。（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为

解：设=

    则=

比较对应的系数可得：，解得：或

∴当时，原多项式可以分解；

当时，原式=；

当时，原式=

（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。

解：设=

     则=

∴  解得，

∴=21

练习17、（1）分解因式

（2）分解因式

（3） 已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。

（4） 为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。

第二篇：因式分解的常用方法习题

因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例.已知a，b，c是?ABC的三边，且a2?b2?c2?ab?bc?ca，

则?ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：am?an?bm?bn

例2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx

练习：分解因式1、a2?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：x2?y2?ax?ay

例4、分解因式：a2?2ab?b2?c2

练习：分解因式3、x2?x?9y2?3y 4、x2?y2?z2?2yz

综合练习：（1）x3?x2y?xy2?y3 （2）ax2?bx2?bx?ax?a?b

（3）x2?6xy?9y2?16a2?8a?1 （4）a2?6ab?12b?9b2?4a

（5）a4?2a3?a2?9 （6）4a2x?4a2y?b2x?b2y

（7）x2?2xy?xz?yz?y2 （8）a2?2a?b2?2b?2ab?1

（9）y(y?2)?(m?1)(m?1) （10）(a?c)(a?c)?b(b?2a)

（11）a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)?2abc（12）a3?b3?c3?3abc

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x2?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜a≤5，且a为整数，若2x2?3x?a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.

例5、分解因式：x2?5x?6

例6、分解因式：x2?7x?6

练习5、分解因式(1)x2?14x?24 (2)a2?15a?36 (3)x2?4x?5

练习6、分解因式(1)x2?x?2 (2)y2?2y?15 (3)x2?10x?24

（二）二次项系数不为1的二次三项式——ax2?bx?c

练习7、分解因式：（1）5x2?7x?6 （2）3x2?7x?2

（3）10x2?17x?3 （4）?6y2?11y?10

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：a2?8ab?128b2

练习8、分解因式(1)x2?3xy?2y2(2)m2?6mn?8n2(3)a2?ab?6b2

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、2x2?7xy?6y2 例10、x2y2?3xy?2

练习9、分解因式：（1）15x2?7xy?4y2 （2）a2x2?6ax?8

综合练习10、（1）8x6?7x3?1 （2）12x2?11xy?15y2

（3）(x?y)2?3(x?y)?10 （4）(a?b)2?4a?4b?3

（5）x2y2?5x2y?6x2 （6）m2?4mn?4n2?3m?6n?2

（7）x2?4xy?4y2?2x?4y?3（8）5(a?b)2?23(a2?b2)?10(a?b)2

（9）4x2?4xy?6x?3y?y2?10（10）12(x?y)2?11(x2?y2)?2(x?y)2

思考：分解因式：abcx2?(a2b2?c2)x?abc

五、换元法。

例13、分解因式（1）20xxx2?(20xx2?1)x?20xx

（2）(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x2

（2）型如abcd?e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

练习13、分解因式（1）(x2?xy?y2)2?4xy(x2?y2)

（2）(x2?3x?2)(4x2?8x?3)?90

（3）(a2?1)2?(a2?5)2?4(a2?3)2

例14、分解因式（1）2x4?x3?6x2?x?2

（2）x4?4x3?x2?4x?1 练习14、（1）6x4?7x3?36x2?7x?6

（2）x4?2x3?x2?1?2(x?x2)

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）x3?3x2?4

（2）x9?x6?x3?3

练习15、分解因式

（1）x3?9x?8 （2）(x?1)4?(x2?1)2?(x?1)4

（3）x4?7x2?1 （4）x4?x2?2ax?1?a2

（5）x4?y4?(x?y)4 （6）2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4

七、待定系数法。

例16、分解因式x2?xy?6y2?x?13y?6

例17、（1）当m为何值时，多项式x2?y2?mx?5y?6能分解因式，并分

解此多项式。

（2）如果x3?ax2?bx?8有两个因式为x?1和x?2，求a?b的值。

练习17、（1）分解因式x2?3xy?10y2?x?9y?2

（2）分解因式x2?3xy?2y2?5x?7y?6

（3） 已知：x2?2xy?3y2?6x?14y?p能分解成两个一次因式之积，

求常数p并且分解因式。

（4） k为何值时，x2?2xy?ky2?3x?5y?2能分解成两个一次因

式的乘积，并分解此多项式。