知识回顾：

(1)等差数列的前n项满足什么样的形式? (2)如何确定一个数列的单调性？

(3)如何确定一个数列的最大项或最小项？前n项和的最大值又何如确定呢？ 例1.（20xx年高考陕西卷理科9）对于数列｛a n｝，“a n+1＞∣a n∣（n=1，2…）”是｛a n｝为递增数列”的（）

(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件(C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

数列递推公式的求法：

类型1.数列通项与前项和的关系：

n?1时，a1?S1；n?2时，an?Sn?Sn?1. 典型练习

111

例1.数列?an?，a1?2a2?……?nan?2n?5，求an

222

例2. 数列?an?满足Sn?Sn?1?

类型2 an?1?f(n)an （叠乘法） 解法：把原递推公式转化为

5

an?1，a1?4，求an 3

an?1

?f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

an

数列?an?中，a1?3n?1?，求an

ann?1

1

类型3 an?1?an?f(n) (逐差相加法)

解法：把原递推公式转化为an?1?an?f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。

n?1

例1.数列?an?中，a1?1，an?3?an?1?n?2?，求an

类型4 an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0)）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an?1?t?p(an?t)，其中t?例1.若an?1?2an?1

类型5 an?1?pan?qn（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)）。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn?1，得：数列?bn?（其中bn?

q 1?p

，且

a1?2，求该数列的通向公式

an?1pan1

?n?引入辅助n?1

qqqq

anp1

），得：再待定系数法解决。 b?b?n?1n

qqqn

例1:已知数列?an?中，a1?

511

,an?1?an?()n?1，求an。 632

数列的常用的求和公式：（错位相减以及裂项相消）

1．错位相减法（差比数列）：比如?an?等差,?bn?等比,求a1b1?a2b2???anbn的和. 2．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

2

1111111

?(?) ??常见拆项公式： ；

n(n?2)2nn?2n(n?1)nn?1

1111

?(?) ( 是用于分母连乘积形式)

(2n?1)(2n?1)22n?12n?1

例2. （20xx，全国I,文21,本小题满分12分） 已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1n?N*

??

(1) 求数列

?an?

的通项公式。（2）若数列

n

?bn?

满足

4b1?1?42b2?1?43b3?1???4nbn?1??an?1?

2n

(2) 数列?bn?的通项公式。（3）若cn?，求数列?cn?的前n项和Sn。

anan?1

例3. 已知数列{an}、{bn}满足a1?1，a2?3，

bn?1

?2(n?N*)，bn?an?1?an。 bn

（1）求数列{bn}的通项公式；

（2）数列{cn}满足cn?bn?log2(an?1)(n?N*)，求Sn?c1?c2?......?cn

3

第二篇：高一数学集合知识点归纳及典型例题

高一数学集合知识点归纳及典型例题

  

一、、知识点：

本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。

本  章  知  识  结  构

 1、集合的概念

集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。

对象——即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。

整体——集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。

确定的——集合元素的确定性——元素与集合的“从属”关系。

不同的——集合元素的互异性。

2、有限集、无限集、空集的意义

有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。

我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。

几个常用数集N、N*、N_＋、Z、Q、R要记牢。

3、集合的表示方法

（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：

①元素不太多的有限集，如{0，1，8}

②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，…，100} 

③呈现一定规律的无限集，如 {1，2，3，…，n，…}

●注意a与{a}的区别

●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。

（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y＝x²}，  {y|y＝x²}，  {（x，y）|y＝x²}是三个不同的集合。

4、集合之间的关系

●注意区分“从属”关系与“包含”关系

“从属”关系是元素与集合之间的关系。

“包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。

●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。

5、集合的运算

集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。

一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质：

              

还要尝试利用Venn图解决相关问题。

二、典型例题

例1. 已知集合，若，求a。

解：根据集合元素的确定性，得：

若a＋2＝1， 得:， 但此时，不符合集合元素的互异性。

若，得：。但时，，不符合集合元素的互异性。

若得：

，都不符合集合元素的互异性。

综上可得，a ＝ 0。

【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。

例2. 已知集合M＝中只含有一个元素，求a的值。

解：集合M中只含有一个元素，也就意味着方程只有一个解。

    （1），只有一个解

（2）

.

综上所述，可知a的值为a＝0或a＝1

【小结】熟悉集合语言，会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求，另外多体会知识转化的方法。

例3. 已知集合且BA，求a的值。

解：由已知，得：A＝{－3，2}， 若BA，则B＝Φ，或{－3}，或{2}。

若B＝Φ，即方程ax＋1＝0无解，得a＝0。

若B＝{－3}， 即方程ax＋1＝0的解是x ＝ －3， 得a ＝ 。

若 B＝{2}， 即方程ax＋1＝0的解是x ＝ 2， 得a ＝ 。

综上所述，可知a的值为a＝0或a＝，或a ＝ 。

【小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤。

例4. 已知方程有两个不相等的实根x₁， x_2. 设C＝{x₁， x₂}， A＝{1，3，5，7，9}， B＝{1，4，7，10}，若，试求b， c的值。

解：由， 那么集合C中必定含有1，4，7，10中的2个。

又因为，则A中的1，3，5，7，9都不在C中，从而只能是C＝{4，10}

因此，b＝－（x₁＋x₂ ）＝－14，c＝x₁ x₂ ＝40

【小结】对的含义的理解是本题的关键。

例5. 设集合，

（1）若， 求m的范围；

（2）若， 求m的范围。

解：（1）若，则B＝Φ，或m＋1>5，或2m－1<－2

当B＝Φ时，m＋1>2m－1，得：m<2

当m＋1>5时，m＋1≤2m－1，得：m>4

当2m－1<－2时，m＋1≤2m－1，得：m∈Φ

综上所述，可知m<2， 或m>4

（2）若， 则BA，

    若B＝Φ，得m<2

    若B ≠ Φ，则，得：

    综上，得 m ≤ 3

【小结】本题多体会分析和讨论的全面性。

例6. 已知A＝{0，1}， B＝{x|xA}，用列举法表示集合B，并指出集合A与B的关系。

解：因为xA，所以x ＝ Φ， 或x ＝ {0}， 或x ＝ {1}， 或x ＝ A，

于是集合B ＝ { Φ， {0}， {1}， A}， 从而 A∈B

三、练习题

1. 设集合M＝则（     ）

A.             B.             C. a ＝ M            D. a > M

2. 有下列命题：①是空集 ② 若，则③ 集合有两个元素 ④ 集合为无限集，其中正确命题的个数是（     ）

    A. 0               B. 1               C. 2              D. 3

3. 下列集合中，表示同一集合的是（     ）

A. M＝{（3，2）} ， N＝{（2，3）}

B. M＝{3，2} ， N＝{（2，3）}

C. M＝{（x，y）|x＋y＝1}， N＝{y|x＋y＝1}

D.M＝{1，2}， N＝{2，1}

4. 设集合，若， 则a的取值集合是（     ）

    A.              B. {－3}        C.          D. {－3，2}

5. 设集合A ＝ {x| 1 < x < 2}， B ＝ {x| x < a}， 且， 则实数a的范围是（    ）

    A.              B.              C.        D.

6. 设x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}， B＝， 则集合A，B的关系是（     ）

    A. AB               B. BA               C. A＝B        D. AB

7. 已知M＝{x|y＝x²－1} ， N＝{y|y＝x²－1}， 那么M∩N＝（     ）

    A. Φ                     B. M             C. N              D. R

8. 已知A ＝ {－2，－1，0，1}，  B ＝ {x|x＝|y|，y∈A}， 则集合B＝_________________

9. 若，则a的值为_____

10. 若{1，2，3}A{1，2，3，4，5}，  则A＝____________

11. 已知M＝{2，a，b}，  N＝{2a，2，b²}，且M＝N表示相同的集合，求a，b的值

12. 已知集合求实数p的范围。

13. 已知，且A，B满足下列三个条件：①   ②   ③ Φ，求实数a的值。

四、练习题答案

1. B            2. A        3. D        4. C        5. A        6. B        7. C

  8. {0，1，2}

9. 2，或3

10. {1，2，3}或{1，2，3，4}或{1，2，3，5}或{1，2，3，4，5}

11. 解：依题意，得：或，解得：，或，或

    结合集合元素的互异性，得或。

12. 解：B＝{x|x<－1， 或x>2}

    ① 若A ＝ Φ，即 ，满足AB，此时

② 若，要使AB，须使大根或小根（舍），解得：

所以

13. 解：由已知条件求得B＝{2，3}，由，知AB。

而由 ①知，所以AB。

    又因为Φ，故A≠Φ，从而A＝{2}或{3}。

    当A＝{2}时，将x＝2代入，得

经检验，当a＝ －3时，A＝{2， － 5}; 当a＝5时，A＝{2，3}。都与A＝{2}矛盾。

当A ＝ {3}时，将x＝3代入，得

经检验，当a＝ －2时，A＝{3， － 5}; 当a＝5时，A＝{2，3}。都与A＝{2}矛盾。

    综上所述，不存在实数a使集合A， B满足已知条件。